Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 146
Текст из файла (страница 146)
(Ннрина полосы частот зависит от вариации й> (г, !) во времени. Таким образом, : равнением (1) можно пользоваться с уверенностью только тогда, когда нзмсленис во времени Л' пронсходит медленно по сравнению с па вепеписм ") Е". К счастью, это огрггнйчвнне нс является очень серьезным, тзк как в задачах о рассеянии и днфракции свята требуемое условие почти всегда выполняется. г(алое мы считали а скаляром; такие предположение полностью оправдано. для атомов н молекул, обладающих особой симметрией. Ощ> справедливо такжс и в более общем случае, когда молекулы бсспорядочво ориентированы, что уже о>меча>!ось в г! 2.3. 1!аконец, здесь прсдпола! жтся, что поглощение свята средой ничтожно мало: сто можно учесть, допустив, что сг комплексно. Теперь воспользуелгся лгеюдом интсгралылого уравнения для изучения лифракппн с>летел на ультразвл новых волнах в >кндкостн 1!Б, 161.
12.2.1. Интегральное уравнение для случая Е-полярнзации. Вернемся опять и физической ситуации, рассмотренной в п. 12 1.1, и допустим, что пддаюпгий свет лпнегшо полярнэоваи, причем его электрический вектор перпендикулярен к плоскости падения; тогда компоненты злсктричсского вектора Еи'(г, () падающей свпговвй волны выражаются соотношения>ли (вещественная ') Урввсенне (!) стлнчветсв ст ссстнсшеннв (2.4 4) тем, чтс оператор тс! га! заменен в ! д» ясследнем яв ( — — — +Ктвд З(т) в чтс плотность д>, кстсрвв теверь эвввснт ст прсстрвнственвнх нссрдн:гвт н треиенв, следует Преть, падеж с Е', в всвсвл времена ! — Я!«. ""г! (сс гвюссеввс юю не дсн >>г П--с Е в урлввсвввт >Ил весел и ддя несднсрсднсн среди также справлена тсдьвс тогда, когда вв Л' нвдвгаютсв аналогичные страввчевнв.
)гл. 12 лииглкция свити нк эльтглзаэкозых золнлх часть, как обычно, представляет собой физическую величину) Е',а.=В ехр(ь(ахи!п О+«у сов Π— М)), ( Сказанное выше псюволяет сделать вывод, что эффективное пале Е' (г, г) в среде почти оараллельпо оси г, н, значит, можно принять Е„'=-- Е„'=-О и векторное интегральное уравнение (1) для Е' сведется к единственному интегральному урявнеашо для Е;. Напомнить что Дг(г, Г) определяется выражением (12.1.3), и поэтому интегральное уравнение для Е,' примет вкд Е; =(г, ()=Вехр 11(lгхз!пй-)-йусозΠ— Ы)) ч ~чйЯ( .
бр+о )[я(+2 (хР( [ х и( )3(+ + ехр ~ — 1 [Кх' — Я (1 — ) 1 ~ ~ ~ Е,' (г', ( — — ) 1 с(г', (3) где для удобства введено обозначение ") 4ий(зи — т,. Из (2.3.17) находим, что З(нз — 1) з —,з 1 З (4) 12.2.2. Пробное решение интегрлльного уравнения. Тзк как нес плосйости. перпендикулярные к аси г, фнзнчески эквввалептпы, возьмем в кэчсствс пробного решения нашего интегрального уравнения (3) выражение вида '") Е; = ~ Фен ехр ( — с(еьсм1 — р,х — диу)), (б) где 1 и из — целые числа (положительные, отрицательные и нуль). Уравнение (б), очевидно, описывает двойную бесконечную совокупность плоских вали.
Токая форма возможного решения следует иэ существования зиюгакратных отражений и преломлений в бесконечной пластинке слоистого вещества с плос- кичи парзллельныхш поверхностями. Вскоре мы увидим. что различпыс нс. известные Дсссо ы,, Р, и 4 опРеделаютсн нз Условна, что (5) УдовлетвоРЯст интегральному уравненшо (3). Чтобы решить (3), необходимо вычислить интегралы, определяющие у(иь р, д), а именно р'(ы, р, у)ехр( — ((ы( — рх — уу)) ехр ( — ( [ы (г — — ) -рх' — ду'1 ~ с(х' б(у' с(г' Я е, (б) Злесь соз)сзрз.
Если точка наблюдения х, у, г находится вне рассеивающей среды, то объем )г' занимает всю среду ( — оо- х'(со, 0(у'(Ы, --оотг'( (оз). Если же точка наблюдения находится внутри рассеивающей среды, иьжсграл берется по тому жс объему, за исключение«~ несюлыпай сферы радиуса о (кспорый в конечном итоге стремится к нулю) вокруг точки наблюдения. *) мззроосиопичесизи зеличииа т (г, 3=4ячУ(г, О ииогдз называется «азффичиентом р «сеяния среды. **) Здесь ие доль«по зозиикшь иедорззумеиия, связанного с энс-усбзенисм схож:ых сиызозоз Юч змплитуд у, и исииезтсзкия иолекун у (г, Г), тзх кзи, изчиизи с зсого места, последняя величина болыие ие будет входить о яаком виде з нана Грззиеиия, $12.
2) лиыакция свата иа ультгаивьконмх .волнах 657 Полагая — У» .У вЂ” У можно переписать (6) (после сокрашения на множитель ехр ( — (вй) в виде У(в, Р, Ч) = г, ! У», (Т) где (6) (9) !ч причем теперь рассеивающая среда занимает объем Уо т. е. — сок..х»(со, --у - у, »( — у, — со<у»<со.
Этн интегралы вычисляются в приложении 9; они равны следу»ощим величинам. а) Если (х, у, а! находится в рассеивающей среде е), то У (в, р, Ч) = ая ехр ( — »Ч (в. р, Ч) у)»ее ехр [ — »й (в, р, ч) (у — у)) о(в р, Ч) 2' уйв р, ч!Ом -' — Рйч* тс Ь(в, р, ч!(в»с- -р»!'/ .е, +», , '(10а! б) если (х, у, г) находится за рассеивающей средой, то в) если (х, у, а) находится перел рассеивающей средой (т. е. с той же стороны, откуда падает свет), то В этих выражениях о(о!, р, Ч) =3(р"-1-Ч' — в с ') Ос»+Ч'-1-2вс '! ', у(в, р, Ч)=Ч вЂ” [в»с ' — р'['/, Ь(в, р, Ч)=У+[вас ' — р"!'/ ° .
[ Если теперь подставить (Б) в (3) и использовать соотношения (6) и (10а), то простым способом получим — ~ /!/»а ехр «( — 4)(в,„/ — р»х — Ч„УД+ »,т +В ехр [( — ()(в/ — ухюпΠ— йусозОЦ+ + ~' ) [ехр(( — 0(е»„„/--р/х — Ч уд + !. о (в»а Р! Че! ч схр(( — 0 ((в», й Я!/ — (р, х К! х —,/„у)! +-А ~. 2 ч (в» й и, ю ~ К, ч ! в)~ с»у [(- 0 (в, 1 — Р/с — [с!»~с-е — р»[ /*у Ц 2»»у(в,„, Р», Ч ! [и»' с-е — Р»[ ' 1 /(~~~ »е! .»о!* «р[1-о(»н» ео!»-!Рык!»-1» '(ее»о!'-»с»еки) 'сЦ , '/, ! т '»и» »о, рык.
» !! — '! е ао»'-в»-,»о1 в) ех [( — »)(в»» — р сан [в»е г-т р)[ / у Ц е»р!»/»(в» ре Че)И! 2с»а(е»», р», ч ! [в)ес "" — р/['/' ы» во!* «с и- ! (!»» ! ч»»-»Р»с/с»»егс-'»о» еш'-»век»!'*аЦ 1 /„ 2 2' М*е Ки ти. В*К. Е 1 Р 11/»(»е й и /'» — и Ч ! "~ =0 (12) 1 -а (в, -Е а! — (Р к К!»!'/* ~ ') В ! 12 2 ас всех выранвниих берется похож»гг»аы»ый квадратный корень, если сие- цвадьно ие оговоры другой знак. 558 (гл. 12 дно»ляпая свата кл ультгааоукоомх волнах где знак суммирования ~Ч~ ~перед любым выражением должен интерпретиро- ваться следующим образом: ~ Р(а ж Ь, с ~!0= — Р(а+Ь, сб-гй+Р(а — Ь, с — т(). !1ля того чтобы (12) удовлетворялась в любой момент'времени и в любой точке внутри рассевваюп>ей среды, коэффициент прн каждой экспоненте, о>- нича»»пойся ат всех остальных по любой из переменных (х, у, !), должен не- аакисяиа от остальных равняться нулю.
Из (12) видна, что изменения в, происходят с шагом (1 и всегда сопровождаются изменением р, на 7С Однако коэффнпиепты при р в разли >пыл экспонентах остаются либо пензпениымп (дм), либо представляют собой одну и '>т же функпию соответствующих а» и р,. Следовательно, можно принять, что о>, зависит галька от индекса 1, Кроме того, поскольку можно допустить без потери общности, >по е, равна частоте в пала>ащего света, то е„-= в, в,— в-! Ж, ] (13а) рт=йз!пО, р,4 йз!пб! !К ) ' ' ' ' ' ' (!Зб) (1=0, ~1, ~2, ...).
Используя эти соотношения в (12) и перегруппировырая различные члены, получим ~ [Н,. 4'' — " "— 1]+ ! /»»т + 20 ( —" !(Н»-, +д!>»„м)~ ехр Н вЂ” !)(е>! — р, — 0.р)]-~ о, > — 2,'(Вб>,> — 6>) ехр ]( — !) (в,! — р,х — ]в>»г ' — р)]'> у)] + — ~ Н> ехр ]( — >) (е„! — р>х -„(в>»с ' — р>]'>''р)] = О, (14) где бь> — символ Кронекера *) (т. е. 5», = О, если 1~!' и Ь>,> =-1), а 6> и Н, определяются следующим образом: ! В>=тле) ~ [б!>„т- я Л(ЬГ> „+У>.> )~ (2с>р> (е>с ' — р>]п ]"', (15) ч Г ! Н,=,в,' т [Н> + — 5(Ф> п,.ьНов „)1 м х (ехр(!й, >()] (2с'Ь, (в)с "— р]]ч ]-'.
(Рб) Здесь использованы' также сокращения (см. (11)) и, =а(в„Ро >)о), Я>»=4>(е>, Р„(> ) и Ь,„=Ь(гоа Ро !) ). (!7) Приравнивая нулю каэффнпиенты при каждой экспоненте в (14), можно получить следу>ощую систему уравнений для допустимых значений д„, и ампли- туд Н, Н>.
1 — — -')+ —,, дОН» „.+57>о> .).=0 для,всех ! ил, (18) то ! 3 Вб,,— О,=О, 1 (19) Н,=О ! дчя всех !. (20) 12.2.8. Выражения для амплитуд световых волн в дифрагирававших и отра- женных спектрах. Перед тел> как обсуждать решение !равнений (18) — (20), напишем выршкения для полного светового возмущения в точке (к, р, г), на- ходящейся позади рассеипающей среды.
Для этого подставим (5) в подынтег- ") Сомоса Кроя»кора б! г лель»» спутать с парам»тромб, ав»доакмм о (!2.1.б), так как ворвма всегда саабжаогся индексами. $ 12.2) даеелкцня свята ил эяьтглзвгковых волнах 559 ральиое выражение в правой части (3), проинтегрируем (3) по всему объему, занятому рассеивающей средой, и прибавим к полученному результату вырззкеняе для падающего поля.
й!ы вновь столкцемся с интегралом )г (еь р, Ч), рассматривавшимся в предыдущем разделе. Вспоминая, что а точке за рассеивающей средин / (кь р, Ч) гшредезяе~ся (106), и используя (18), пояучилз длн единственной не обращающейся в нуль компоненты полного прошедшего электрического поля следу!ощее выражение: Е, =.~!В,ехр [(- г) [ы,( — рх — [го,*с-' — р,'[чцЧ)1, (21) где В,=-е)~',и, Ж, [ехр[гд,„г())(2с'Ч, [ю,'с ' — р,')ч*[ '. Согласно (21) и (22) прошедшую волну можно считать состоящей из многих плоских волн с разными частотачн и разными направлениями распространения. Подставляя (13) в экспоненту (21), легко пгтзучигь иыражеиия лли частот ы, и углоырд они оказываются таками же, как и в и. 12.1.2. Диалогично можно, воспользовавшись (10в), написать выражения для амплитуд В,"' в отраженном спектре, опи имеют впд В,'о= — ы,*~,'а, Ж, (2с'Ь,„[ы,'с ' — р[[ч ) (23) Однако здесь мы рассматриваем только точки, находящиеся позади рассеивающей среды, так как в данной задаче интенсивности волн разных порядков в отраженном спектре, вообще говоря, очень малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
