Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Были решены также н другие задачи. В последнее время предложены новые методы, применение которых было стямулиронано успехзмн ультракоротковолиавой радиотехники. Прежде «ем перейти к оснозяому содержанию настоящей главы, упомянем очень коротко о некоторых из этих исследований. Гели сущсствунг такая ортогональная система координат иь и„м„в которой поверхность дифракционного тела совпадает с одной из поверхностей [гл, 11 514 стРОРАя ГЯОРня днФРАкцнн и, =-сопз1, то для решения дифйжренцнальных уравнений в частных производных мои!по использовать классический способ разделения переменных.
Такнч лгтодом фактически и воспользовался Ми длп решения упомш!авшейся выше задачи о сфере, облздан>щей ионгчной проводимостью. В этом случае решение красной задачи имеет вид бесконечного ряди и его ~геинасть зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от' скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся и различных случаях (помимо задачи со сферой); особенно надо отметить его использование в случае дифракцни на круглом диске ялв отверстии [5).
Следует, однако, звмегитго что гпппь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды; дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принздлежат и основном к этому типу, по в других случаях некто[>ная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. Другой метод с использованием интегральных уравнений, по-видимому, впервые рассматривался Рэдесвт [61. Некоторые задачи (простейшие из пих относятся к полуплоскости) приводят к таким интегральным уравнениям, которые ыожио точно решить методом, развитым Винером и Хопфом е).
Его использование Копсоиом [81, Швингером и другими, дало ряд новых решенай в замкнутой форме [9 — 1 П (более подробная библиография указана в (12, 13[). В этой связи следует упомянуть также о мощноль хотя и нескотькосложном вариациомном методе, которым можно воспользоваться прн расчете энергии, дифрагирующей через отверстие 1141. Из-за ограниченности места мы рассмотрич в настоящей главе только адин метод **). Сначала мы изложим некоторые соображения общего характера, име!ощие значение в теории дифракции электромагнитных волн на идеально проводяпшх структурах. Далее введем представление произвольного поля в ниде интеграла по спектру плоских волн и покажем, что юо ведет к формулировке некоторых днфракционных задач через «дуальные» кнтегрвльные уравнения в**). При этом задача Зоммерфельда с полуплоскостью легко решается; это решенне приводится здесь и достаточно подробно исследуется вместе с некоторым числом побочных вопросов.
В настонщей глине рассматривается также несколько смежных вопросон. 5 11лй Граничные условия и поверхностные токи Хорошо известно, что электромагнитное поле только незначительно проникает в глубь хорошего проводника. Понятие бесконечной проводимости, прп когоройг полностью отсутствует проникновенно электромагнитного поля в гл)бь проводника, приводит, как покажут приведенные ниже аргументы, к понятию электрического тока, существующего исключительно иа поверхности проводника. Согласно уравнениям Максвелла (см. 4 1.1.3)тангеншгальпав компонента Е непрерывна при пересгчгинп бесконечно тонкого листка члектр!лческого тока, тогда как аналогичная компонента Н испытывает разрыв.
Более точно. разрывна тангенс[надвигая компонента Н, нормальная к вектору поверхностной плотности*"') 4 тока, и величина разрыва составляет 4ид[с. Отггосительное расположение этих векторов показано на рпс. 11.1. Кроме того, в соответствии ") Метод Винере и Хопфе рввбнрветси в [71. *") Изложение дрггик методов дено в ггю,е Волы)соне в Г:51н гк 4 н 5 книги [!6) и в отвтье [[71. В обваре [!31 проведено нвибодее нокнен сводке методов и формул. '"*) «дувлвг~ыс интегрельные уравнении (они онредедкются ниже ив етр.
520) реесмвт риввктги в кинге Титчмвршв [7). "*") Воверкмоетный ток в п. !.!.3 сбовнвчен через 1. > й ! !.2) гэлничнмз головня н новегхностиые таки с поведением таигенциальпых компонент Е и Н нормальная компонента Н непрерывна прн псрсссчении листка така, тогда как нор»>альная компонента Е разрынна и величина этого разрыва равна произведени>о поверхностной плаг- ности зарядов на 4н.
Танич> образом очевидно, что поле н вакууме вне идеально проводящего тела таково, что на поверхности проводника имеем: а) тангсициальпая компонента Е равна нулю; 6) тангеттнэлы>ан компонента Н перпендикулярна к вектору поверхност- ной плотности Л электрического тока н равна 4тй>с; в) нормальная компонента Н ранца нулю; г) внешняя нормальная компонента Е равна произведению 4н на поверх- ностную плотиость заряда. Действие излучения, нада>ощего на идеалыи> пронодяшсе тело, удобно иптеРпРстиРоватчь выРажаЯ его чеРез инДУциРованные повеРхностные токи. Если Еч' — элсктричсскнй вектор падающего поля, а Еа' — электрический вектор «рассеянного» поля, обусловленного индуцнронанным чаком, то полный электрический вектор повсюду равен Е'+ Е'*'.
Сле- доватсльно, теперь дифракциопную задачу можно сформули)к>вать следующим образом: дано Ео', >прв- т бдвтся найти полз Ет, создаваемое током, рйснре- деленньив по поверхности проводника, которое имеет Рнс. 11.1. Нзаииэо«раа >пакую величину, опо ево >лоялен«р>алания состав- положение векторов Н'и — Н>'> н Я люси)ая но поверхности равно тонгенйоальной со«тав- ляютрй Ео', взятой ю знаком минус. Стоит подчерк- «.
»«»»: ч» »»: путь, что приведенное выше граничное условие а) является основпьпч и вместе с тем достаточным уело. »»«««» -«»-". вием единственности решения вопроса лиип в том виде, как он сформулирован»). Что же касается других условий; то б) связы. вает поле с пндуцнрованным током, а условия в) и г) не представляют осо- бого интереса. Следует отметить, что пз равенства Е'*' — — Ео' во внутренних точках проводника вытекает существование па любая замкнутой поверхности 5 единст- венной плотности чака, которая обусловливаст во всех точках внутри б поле, создаваемое источниками, находящимися вне Я. Аналогично из рассмотрения случая, когда граница ядеаяьного проводника, па которую падает излучение, нвляс>сн бесконечной плоскостью, следует, что в л>абай плоскости существует единственная плотность тока, которая обусловливает на одной стороне этой плоскости поле, создаваемое источниками, расположенными на другой ес стороне.
В задачах о дифракции на идеально проводящих экранах существенно предположение, по онп Г>есконечно тонки; если такос предположение не де- лается, то математические трудносчи эна>игольно нозрастак«г. Кинечно, не- прозрачность экрана по-прежнему подразумевается, причем это означает, что экран — идеальный проводник, толщина которого стремнтся а пределе к нулю. Из всего сказанного выше можно сделать вывод, что действие такого экрана мы вправе уподобить действию листка электрического тока, с той разнипси, что теперь этот листок уже не является замкнутой понерхностью.
Особый интерес представляет относительно простой случай плоского листка. В этом случае срач» же можно вывссти некоторые важные соотношения, которым удов- летворяют излучаемые этим листком поля Еа' и На'. Полученные соотноше- ния приведены ниже. ') дока»а«ел»стао «Ханственаоста прелстаачявт иекоторм«трудности и отклздиваетея до 4 11.9. [гл. Н атгогэя теогия днэгэкцни Допустим, что листок тока занимает часть плоскости у = О. Тогда нз соображений симметрии ясно, что Е«п>(х, у, г)=Е',я(х, — у, г), Нн'(х, у, г) ==- — Н«>«>(х, — у, г), Ест(х, у, г)= — Ею(х, — у, г), Н'п(х, у, г)=Н'"(х, — у, г), (!) Е',п(х, у, г)=-Еч'(х, — у, г), Н,'п(х, у, г)=-.— Н«э(х, — у, г).
Кроме того, если компоненты плотности тока в листке обозначить через,7„ н ' э'„то, очевидно, прн у = — О имеем Н„'ч — — т — у„ (2) с Верхний или нижний знак берется в зависимости от того, обращается ли у в нуль со стороны положительных или отрицательных значений. Б следующем параграфе рассматриваются пр>иложении эгнх простых сгютношснпй к н>персоной задаче днфракции на плоском экране и выводится полезная формула, которая, в часю>ости, служит локаэательством сушесгвовання точной электромагнитной аналогии прннцапа Бабнпе. и 11.3.
Дифракция на плоском экране; электромагнитная форма принципа Бабине Предположим, что элсктромагнятное поле Еп', Нш падает ца снеге «у бесконечно тонких идеально проводящих пластинок, лежащчх в п,поскостн у =- О. Пусть М обозначает >эсть этой плоскости, занятую металлом, а А— оставшиеся «отверстия», Таким образом, М и А вместе составляют полную плоскость.
Как каждая часть (М или А), так и обе они могут иметь бесконечные размеры. Как указывалась выше, ищется дифрагировавшее поле, которое удовлетворяет определенным граничным условиям на М. Однако нз (11.2.1) следу«т, что сели известно в явном виде условие непрерывности при переходе через А, то псобхолпмо рассмотреть лнфрагнрававшее поле только в одном нз полу- пространств у =. О или ум О. ('пеловатсльно, нашу задачу можно сформулировать так: н полупрослранс1ве у.«О (нлн у 'О) треоуегсн нзйтп электромагннм нае поле Еа', На', создаваемое токами в плоскости у =-- О, для которого (а) на А.
Н„с' =Ню=б Здесь (а) -- основное граничное условие для идеального проводника, тогда как (б), следующее нз (11.2.2),— удобный способ выразить отсутствие н А нвдуцнранапных токов. рспп (6) уданлстваряетсн длн дпфрагнровавшега г>озя в области у О, а для его«шргделення напасти ус О попользуется (!1.21), то выполняется условие непрерывности при перехоле чсреа А. Теперь легко вывестп принцип Бабппс для электромагнитных волн н идеально проводящих экранов в точном виде 118, !9!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
