Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 140
Текст из файла (страница 140)
пнжс, й ||.9). 14ы закончим наше исследование решения рассмотрением плотности тока, пнлупнрованного н дкфракцпокном экране. Опа равна произведению — сг4п на рнзпость значений Н„при О = О и О -- 2п. Таким образоы, из (28) находим ! ехр ( — — гп) —, У, =. э)п а, ехр ( — |йх соз аэ) — ' ехр ((йх) х л К)2Э!Пгэ,б)$'2йХСОЭ( — Ссэ !1 — 1 )Г „— Э!П | Э СГ,~) .
(40) При )'2йх соэ (-сс,) )) 1 последнее соотношение принимает вид а Х, = с з!па,ехр ( — гйхсозп )+О ((lгх) ч ). (41) Полученный результат интересен тем, что он показывает ту степень приближения, с которой величину плотности гока можно считат~ совпадающей с ввзичинои, получшошейся в рамках геометрической оптики; это обычный метод в загшчах, которые невозможно решить точно. Очевидно, что введенное выше допущение (т, е. )' 2йх соэ( — гхэ))л1) разумно только для значений а„. | э о не близких к л; опо имеет смысл потому, что при х-э.со костаточныйэ член в (41) сгреьглтся к пулю, как х *', а не как к ". Вместе с том прн ) 2йх сов ( э сгэ) ((1 э',==ехР( — — (лг1 э|и | — а, | Г +4соз' ( — гг, РйхгехР(гйх) (42) г/1~! и расходится па дифракционном крае.
11.5.4. Решение для Н-поляризации. Случай Н-поляризации, когда падающее поле определяется выраэкепием Н,".=ехр ( — гйгсоз(Π— гх,)), (43) можно рассматривать такялг же способолг, как и случай Е-поляризации; действительно, анализ оказывается практически наентпчным. Вместе с тем первый случай можно вывести из последнего с помощью точной электромагнитной пгорэгы принципа Бабнне, полученного в 4 ! 1.3, так как лополн1гтельным экраном к полуплоскоггк служи~ также полуплоскость.
Очевидно, что полное поле определяется выражением ехр ( — — Гл) Н, —.— ~ — — — (ехр ( — Иксов(Π— а,)) Р [ — )Г2йг соз — (Π— сс,)Д + +ехР ( — Иг сов(О+его)) Е [ — )' 2йг соэ-(О+сгэ)~~ . (44) Оно отличается от соответствующего выражения для Е, в случае поля с Е-поля- рнзадией (22| только знаком второго члена. 888 [гл. 11 СТРОГАЯ ТВОРНЯ ДИФРАКЦИИ Применян Обозначения, введенные в и.
118,2, получим для компонент поля, не равных нулю, выра>кения ехр (- — ьс) Нр = ехр (йг) (6 (и) -1- 6 (о)], ! ехр (- — Вс Е = ехр(сйг)(я!Оа,(6(и) — 6(о)]— — — ООЯ ( — ар ) 5>п ( — яй) ~ (43) - ( — '") Š— ехр(йг) )созар (6(и)+6(ОЦ— — С )>à — СОЯ ( — схр) СОЯ( —,8)~ Несомненно, Е„исчезаег при 8=0 и В 2п, и для интерпретации поведения поля при дг>) 1 снова можно воспользоваться пачем дифракцин (когорссс должно создаваться линейным источником, расположенным вдоль дифракпионного края) для точек, достаточно удаленных от й=п — а, и О=я+а„ Прн г->-О !1, остается конечным и непрерывным, тогда как Е„и Е„расхолятся как г *", исключением являются Е„= О прн В=О, 2м н Е„= — соса,ехр(йг соя а,) при 8=я.
Плотность тока определяется выражением х р( — -') —,7,.=ехр( — йхсоза,] — — = — ехр (йх)6 (~'2йх соз( —,а,)), р )г (46) Прн )Гййк соз ( —,а,) >)1 имеем (! — г =ехр( — йсхсоза) — ыс( —,а ) ! (47) мс 4 Г! Ч еср(сьг). вто выражение приближается менее быстро и плотности тока, определяемой геометрической оптикой, чем в случае Е-поляризации, При )г 2ях соз( — сс,) (( ! имеем я = — )г .— ехр( — 4 сп) соз ( — ар) )гйдехр(!йх). (48) Это выра>кение обращается в нуль при к = О, так что, как следовало ожидать, ка самом крае не существует тока, нормального к краю.
11.о.б. Некоторыс численные расчеты. Типичная теоретическая кривая, получснцая вз (26), приведена на рис. 11.!!. Оиа посгроопа для случая нормального падения Е-поляризованной плоской волны едиицчиой амплитуды и представляет собой график изменения амплитуды Е, в зависимости от х на расстоянии трех даян воли позади экрана (йу= — бп). На рисунке отчетливо видны лифракциопиыс полосы в освещенной области н постепенное ослабление поля в глубине областн геометрической тени, ?1есксыько инсересных расчетов было выполнено Браунбеком и Лаукиеном !23).
Онн построили кривые равных амплктуд (рис. !1.!2) и кривые равных фаз (рис. 1!.13) компоненты Н, для нормалыю падающей Н-поляризованной плоской волны единвчной ассплитуды на расстоянии ог дифракциониого Ф 11.51 ДВУикрили лиерлкцик плОскОЙ ВОлны ив полуплоскости 531 ярая, приблизительно равной одной длине волны. Они рассчитали также линии среднего потока зпергии (рис.
11.14), ортогопальиые и линиям равных фаз. Рис. 11ЛХ Линии равиых аиилитуд компоненты Н» прк дифракпаи иорьмльио падающее Н-поларизоваииад плоскоа волны иа идеально провод»мед полуплоскости 1231. л »л туд» в»каощ в о »р»» т» »» ел»»»»тс Легко показать, что найденные результаты справедливы для любОЕО дауМЕрного поля с Н-пози рнзацней. Напишем Н, = йа'т, где й и <р вешествениы; тогда, используя соотпошепия 1 дН . 1 ЛН» Е» Ы ду ' У Ы дл получим, что усредненный вектор Пойнтннга (см.
(1.4.56)) — )(е(Е Х21») = — „Ке(Е Н;, — Е»Н;, 0), равный (49) перпендикулярен х поверхности ф = сопз(. Аналогичный результат получается и для поля с Е-поляризацией. 11.5.6. Сравнение с приближенной теорией н с зиспериментальиыми результатамн.
Для точек, находяшихся на большом расстоянии от дифрвкциоиного края в освещенной части области П (см. рис. 11.9), там, где видны полосы, можно пренебречь вторым членом в каждом иа решений (22) и (44). Таким образом, интенсивность как прн Е-поляризации, так и при Н-поляризации, а ]гл. 11 строгая тюкая днеалкциа а,о а а м а аБ Й. а а а а ""Ь а о М а ао а а м а а аэа а а а а' ' о о. з а аа оЦ а а х аа а а ~ 'аЯ а" а Я а-Ь а о о М щ й з 'а Ч Еа ' «а х а "Я о а а о Я а а,а БИ Я -"9 а.
а $ 11.51 тгвхмеги*я днэгакция плоской волны нл полгплоскости 535 следовательно и интенсивность неполяризованного света, запишется в виде —, ( —,+ й [2 17 — соз — (6 — 8,)1) + — ~ — +,У (2 )/ — соз — (Π— 0,)1) (50) где Х вЂ” длина волны света, а э н ы" — интегралы Френеля с косинусом и синусом, определенныс (8.7.12). Это следует сравнить с аналогичным реву.чьтатом (8.7.28) для черной полуплоскосги п теории Френеля — Кирхгофа.
Ото|ода де!1сз вительно можно сделать вьшод "), что первый член точного решения для дифракции на идеально проводящей полуилоскости можно считать решением для черной полуплоскости. Лалеко от границы в областитени 7 поле с Е-поляризацией определяется выражением (34), т. е. Аналогично можно показать, что поле с Н-поляризацией имеет вид / 2 ! (2 ) )2 ) Е) (52) Следовательно, соответствующее отношение «силы» полей равно , ~~ „ )! (1 81 0-нолярнзниня в 'т 2 ') в т 2 и, значит, падающий неполяризованный свет также становится при днфракции частично поляризованным.
Этот результат находется в хорошем согласии с оптвчссквмп экспериментами !15, 24!. Развитие микроволновой радиотехники открыло широкие возможности для экспериментального изучения днфракции электромагнитных волн. В частности, появилась возможность использовать дпфракцвонный экран, значительно лучше приближающийся к идеализированной идеально пронодящей полуплоскости, ~ем те, которые удаегся реализовать в оптических измерениях. Кроиге того, в микроволновой области легко исследуются поля в непосредственной близости к краю дифракциониого экрана. Был проведен ряд измерений, главным образом иа длине волны около 3 сн, которые показали хорошее согласие теории и эксперпменга (25, 26!. й 11.6.
Трехмерная дифракциа плоской волны на полуплоскостн В 4 11.5 бь1ла решена задача дпфраьц~ш па полуплоскости произвольной плоскои волны, бьшо введено одно только ограниче,'ше, а именно, волна дочжна была рнснрос~рннн~ься в направлении, нормальном к днфракииопному кршо. Сей ~не будет показано, как простой поиен позволяет распрос~рапсть поЛученные выше результаты па полносгыо прон волыю падвющ нз плоск)ю волну. Допустим, что падающая плоская волна характеризуетсн фазовым множителем ехр ( — (88) = ехр ( — (й (х соз а соз р+ р з1п и соз р -1- з з)п р)), (1) где, ьак и рапьшс, идеально проаодящий экран занимает полуплоскость у =О, х>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
