Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Иг сов (Π— „)] Р [ — )' 2йг соз 2 (Π— а,)]— — ехр [ — йг сов (6 —,а )] Р ~ — )г 2йг соз 2 (О+ схз)1 ~, (22) спо совладает с известныл! результатом Зоымерфельда. Когда у(0, вычисляемый интеграл равен ехр [йг сов (О+ а)] т(а. с *) Отз форма интеграла Френеля здесь более удобна, чем форма (8.7,!2) Следует отметать мзмеясвяз пределов аатзгрвравзввя. откуда, умножая иа ехр((т)за) н интегрируя по $ от йг до бесконечности, получим ехР (йгт)') ] — —,„-; — с(т = )с и о! с($ = " о ~ ехР (!Р') дг)т. Г ехр ! — Дгтз! — Г схр (оИтВ 2 ь,т ТчГ (16) Обозначая через Р(а)=- ехр(с' ')с( (17) й 11.б! двьмввнля дкеулнпня плоской волны ил полрплоскости 525 а затем найти Н„и Н„из соотношений Н =" соз ОН вЂ” 3!и ОН! Ну за! Ӧ́— ' соз ОН!. Для получения более компактных результатов введем следующие обозна чения; и =-.
— )1 2дг соа —, (Π— с»„), а = — 'г»2йг соз — (О+с»,), (24) 6 (а) = ехр ( — !а'] г" (а). (25) Заметим, что — = — 1 — 2!а6 (а). да 1а! да Выражение (22) тогда принимает вид ехр (- — 1л) Е, = ехр ((йг) (6 (и) — 6 (о)); отсюда следует, что ехр ( — — в! ) Н, = ' схр (!(гг)(з!п(0 — а,) 6(и)— — з!и (О 1- и ) 6 (о) — 1 )у — шп ', —, а ) соз ~ — О) ~, (26) (27) ! ехр ( — — 1л) ' ехр ((Ог)) соз(Π— а») 6(ь)— — соз(О-)-сг,] 6 (о) -',- ! )» —, з!п Ям»уз!п ( з 0) ) » ! схр ! — — »л) — ехр(»йг) з!па»(6(и)+6(а)) + у д )l а —,5!и ( з а»)соз ( О )~), (23) ехр ( — — »л) 4 ((й)( (6( ) 6(о)) ) л ! ~/ 5!и (я яу) 3!п ( — О)~- 11.5.3. Характер решения.
Теперь исследуем подробнее характер результатов, нолучепньы в и. !1дй2. Из приведенного та!! вывода очевидно (и это мо»кио пряно нооверить), что 6(и) ехр(!йг) есть репшние двумерного волкового уравнения при любом значении ам здесь интересно отметить, чта оио имеет Соответствующий путь наибыстрейшего спуска теперь имеет внд Я(2л — О).
и захват и!шюса при и — л — а„, который имеет место только при О) л — , 'и„, приводит к выражению, соотнегствующему нада!ошей волне со знаком минус. Полное поле опять определяется выражением !22). Соответствующие соотношения для компонент Н получаются просто дифференцированием, ьак показано в п. 11.4.1. Представляют интерес как декартовы компоненты Н» и Ну, так и полярные компоненты Н» и Не Ввиду того, что (22) выражено через г п О, удобно сначала получить Н„в Н, яз уравнений Максвелла Н = —.— ', Н= — — — *, ! ди» ! дп, 1Е» ра ' з »а д» (23) 626 (гл.
11 СТРОГЛЯ ТЕОРИЯ ДИОРВКЦИИ ЛЭРивхнвн ЮИГНИРЛЯГ Хйтном уим Рнс <!.!О Трн области геометрическая аптнкн прн хнфряхцпн пносхон волны <ш ндсвоьно орово,овцой по<пуп«о<хоста. Рнс П.э. Пять областей, в ко<ърмх опвсм. ввстсв оовсдсннс по.ш пря цнфрвхшвн пвосвой водны пв нпсьвьпа провадяжсн по<упвоскостн. За уравнения кривых, ограничивающих области х'У и 1)<, примем соответст. всппо и' = 1 и о' -=. 1.
Следовательно, эти кривые име<от вид парабол с фокусачн в начале координат и осями 0-. и-ьшс и 8 — я — он В глубине области П (т. е. внутри параболы их =- с, где в<«1) (и !:,х 1; далеко от области П (т е. впе параболы ис -.у, где усо!) (и !)<ь1. Аналогичные соотношения получим и для ! О ! и области 1)<. Кроме того, при 0 < 6( я — ао как и, так и о отрицательно; при я -«ь(0(я+мои отрицательно, но О положительно; при я+ <4„0(2к как и, твк н о положительно. Области 1, Ш и Р, о<гвидно, тесно связаны с теми областями, которые появились бы в рачках геометрический оптики, где свет распространяется по прямым линиям. Перечислим их: область <гимн позади экрана, где поля нет сбвсем, освещенная область.
где сущсстпует только падающая плоская волна и область оглрилпеиил, где одноареь<евно присутс<вуют падающая плоская волна и отраженная плоская волна, соогнегсгяую<лая отражению от бесконечного экрана (рис. 11. 10). Вообще говоря, в областях <'<' и У)< ос) шествляется плавный переход от точного решения в одной области геометрической оптики к решению в соседней области. Прежде чем показать это более подробно, мы должны за- *) Хорошее прспстввнсннс об этом подходе можно попучнть нэ гл. 4 книга [!61. *') По.ввхнмому, пу<шс всего. подходят дтя этой цели таблнцм, прнвсдшпщс в (21!.
периодичность 4И и, следовательно, б(и) — П(О) исчезает при 6 = 0 и 8 = 2я, т. е. на обеих поверхностях экрана, ио яе исчезает прн 9 — и.. Зоь<ь<ерфельд пришел к своему решению (22), пытаясь нанти соответствующее решение волнового уравнения с периодом 4я и объединяя это решение с его «изображением» ь), Кстати, нз (26) вытекает, что выражения соз (2 6~ 0, 5)п ( — 6) также служат решениями лвумерного волнового уравнения, н этот результат хорошо известен. Следует исследовать еще поведение (26) при г-ьсо. Это очевидно и будет в далы<ейшем главной темой, обсуждаемой в данном разделе. Привлекательной чертой задачи с полуплоскостью является то, что в любой точке поле меж;ю найти, пользуясь табляпсй интегралов Френеля **). Кроме того, в двух особо янтересиых случаях, а именно прн йг~~~! и йгчб! пригодны простые приближения к интегралач Френеля (см. п.
6.4.2). Первое условие, без сомнения, всегда выполняется в оптич<хких экспериментах, где точка наблюдении находится, вероятно, на расстоянии миллионов длин волн от дифракпионного края; второе условие выполняется при изучении поведения поля вблизи <к <рого кран. Э<ог случай мол<но изучать на сантиметровых радиоволнах (см. п. 11.5.6). с л у ч а й йг))1. В данном случае(и! и (О( велики по сравнению с единицей, за исключением значений и, достаточно близких к я+ <хс и я — с<ь соотвстс н чно.
Для определенности введем пьть областей, как п<тказаио иа рис. 11.0. $11.31 лвхинрнАН диеРАкпня птоской волны нА полУплоскости 527 держаться, для того чтобы вывести асимптотическое приближение для интеграла Френеля при больших значениях аргумента. Если и положительно, можно написать 0 (а) = ех р ( — со') ) дважды интегрируя по частям, получим 0(п)= хе+ 4е, + 4 ехр( — ссс') ), с04. 1 3 Г ехр (срс) (29) а Продолская зтот процесс и далыпе, можно получить полное асимптотическое разложение для Н(и), но сейчас нам важно заметить только, что модуль интеграла в последнем члене (29) меньше чем )сс Зес (307 Огсюда имеем о(н) — зс +О( „с)" (31» Е, = Е,'х'+ Е,'", где Е',с' — поле геометрической оптики, определяемое как Еси ехр [ — йг сов(0 — ае)~ — ехр ( — йг сов(04-ае)) для 0<0 <и — а„ для...<0<,.а,", (331 для и+а, <0<2п, ехр ( — йг сов(0 — ае)] 0 а Е'„л' — поле дифрпкс)ии, представляющее собой просто то поле, которое следует добавить к полю геометрической оптики, чтобы получить полное поле.
Теперь при йг >)! находим из (26), использ> я (31) и (32), (1 '). /1 е)н ( — ссе) ей с —,З ~ 2 /1 ') 4,2 7 с 2 с ехр( — Ис) Е,' ' ин ~/ — ехр — гп ) — с я с, 4 с сосо-1-сох че у Ас (34) в точках, ис слишком близких н обеастям /1 н 71' (в смысле, ухазаняом выше). Легко нндсть либо из (23), либо из (27), что в том же приближении, как и в (34), компоненты Нс равны Не~ = — Е,'»' и Н)л = О. Очевидно, (34) означает, что палс днфракцпн ведет себя так, как будто ояо порождается линейным исто сивком, расположеиныч вдоль днфракпиошюго края, с «полярной диаграммой», изменяющейся с углом, как было определено выше, Это находится в Здесь интересно отметить, что зтот рпеультат можно было получить и общим методом, описанным з и.
11.5.2, который в данном случае сводился бы к раз- ЛОжЕНИЮ МНОжИтЕЛя (тх — СЧ') ' В ПОдЬППЕГраЛЬИОМ ВЫражЕПИП (18) В ряд сит степеням т и к интегрированию каждого его члена. Если а отрсщсинлано, то леван часть (30) расходится. ио атот случай легко рассмотреть, используя (21) совместно с результатом, полученным лля положительных значений аргумента. Таким образом. ы(о)=Упехр (4 сп)ехр( — 1п)+2,+О(-,т), (32) То обстоятельство, что асимптотическое приблвженис (31) для положительного а и (32) для отрицательного а различны, есть частный случай явления Стокса [22]. Напншсьс тепсрь строгая теория лиагакции (гл.
11 (37) согласии с экспериментальным фактом, что дифракционный край кажется светящимся, если он рассматривается из области тени. Когда созО+ сова, приближается к нулю, соотношение (34) станонится неверным, и нужно обратиться к точному решению. Так как в О (0) = ~ ехр ((ра)йр = — )' го ехр) — (и), (35) о го нз (26) следует, гго цри 0 = я+ а, Е, = —, ехр (Иг) + О (=~, 1 . Г 1 (р ° ' (36) а при Π— и — а,— Е,.=ехр (гйг сов(2а )) —,ехр(гйг)+О (=~ . 1 .' Г 1 а д (р.„—, Следовательно, вблизи 6 =и+а, и 0 =я — а„поле дпфракцяп имеет гог же порядок, что и падающее поле. В частности, а бесконечности переход между полями геометрической оптики в соседних областнх — ††- йд — — — — — — происходит через нх среднее арифметическое. Интерференция Поля геометрической 4й оптики с полем дифракцин в областях, где фд они сравнимы, вызывает возникновение по- лос.
Опа видны на рис, 11.11, который йг будет обсуждаться ни>не. С л у ч а и йг: 1. В данном случае -У -а -3 -л -г аг У л о аг )и 1 и 1о , 'малы цо сравненвю с единицей, Рлгйлллллллллллщаалллллпнл и полезно использовать разложениев ряд рве, 11.11, двфраяцва ворвалаво ла. интеграла френнтя. Напишем вающай йкооаарваоваваой влоевой а долны едаващой аыалюуды ва вде. алано 'проводящей' лолуглоевоетв. Р (и) = ) ехр (гр~)бр ) ехр ((р~) а(рл о разлагая экспоненту н подынтегральном выражении второго интеграла, пол)чиы Р(а) = — ) пехр( — ан) — и-1-О(о').
(38! Таким образом, из (26) н (28) находим, пренебрегая членами с йг в степени, большей половины, Е, = 2 )р/ — ехр ( — ' й гя ) )' йг з1п ~ — а,) з1п ( — 6), На = — ГОП а, — )à — ЕХр — — ГП) ГОП вЂ” а ) СОЗ( — 011 Х Гй а Г и ~ й ) (й а) х =.+(1+2созаа)Р йг), ) (39) Н = ) — ехр ( — — (и ~ з(п ( — а ) з)п ( — 0 ~ х х ~ — — '+(! +2 сова ))г Гг~, Необходимо отметить, что Е, конечно н непрерывно прн в=О, но Н„ и Н„расходятся как г 'г; исключение состаьлюог случая О = я, когда Н„=:. = — гйп а, ехр (гйг соз аа), а также 8 =-О, 0 =-2я, когда Н„= О, Такое пове- э 11.51 двгнкенля диэгхкция плоской волны на полгплоскости 629 дсние функции, необычное для физических задач, является, конечно, следствием идеализированного предстаплення о бсскоксчяг> остром крае. В этом случае существование сингулярностей у коьшоиент пола долэкно быть у пено при формулиронке любой теоремы, относящейся к единственности решения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
