Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 142
Текст из файла (страница 142)
Случай электрического диполя с осью, перпендикулярной дифраьционному экрану, разобран таким методом Сениором (29! и кратко аналнзирусгся здссга другие методы разобраны в !30). На рис, 11.17 показано (как и раныле в декартовых х, у, з и цилиндрических г, П. г координатах) взанмиае распело>кение >гипс.>я и дифракционного экрана,занимающего пол)плоскость у =О, х)0. >(ипаль, находлщийсл в Т.с координатами (хс уе зе) или (г„бе н) параллелен аси у; 7" — изображение Т н плоскости у = О, а (с и Р' — расстояние точка паблюлсппя Р от Т и Т' соответственно е).
При подходящем выборе исллчины дипольного момента невозмущенное поле диполя (см. $ 2.2) можно представить в виде (25) где П ° р (гад) (26) ай Требуемое решение (25) в виде плоских волн получается из формулы "") ехр (М>0 ай йн — сов 5 елр [ — гд ((х — х„) соз щ соз ()+ '(~ н) '( †' ) +(у — у,) з|п сх сазу — (з — а,) юп [)Ц с(ос([). (27) Теперь поступают следующим образом: сначала записывают псле, возникшее в присутствии дифракциопного экрана в результате наделая ла пего отдельных плоских волн, опредсляемых падынтегральным выражсиисм в (27), а затем выполняют интегрирование.
Учитывая последующее интегрирование, удобно использовать (см. [5)) основные решения для пади>ашик п.чоских воли в виде (11.5.8) (ллл Е-поляризаппи) и соответствующий вид рел>ений для Н-лаз>яриэаляп. Згн вырнженля видоизменяют так, чтобы способом, изложенным в 4 11.6, получать трехмерные решения. соответствующие падению плоских волн типа (27).
Тогда компонента вектора Е, параллельная диполю, имеет вид Еу = Е„'ю + Еке» (28) здесь Е„'к' — палс геометрической оптики, а Е)~ (А (Ое)+ 4 ( Оо)) [а — Д~) В(0к) +,— '(,— ",' +йк) В( — Оз), (29) ') Р— проекпия точки Р нз плоскость, проходящую через Т н Т' перпендикулярно гр,>нине пнфрзкшюпиого экрана. (Призе ред) '*) Это нспосредстееш>о следует нз фарнука, принсдепной и (з>!.
541 6 11.21 дяоолчняя золя НА полуплоскости где Н) = — (г+ г,)'-~-(а — г )'1 В(О,) =:Ь ай ~ Н(п(Ы ей р)о((о, ~ для 8 — 8, ~~и, В( — 8,)=~пй ) Н,"'(Фгг'с(зр]г(р, ч- для О+Оо~~п, ао-.Агой ~ 2 — 'соз —,(Π— О,))', по' =Агап ) 2 —,' соз — (О-1-0)~ . Зтн результаты вместе с формулой — 1 ') Н(п (АЯсЬр) Нр = (33) (34) (35) (36) (37) позволяют переписать (28) з виде Е = = соз ( — 0 ) соз ~ 2 Оо ) Н,'," (Уг)1о) — г ( — „„й ) до 1- (38) где Н7 (й)1 с(з р) Ыр, Остальные компоненты почи точно выражаются через е и )о слелующям образом: (41) дее ~ дЯ' Но (44) 2 дгр 2 .о*о ' (39) (43) где '4(йо)=, ~ ~ ~ созрсоз —,, (а+'г+Π— Оо)Х а<о~ ( 1 ) з ~о) хсзр[ой(гсозусозР+госозасозр+(г — а)з1пОЦдаг(() Ху, (30) В (6,) = — ) ~ соз() зес †,„ (а -1- у -г 0 в 8,)х гд г г г з ~ ~ ~ 1 т з ~о~ хекр((й(гсозусоз()-ггосозасоз5+(а — го)з(пЯ~бао(рбу. (31) С помощью анализа, аналогично данному Карслоу (2] и Макдональдом (28), можно показать, что А (8,) =- — "' соз —, (8 — 8,) Н,'," (АР,), (32) )Ггг, [гл.
11 стгогхя твопия лиегхкция % 11лк Другке задачи В пастояшеы параграфе коротко рзссматриваегсп несколько других днфракционных задач. !1лк!. Две параллельные полуплоскостк. Задача о дифракпин света нз нраях двух параллельных полуплоскостей, перпендикулярных к плоскости, прохолятей через их края, разбирается с помошью метода, изло'конного в настояв!ей главе для случая одиночной полуплоскости *].
Рассмотрим Е поляризацию для точно такого же случая, как и в у 11.5.1, но теперь дифракцнонпое препятствие состоит иа двух экранов. Пусть один из инх (экран 1) занимает полуплоскость р =. О, к)0, другой (экран 2) — пол]- плоскость р = — а, х)0. Удобно ввести дополнительные координаты г' и 0', измеряемые от края (О, — а) экрана 2. Дифрагированныс поля, вызванные индуцнрованными токами в экранах 1 н 2, можно записать соответственно в виде Еы'=] Рл(сова)ехр(йгсоз(0=па))лха, =гдля у~~О, с Е[лхл = *) Р,(созсл) ехр [!лг' сов(0' ~ а)]с(а, ~ для уп — и. (2) с Непрерывность Н™ и Н',ы' при переходе через области р =О, х(0 и у = — о, х.
0 обеспечивается, если предположить, что Рл(р] и Р,(р) свободны от свпгулярностей в области виже пути интегрирования, показанного на рис. 11.7. Кроме гого, граничное условие, требуюшее нсчезновашя Е, на обоих экранах, првводит к интегральным уравнениям р'! — м ехр(!йхр)г[р р ~ — 'я — ехр(йа)л 1 — рх) ехр(йхр]л[р )г! ]„а =- — ехр ( — йхр,), , ехр(йл[лг1 — рл) ехр(йхр)л(р+ ~ '(м! ехр(йхр)л]р= = — ехр (йо 'г' — ы',) ехр ( — йхр,), которые должны быть справедливыми для л)О. Положив Р,(р] + Р*(р) = Г) (и) Р*(р) — Р.(р) = лс.(р) (4) (б) *] Реыеппх япп ппхплпщеа папе«аз всппы сначала Вызп получены методом, прпдлакеп.
пым Шпппгерпм (пп укол~в«пелся в 4 !],л], Хек«сом [!О] я Вавнытеаппм 1321. Интересно отметчть, что полное поле имеет не равную нулю компоненту векзоря Н, пзраллельиую диполю, так что результат анализа йельзл! выразить через один вектор Герца. Здесь опасть могкпо (при обычных ограничениях) представить решение в виде интегралов оррснеля. Если йЕл))1, то нетрудно получить следуюшсе асимптотическое приближение: 2пхр ( — гп) у=— — — х а г' пдл (я+ ил) / агг„! мехр (лугЕ)Р ( — 2 у — "соз — (Π— 0 ) . (45) л+]] г ])налогнчный результат можно получить и для Я', 543 % Н.й) лгугнг эдла си и вычитая (3) и (4), (йа г'! — рс)) ехр (йха) с(р =- получим, складывая =.— «1+ехр(йа)' 1 — р,'))ехр( — йхр,), (6) " И) «1 — ехр((йа~ 1 — ре)) ехр(!йхр)с()с=- 1 1 е.м — К~ —:~.~ есгсшсга.
(12) Полное днфрагированное поле находится сложенпеы (1) и (2); так, например, при у = 0 имеем Е е=-) (Р,(сова)+Р,(сова) ехр (йав1па)) ехр «йг сов(0 — а)«с(а с = — „, ~Яс(СОВа)(!+ЕХР(йав)ни))+Сух(СОва)(1 — ЕХР(йавбна))) ДС дсехр «йгсов(0 — сс)«с(а=) Р(сова)ехр !!йг сов(0 — аЯс(сс, (13) с = — «1 — ехр (йа )' 1 — р,')) ехр ( — (йхр,) (7) для х)0. Уравнения (6) и (7) сходны с уравнением (11.6.2), и для получения решений, аналогичных (11.8.4), пути интегрирования следует замкнуть бесконечной полуокружностью выше вепсествениойс оси. С этой целью выбирается та везвь г' ! — р', у которой мнимая часть положнтелс на. Тогда требуемое решение уравнения (6) примет вид М(1) «1+ехр()йаг'1 — р')) = 1 «1+ехр(йа гх! — 1с,')) — "— —, (8) Ж Сс( — ве)я+не ' где (7(р) — произвольная функция р, свободная от сннгулярностей в полуплоскости выше пути интегрирования и стремящаяся к нулю прн !р ~-еео.
Остаегся показать, как следует выбрать 0,(р) и (7( р), чтобы они удовлетворялн (8). Напомним, что у Сс,(р) нет свис улнрностей ниже выбранного п)ти витегрпровання. Задача сводится к тому, чтобы представить коэффициент при ЯЩ в соотношении (8) в виде 1+ехай аУ~ — рш) 1, ( )ь ( ) (9) где У,()с) не имеет сингулярностей и нулей в полуплоскости выше пути интегрирования и по абсолютной величине возрастает там до бесконечности; Е,(р) должна обладать такими же характеристиками в полуплоскости ниже пути интегрирования.
О возможности подобного представления известно нз обисейс теории Винера и Хопфа 1?1. Хейнс 1!О) получил выражения для ()с(р) ' и Е,(р) в явном виде. В таком случае имеем х" х 1 Сы(р)- Ы )~1 — р*(7 (р.) 1,(„)(„+„) (00) где использовано соотношение Ух(р) =1.,( — р), входящее в неявном виде в (9) (с точностью до произвольного постоянного множителя). Аналогично, если 1 — ехр (Псе 1 1 — ссх) (11) à — и стРОРАя т'еоРия диФРАкции (гл. 11 Где Р(р) ='7, )г ) — р'[сс, (р) (7,( М, (р)-'гсс (р)(7 (р) й (р)) '- и" ~' — !" [(7,(„„)(7,(р)-~-(7,(р,)(7,(р)). (!4) Здесь снова следует отметить снмлкгрию Р(р) относительно р и р,.
Кроме тога, когда а =. О, имеелс (Г,'(!с) = 1/ =, (7»(р) =-О, и (14] сводится к(! !.6 6). - Р,+. 11.8.2. Бесконечный набор параллельных полуплоскостей, расположенных ступеньками. В этой задаче (9) рассматрияасгся бесконечный рял дифракцповных экранов, причем л-й экран занимает полуплоскость у=па, х.»ОЬ, где л -- О, ~1, -с-2, ... Как и раньше, для падающей Е-поляризованной плоской волныдифрагированное поле, обусловленное ннлуцираваииым токам в т-м экране, имсетиид Е™=~ Р„(созсс)ехр [ — !Ьт(лсозсс ~ЬРйппЦ ехр [!Ьгсоз(й~а)) йс, (15) где верхний знак берется для у)та, а нсакний — для у(ггса.
Все функпии Р (р) должны быль свободны ат сиигулярпостей ниже пути интегрировании в плоскости р = — соз сл. Из граничных условий на и-м экране следует интегральное уравнение ехр(!Ьа) и — т[ЬЕТ вЂ” р») ехр [!Ь(х — тЬ) р! с(р =- = — ехр( — гйхр,)ехр[ — !Ьлп)~ à — р,*), (!6) которое должно выполняться для х',ь ИЬ. Иэ периодичности задачи ясно, что Р„(!с) = Р, (р) ехр [ — !Ьт [Ьр»+ а Ьг! — р;Ц: (!7) полагая и — т = д, приведем (16) к виду [,."'~~ ехр [(Ьд [Ьр»+а)»Т — р[ц ехр (гйп [д ! Ьг! — !л') х ыехр(гй(уЬ+х) р)с(р —.— — ехр( — гйхр,) (!8) для х)0.
Бесконечную сумму по у можно представить в замкнутой форме, если спаяв написать иитегральнос уравнение, решаемое при помосци теоремы яычетоа Коши. Как и а прекыдуссей аадаче, необходимо представить некоторую функцию в виде двух множитспсй. Один из них долисен быть свободен от спнгулярпостей и нулей з верхней полуплоскости н по абсолютной величине возрастать там до бесконечности, а тругой должен обладать такими же характеристиками в нижней полуплоскасти. Более подробно с этими лстса»кителя»си можно познакомиться я статьях Карлсона и Хейнса, на которые мы уже ссылались. 11.8.3.
Волоса. Другая интересная задача, вводящая в заблуясдение своей каясущейсв простотой, относится к днфракпии иа бесконечно длинной, идеально проводяпгей плоской полосе с параллельными краями или к дифракцин на сдополнле.сс иам экране» в виде шели в бссконе той плоскости. Было предложено несколько способов решения этой задачи (6, 16, 33 — 36), па ни один из них ие давал решения в замкнутом виде. Ниже показана, как в случае нормальшсго падения плоской волны метод дуальнога интегрального уравнения )37, 38) использовался дли получения в решении первых двух членов разложения в степенной ряд па Ьа, где 2а — ширина полосы, лгхгиа задачи Лля полосы, занимающей область у=О, !х! (а, при нормальном падении Н-поляризованной плоской волны интегральные уравнения (11.4.19) и (11.4.20) принимают оид ~ Р(р)екр((йхр)г(р —.1 для !х)<а, ехр (!йхр) г(р:=.О для (х ! ) о, л (и! 1 ! — н' нлн, поскольку нз симметрии задачи следует, что Р(р) = Р( — и), Р(р)соз(йхр)г(р = — дли (х! <л, ! й =-соз(йхр)г(р=0 лля )х()и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
