Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Как и прп классическом изложении ~рннпнпа (см. и. 8.3.2), здесь устананпнваегся соотношение между соответствующими полямп в присутствии основного экрана н «дополнительного> экрана, получюшого путем замены проводящих топких пластинок отверстиями; различие заключастся в том, что падающее на лополпвтельный экран поле от>шчно ог того, каюрое падает нз основной экран, и по.>учается из него преобразованием Е-~ Н, 517 й 11А) двхмкгилк диеехкцнк на плоском экглна Пусть при у)О поле (индекс 1), падающее на основной экран, равно Е»»л = Р»а.
Тогда из (а) и (б) находим: (в') (б') Не=на=О на А. Пусть поле (пндекс 2), падакицее на дополнительный экран, равно Н»»»еч = Р»". Тгпсрь выразим граничные условия чсрез полное поле: на А, (а") б 11.4. Двумерная дифракция на плоском экране 11А.1. Скалярная природа двумерных электромагнитных палей. Двумерной задачей назыиается ~акая задача, которая совершенно нс зависит от какой- нибудь одной декартовой координаты, наприл»ер от г. Как отмечалось выше, такие задачи а электромагнитной теории существенно скалярны, так как в иих входит одна переменная.
Сейчас это будет показано. Отбросив временной мпо»китель ехр( †!ы!) и написав й = ыгс, можно привести уравнения Максвелла в вакууме к виду го1 Н = — (йЕ, го1 Е = ЖН. Прправнпеая нулю все частные производные по г, разделим эти уравнения на дае независимые группы, а именно — '- = !хН, — '= — (йН, дн» дЕ» ди ' дх У' (1) дН дН дду дн, ду "" дх "х' (йЕ»=!йР ' х=!ЕН дх дд (2) Б первую группу входят только Н„Н, и Е„во вторую — только Е„, Е„и Н». 1!озгану можно добиться упрощения, разделяя произвольное решение иа .!пнейную комбинацию двух решений, у которых ка»кдый член анной пз ука- занных выше групп равен нулю.
Охарактеризуем эти диа типа полей следую- щим образом: Е-паляризш!ил Е„=Е =Н,= — О, Нх = —. ! дЕ Ы ди 1 дЕ» У й дх н, нак очевидно, подставляя Н„и Н„в третье уравнение (1)! получим д""Е д»Е» —,'+ — "+ й»Е ---О. ды аи (б") П„„=Ем, Н„=Ем на М. Так как уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразопанпя Е-». Н, Н-ь — Е н гак как имеется единственная понерхностнаи плотность тока в плоскости у -- О, которая ньжыазла бы падэюп!ее ноле ао всех тачках у(О, то из сравнения (а') и (б') с<ютветственно с (б") и (а») ясно, что в полупростраистве лазиди экрана Н, =- — Е,а'.
Используя полное поле Е„получим из (1) Е, + Н, = Г!»!. (2) Это и есть электромагнитная форма принципа Бабине, (гл. !! СТРОГАЯ ТВОРИЯ ДНФРАКПЯИ Здесь полное поле выражается через компоненту Е„ которая, конечно, удовлетворяет двумерному виду обычного волнового уравнения. Й-поляризация Ек=-ОР— — Е,=О Е =- — — ' 1 дН« Р са дк ! дН Е й ду Здесь полное поле вьсраткается через ГГ«. 11.4.2. Угловой спектр плоских волн. Как было показано выше, в случае двс мерных зада Г, которычп мы ограничиваемся, декартовые компоненты векторов Б и Н удовлетворя от уравнению (3) Это уравнение должно решаться при соответствующих граничных условнях.
Основное злсментарное решение уравнения (3) имеет вид д К ехр (йг соз (Π— иЦ вЂ”вЂ” =ехр (И(хсоза+угйпссЦ, (4) М где Г н О (О=и й =2л) — поссярнь!е координаты, связанные с х ну и га ураваениями х =ГсозО и у.—.- Д' =-Гз!пб асс — ухал между направл) ф лснисм распространения волны н ряс. !!.2. плоская волн«, о«ясмв««м«я соспяоше- осью х(рис. !1.'2, а). Г!ри вещестюс«я (4). венномкх выражение(4) представ«-««: Р«А ..
с ««Р «: « ., ляетплоскуюоднородную волну, плексно, выражение (4) представляет нгоднораднуа плоскую волну, т. е. такую волну, у которой плоскости равных амплитуд и равных фаз пе совпадают. Ле!!Ствитеяьно, обозначив и= и«+(хм где а« и п«вещественны, получим вместо (4) ехр(йгсоз(Π— ссЦ=ехр !Иге)сп«саз(Π— исЦехр[ — йгз)сп«з!п(Π— исЦ; (5) отсюда следует, что плоскости равных амплитуд и плоскости равных фаз взаимно перпендикулярны (рнс. 11.2, 6). Направление распространения фазы СОСтаВЛЯЕт С ОСЬЮ К УГСЛ Пь ПРИЧЕМ фавааап СКОРОСТЬ УМЕНЬШастеа В ЗЕС)Г П, раз. В перпендикулярном направлении имеет место зкспопепциалыюе ослабление, определяемое козффнпиеитам lс гй и«.
Теперь покажем 120), что при соответствующем выборе пути интегрированна и подходящем выборе функции Г(гл) любое решение (3) можно представить в виде углового гпесапрп ллаглих волн ~ Г (сс) ехр (сйг соз(Π— аЦ йх. Такое представление тесно связано с представлением произвольной функции с помощью интеграла ГР) рье и подобно последнему широко используется в приложениях.
Без значвтельной потери в обгцнасти можно задать некоторый фиксированный путь интегрирования и тем самым свести любую задачу к отысканию соответствующей функции Г(п). 1!рсдставнм сначала таким образом электромагнитное поле, создаваемое плоским листком тока, а затем покажем, что Ф 11.й) двтиврнея лиерлкция иа плоском экрана это приведет нас к формулировке задачи дифракции на плоском экране в виде дуальных интегральных уранпсний. Рзссмспрнм .твул>ерный листок тока в плоскости у =-О.
Как уже отмечалось выше, удобнее иметь дело отдельно с Е-поляры«апией н Н->юляризацней. Сначала рассмотрим первый случай>, котла плотность тока имеет только г-компоненту, допустим г',, Попытаемся вьшс>ппь, прн каком асабои распределении появляется Е-поляризованная плоская волна Е = (О, О, 1) ех р [1 йг соз (Π— и)[, И=(а|пи, — соьс«,0)ехр [|йг сов(0 — и)[ (6) в полупространстве у)0. Из первого соотношения (11.2.2) сразу же видно, что в тачке ($, 0) з » (") = — —,„ехр (|йэ соз и) ь|п и. (7) Это конечно, можно проверить обычным методом потенциа.лов Герца, находя лоле, созлазаеыое данным распределе. впеп тока, ио те>гдз придется вычислять достаточно слож- рзе.)!.З.Г)уть явный интеграл.
те>р>«розаиее Ь е Итак, вгюбше говоря, можно создать любое распреде- комплексной и.елелеинс тока путем соответствующей суперпозиция выраже. иий (7) для разных значений и, а возникающее поле можно получить саотнетствукяцей суперпазпцией плоских волн (б). Более точно. допустим,что плотность тока можно записать в виде интеграла Фурье 2, (ь) =- —.—, ~ Р (р) елр (!й$)е) е(1 . Замена переменной р =сазе« дает У,(~) — — — — я') ь!пиР(сони) ехр((ййсози)е(и« (9) с где С вЂ” путь в комплексной и-плоскости, вдоль которого сози изменяется (принимая только вещественные зпачсння) от еа до — оо (рнс. 11.3). Результи- рующие не >авныс нулю компоненты поля равны, следовательно, Е' = ) Р(соьи) ехр [(йг сов(0 >- иЦ >(и, (10) с. Н"'==~ ~ ь!пиР(соьи)ехр [(йгсоз(О~и][е(и, (1П с »ц -.
Н„'' =- — 1 соз иР (соь и) ехр [>йг сов(8->- и)[ е(и. (12) .х/ [ >>>, с Верхний знак беретсядля у)0, нижний — для у'"О. Уравнения (10), (11) и (|2) представляя>т пален ниде спектра плоских волн, определенного с памогпью чреетр.'ееече ' ем>ер«>хенк Функшш Р (со«и). Отдельные плоские волны, соответволю, еелучееыых е еелтере- сгзующне части пути С вдоль вещественной оси, одностренс>ее рма (еееелеые родны н нзлучанпся в области у~О и у ..0; и ка>к»ееие) е " зал>эре«>ре"«те«> дой области направления их распространения лежат в р 'О (з>нвтзреые пензе).
прсдслах утла и (рнс. ПА). Плоские волны, соответствующие двум частям С, для которь>х се = |О и и = и — |(! (от )> — Ода б =-со), неоднородны; для них распростравение фазы происходит вдаль положительного или отрицательного направления оси х, н имеет месго экспоненциальное ослаблениее волны в направлении, нормальном к плоскости у.=.О, Легко показать, (гл.
11 520 стгогья твогия диэгькции (14) (17) (! 3) Гт-поляризация ~ РО«)ехр(йхр)Ы)«=-Еы на М, ) ="' ехр()йхр)ЫР=О на А. Р (Р) ,) у=)„ («0) Анализ отабраженяя частя комплексной плоскости и ат )«еи — О до )сои == я на всю камплсхсиую плоскость р (и =со«и) показывает, что п)ть интсгрвровании вдоль вещественной оси сгибав« возможиыс точки ветвлениЯ пРп Р =- сй! (! нс.
11.5). Интегральные уравнения таки а ппщ, в которых одна неизвестная ф)пкция Р(р) удовлетворяет разлпчвым уравнениям в двух разных областях изменении параметра х, называются «дуальньши> 171. Методы Копсона, П(вннгера и др, о катаром упоминалось в 4! 1.1, отличакгся от приведенного выше только тем, что в нем используется адно иитег- исследуя поведение вектора Пойнтинга, чта в среднем ни одна из этих псчеэаюм)яг волн не переносит энергии от плщ кости у =О. Наличие таких волн необходимо для учета структуры в распределении тока, которая мельче длины волны.
В случае ЕРполяризации поле, созданное током с плотностью така 2> на у=О, можно аналогично записать в виде Н'," —.— ~ ~ Р(сов и) ехр !йг сов (О ~ с«)1 Ыи, Е7' = — ~ з)пиР(сов и) ехр ((йг сов(6«=и)) Ыи, с Ею =-и ~ сов ир(созе«) ехр 1!йг сов(О~и)) Ыи. с Верхний знак берется для у)0, нижний — для у«0, причем У„($] =.—, ( . Р) ехр(гйй)>)ЫР. (!6) 11.4.3. Формулировка задачи через дуальиые интегральные уравнения. Теперь можпо сформулировать двумерную задачу дифракции иа плоском экране через дуальные интегральные уравнения. му Запустим, что электромагнитное -1 поле Е"', Но' падает па систему бесконечна тонких идеально проводящих полосок, лежащих в плоскости у =-О; Ряс. П,Э. путь анте«РеРевеаея ее в м ю обозначим через М область измеиення -)-се е кемвлексмеа р-плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
