Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 138
Текст из файла (страница 138)
х, запятую металлом, а через Л - — область, свободную от металла. Если рассеянное поле Е"', Нгч представить и виде углового спектра плоских волн в фюрие (10), (!!) и (12) нли (!3), (14) и (15) и соотвегствии с типом поляризации, то условия (а) и (б), ьпиведенные в й 11.3, дают следу)ошне интегральные уравнения: Е-пслярилщпл ) =-! —;- ехр (!йхр) Ы)« = — Е," на М, Р! О „)г) — в' ~ Р0>)ехр(йхр)ЫР=.О иа А, 5 11.51 двтмзюмя двзгдкпия ялоской волны нл полгплоскости 521 ф 1!.5. Двумерная дифракция плоской волны на полуплоскости 11.5.1. Решение дуальных интегральных уравнений для случая Е-поляризации. Ня нескольких последующих страницах дифракция плоской волны па полубесьонечвом плоском листке рассматривается строго с помощью простого точного реше-) Н ния соответствующих дуальных интегральныхуравпеиий.
Рассмотрим сначала Е-поляризованную плоскую волну Е,'"=ехр [ — Иксов(Π— сз,)), (1) па!!яюигую на идеально проводящую полуплоскость у =-О, х,. О, где для удобства предполагается, что и, вещественно и О(тч(я (рис. 1!.6), Уравнения (11.4.17) и (11.4.18) запишутся тогда в виде ехр (Илр) бр = — ехр ( — Илр,) при л ) О, 1Г1 — в' Р (р) ехр (Илр) др = О при хс О, Рвс.
!1.6. Плоская волна, ва. дающая яз выыьяо прозщяМум «олуялосяосп. (2) (3) где р, = совам Воспользуемся для их решення обычной техникой контурного интегрирования, В интеграле в левой части уравнения (3) х отрицательно. Следовательно, согласно леьгме и!орлана (20! и при условии, что Р(р) О, когда ! р ! — ~.сю и О.:агй р) — я, мы можем замкнуть путь интегрирования бесконечной полч- окружиостью лялсе вещественной оси, пе внося никакого дополнительного вклада в интеграл. Таким образом, дальше исобходпмо только гютребовазь отсутствия у Р (р) сичгулярностей в полуплоскостн виже пути интегрирования, чтобы уравнение (3) удовлетворялось, так как в зтоя случае интеграл беретсн по замкнутому контуру, внутри которого подынтегральное выражение ре- рулярно. дна,чогичио в интеграле левой части уравнения (2) х положительно и можно замкнуть путь интегрирования бесконечной полуокружиосгью зыае вещественной оси, не внося дополнительного вклада в интеграл прн условии, ральное уравнение.
Хотя их метод здесь и не применяется, следует отметить его связь с предлагаемым методом. !1апример, в случае Е-поляризации решениее (18), полученное с использованием преобразования.фурье, можно записать в виде Р(р) =- — — ~ з, (') ехр ( — ИР$) с(5, (21) конечно, в согласии с уравнением (8) и с тем, что 7;(в) =0 на А. Подставляя вто значение Р(р) в (17) и интегрируя по р, получим интегральное уравнение — ') з,(5)Е',"(й)х — $))05=Е[ь на М, (22) м содержащее функцию Хеикеля Е',о первого рода нулевого порядка; оио должно быть решено относительно з', (5).
Очевидно, левунз часть (22) можно вывести непосредственно из соотношения для дифрагировавшего поля, выраженного чсрсз плотность индуцированного тока, б22 (гл. 1 ! строгая ткоеик диорвкпив что Р(р)/Рг! — р'-ьО, когда (р )-ьос и п)агдр вО. Тогда, если У(р)— произвольная фупкция, свободная от сиигулярпостей в польтьчоскости вы не пути интегрирования, с соотвегствующим поведеныем там ири )р )-ьоо, то. очевидыо, (2) )довлегворяется при р(р) ) и() (4) )' ) — Ио Энс ь ( — ро) (В+)со) если путь интегрирования огибает полюс р = — р, снизу, как показано схематически иа рис. 11 7.
Действительно, едиьственная возможная сыигулярыость функцыи в правой часта уравнения (4) — это полюс при )ь =. — р, с вычетом, равным — 1)(2тп), а по теореме вычетов Коши это как раз дает в интеграле (2) член— /оо Ехр ( — Йх)со). Переписав теперь (4) в виде р(р) ) ибб у! „' ' — й и(-р) (и+р.) = — — )у) Фр, ггт) Рнс. )1,7. Путь нн~стрнроввавя в конпвоксноа )ь-нвоскоотн. можно доказать. что правая и левая части (5) постоянны. Левая часть свободна от сиигуляриостей в полуплоскости ниже пути интегрирования и по аосолютнои величине возрастает там до бесконечности, тогда как правая часть ведет себя тахпм же образом в полуплоскости выше пути интегрирования.
Следовательно, функция, с которой совпадакп обе части, свободна от особенностей и абсолютяая величина ее возрастает до бесконечности на всей комплексной !ь-плоскости, значит, такая ф)пкция должна быть полинолсоы, а так как для некоторых значении агйр величина Р(н)- О при ()ь ! — ьоо, этот полипом может содержать только постоянный шен. Значение его сразу же можно найти, если положить р = — р, в правой части (б); тогда р() с )') — роу) — В р —,во (6) или — ехр [ьйг соэ (8 ч- а)] с(а. (8) с Верхний знак берстсы при р) О, нижний — при у~О. Теперь остается придать полученному решению более удобную форму. 11.5.2.
Выражение решения через интегралы Френеля. Если йг велико, т. е. если расстояния от начала координат порядка длины волны или больше нее, можно попытаться вычислить иитсгралы об|пе1о вида ~ Р(сова) ехр (гйг сов(Π— а)1 На (9) м~тодом наибыстрейшего спуска (см. приложение 3). Предварительная процедура в этом методе заключается в замене пути интегрирования (сейчас в подып- Мв ( —, ао) в)о ( —, а) Р(сова)=— (7) О значении симметрии (7) относительно а и а, говорится в конце п. 11,7.1. Используя величину Р(созсс), определяемую (7), найдем из соотиошени (11.4.10), (11.4.11) и (11.4.12) компоненты дифрагировавшего поля и, следокателы)о, для полного поля получим .Е =- ехр ! — !))г соз (6 — а,)1— ЛВУНВРМАН лиеРАкння плоской ВОлны нА полУплоскости 523 5 11.5) тегрзльиом выражении допускается существование любых сингулярностей) на )! уть наибыстрейшего спуска, например 5 (6), проходя)ний через седловую точку прн а =- О.
Путь Ь'(6) показан на рнс. П.8. Вдоль него новая переменная т=)'2 ехр ( — !и) в!и — (а — 6) (, 4 ) 2 (10) пробегает все вещественные значения от — оо до +со. Тогда интеграл (9) принимает вид )/2 ехр ( — — !п()ехр(йг) —;.=.— е"р( !"т) с(т (11) — I 1 . ) . Г Р(сота) ) 1 )/+., Р я Отсюда можно получить асимптотическое приближение для йг))1. Применение такого метода к спениальному интегралу в (8) позволяет фактически без приблвженпй )юлучить его выражение через интегралы Френеля.
Сейчас это будет показано. Рассмотрим сначала случай О< 6< <я. Так как (7) можно .представить в виде Р(сОва) = 1 ( 1 1 =-4РВ (з —,(а — .) — - — х(а+а,)~. (12) то достаточно вычислить 3 вес — (а — а„) ехр (йг соз (6 — а)) Йх, 1 в )в) Рнс. 1!.В. Путь ивнеыстревшего спуска 5 (В) о комплексной а.ввоскостн. (18) 1 поскольку вклад ог вес — (со+ а,) можно затем найти, изменяя знак а,. Простое преобразование (13) дает 1 вес — (а — а, + 6) ехр (Иг сова) )(а =- з (о) 1 д '(вес з (а — ьво+6)+вес з (а+а,— 6)~ехр(!йгсоза)4(а за) 1 (1 сов —, (ао — 6) сов ~ — аь '1 Н ' ехр ((йг сов а) )(а) (1й) сова-1 сов(аь — 6) в )о) применив подстановку с=-Р 2 ехр ! — !я~ з!и ! —, а), — 2ехр (4 (и) ехр(!йг) т! ') "Г( .', ) )(т, ((б) где )1 )' 2 сов — (6 — аь).
Но ехр( — вт'))(т= ~/ —, [гл. 11 524 стгогля теория диерлкпии р р одну из форм комплексного интеграла Френеля я), находим Г ехр (- дстз) г— т) ] —,— —.,- — с(с=~ 2] и ехр( — йгт)з)Р(~ т) р йг). Верхний знак берется при т1)0, нижний — при т) '"О. Объединяя зтв результаты, имеем окончательно для у)0 соз а-1-соха ехр [(йг сов (О а)] с(х = з !з! зхр ( — — !я) — ех р [ — йг спз (Π— а,)] Р ! ]тг2йг соз — (6 — а ) ~ ~ехр [ — йгсоз(О+а )] Р ~~] 2яг сов — (8+схз)1)' (18) (19) где верхний знак берется для 6+а,(п, а нижний — для 6+а„.
к. Для того чтобы получить пз (8) полное поле, остается только учесть простой пол!ос при а =- п — а,. Поскольку 0 . Ос и, легко показать, что при замене пути С на путь Я (О) частя иа бесконечности не вносят вклада в поде, н из ркс. 11.8 ясно, что полюс захватываюся тогда и только тогда, когда н — аз) О. Его вклад, полученный по теореме вычетов, равен ехр [ — Иг соз (О-).а„)].
(20) Другими словамн, он представляет отраженную волну геометрической олглики, разрыв которой при переходе через О =--и — а, точно уравновешивается разрывом в дисйрочсрозоннолс поле 119). В самом деле, применяя соопюшеиис Р(о)+Р( — о) ==-$~п ехр ~ — „!в) (21) мы можем записать полное поле (8) в виде ! ехр! — 4 Ьт! г Е,=, 4 ] (ехр [ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
