Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 141
Текст из файла (страница 141)
Углы сс и (1, опредсляюнгис направление распространения волны, по. казаны на рис. 11.!5. *) Фх обзор !161, [гл. 1 ! стРОГАя теОРия диФРАкцг!я Отметнлг, чло соотношсние (1) получается из двумерной бюрмы, соответствующев 6 = 0, при залгеие й иа й соз () и умножении иа схр( — |йг Нп 6). В самом деле, этот метод, применимый к любому двумерному решению волнового уравнения (2) очевидно, позволяет получить реп!ение и трехмерного волнового уравнения — + — + — +йл)Г=О, дву дер дер л дх* ду' дел (3) ь рагг Геыраи в дв' Я ду' (гдп ГдУ Ряс. |!.!5. Няпреаеенне рве.
нроетраненнн явяеюгггеа Ряасноа волны. При 6 =0 (4) определяет двумерное поле е Е-поляризапией, (6) — поле с Н-гголяризацггей, что (7 имеет вид (1), то (4) и (6) дадут соответся Если мы будем считать, венпо две плоские волны Е ( — соя!Я з|п(), — з1пи згп (1, созр) сх|г ( — (ЙЕ), Н=-( — зши, сози, 0)ехр( — гло), (6) Е.=-(Я1пгл, — сози, 0) ехр( — !ЯО), Н =( — созйз(пй, — з|п глэ1п 6, сов()) ехр( — !йЕ). ~ Здесь множитель соя 6 везде опущен. Итак, любая плоская волна, изменяющаяся в пространстве в соответствии с (1), опоеделястся двумя компонентамн Е (или Н), так как третья компонента определяется уравнением бю Е =- О (илн в(е Н =О).
Следовательно, любую плоскую волну могкгго получить соответствующея суперпозицией полей (6) и (7)г поэтому в дифракциовных задачах без потери оощногти можно огряявчиться лнумя случяямн, огиосящнмнся к таким падающим полям. Теперь долгкио быть ясно,что решение днфракциоииой задачи определяетса соотношениями (4), если падающая волна определяется уравнениями (6); прн этом Н получается нэ извел ного выражения для Е, Ясс |1 с двумерном случае заменой й иа й соз )) и умножением иа ехр ( — Гйг лш 6). Нействительно, словно У =: 0 на полуплоскосп! у = О, х) 0 ггрггггголагает также, что там и (7)дх = 0; следовательно, из (4) находим, пю на экране Е„.— Е,= О, как в ° ребуелся.
Используя (11.6.24) и (11.6.26), получим в явном виде еяр ( — — Гя) У лес р ехр [!д(г соз 6 — а з|п )))) (О (р) — 0 (Г)))„(6) уя где г входит только через множитель ехр( — !йгз)п 6). Кроме того, если (7 — такое решение(3), то легко показать, что два электромагнитных поля, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, имеют вид ф 11.7) ЛЛВРАкцня ВОлн нл полуплоскоста где ! ! р= — )Г2дг сов [1соз — (Π— и), Р)= — )(2йг сов[)соз — (9+ел). (9) Таким образом, согласно (4) имеем "Р( 41) Е = сов[!ехр [И(гсозр — згйпР)] (6(р) — 6(д)), М у ехр ( — — „!Л) Н = — ехр [!л (г соз Π— з ейп 5) [ х У х(з!Лп [6(р)+6(д))+! [, шп — исоа-б~, (1О) в ! 4 ) Н„= ( ехр [И (г соз 5 — г з!и 5)[ х рг х(созп [6(р) — 6 (д)1 — ! [У вЂ” — ~з1п —,яз1п — О~, Г 2 . ! .
! Е = — Н з!пр, Š—;Н„з!пр, Н,=О. При 5 =0 выражения (10) сразу же превращаются в соответствующие выра- жения (!1.5.26) и (11.5.25). Аналогичный результат можно получить таким же образом и в том слу- чае, когда падающая волна определяется (7). Соответствующим двумерным решением прн этом является решение для Н-поляризации, а именно выражение (11.5.44) для Н,. Поэтому, как уже отмечалось, можно получить решение для совершешю произвольной издающей плоской волны.
Кроме того, простое обобщение аргументов, приведенных в п. 1!.5.2, показывает, что доле, возни- каюигее при любом распределении источников, можно представить в виде спектра плоских волн. Следовательно, в принципе, решение дифракпионной задачи при любом распределении источников можно найти из решений задач для отдельных плоских воли. Ниже рассматриваются два интересных свучая: линейный источник, расположенный параллельяо днфракциопному крыв (двумерная задача), и точечный источник. й 116.
Дифранция волн, испускаемых локализованным источнюгом, на полуплоскости 11.7.1. Линейный так, параллельный дифракциоииому краю. Рассмотрим линейный источник, находящийся в точке Т с координатами (г„ 8,), где 0~ Р. ОР я, и излучающий в вакууме Е-поляризованную цилнидрическую волну вида ЕВР = 1' — ЕХр( ! (я~! Но'(ИС) — 'ЛР(! ~! Здесь Н,"1 — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, а )с — ра!» стояние, измеряемое от Т (рис. 11.15). Фактически источник представляет собой электрический ток, протекающий через Т параллельно оси г и осциллирующий везде с одинаковой фазой. Хорошо известна, что (1) является основным решением двумерного волноиогв уравнения, определяющим расходящуюся волну, зависящую только от радиального расстояния.
Записывая (1) в виде углового спектра плоских волн, мы в сущности используем интегральное представление функции Ханкеля (см., например, 127)), й !!.7) 837 лнегакння ВОлн нх нолуилоскостн комбинируясь с первым членом в (8], даст члены геометрической оптики, т. е.
]I — и ехр ( — !и) (Н',н (йй) — Нй> (М')) >о . пр о =е~. — е„, Е',0' —. ']/ — яехр( — (и) Н',х>(М) нри а — О, (8 Сите„ О прн я+О, <Ое 2я, (7) где )7' — расстояпнс, измеренное от Т' — изображения Т в плоскости у = О (см. рнс. 11.16). 2(нфракционньнй член можно защ>сить н виде 1 ехр ( — — 1н) ! !" мн — (а+ее! 0>и — (8+а! Ее>>= ~ ) 2 х и 1> ен 3 „000 (а+Не)+сее 18+в! 5 >01 5 >О> Х ехр (й(гесоза+гсозр)] е(я>()). (8) Его удобно прелставить следующим образом: Е!" = ,Р <8,) — 45 < — Е,), (е) где 1. у(8) ( 4 ) Р(81, е!и .1-« .
88 еи~ е) —,> — '— >(а >()), 4н)>'2н 510>5!О> сое >а-~-8 ! в +8) 2 <)О) Окончательноепреобразование должносвести р' (О,) к однократному интегралу. Умножая числитель и знаменатель подыитегрального выражения 1 (10) на 4соз — (се — р+О,+8) и отбрасывая часть, являющуюся нечетной функцией )1, имеем -( — Ф.) ( 1 5!0> 5!0>] сее —,(а+О,+а! — 5>н( — 8'! е ( 2 1 '1 +,, 1, соз< — ()] ехр [И(г,сова+с созе)] йя43, сее —, («+ В„->-О)+ е!и < — «) (11) / 1 4 '") 5 (Ое) =,,— — ~ ) т (Рее д (00+0) сОВ ( 2 а) сОН ( — 8) х 5 !0> 5 !0> Х ехр (!2(г, со5 а+г соз)))]) >(ах()>, (12) где Ф = (созя — 1)+ (с05 8 — 1)— — 4 Ып 2 (О, + О) 5!и ( — сс] Ып < —, 8 ] -1-2 соз' — (Е, ' 8), 1 Произведя в '(12) подстановки, применяемые в методе наибыстрейшего спуска й=)'2 ехр < — (н ) 5>п ! та >, >1 = р 2 ехр ! -- (я ] 5!и ! — ()), Заменим се во второн члене подынтсгрального выра>кения (11) на — я и объ- единим дна члена.
Зто дает стгогхя таогна дньгькииа !гл. 11 и написав гт»= г,+ г, получим ! ехр ( — — гп яг(8,)= с, ехр(йас,) соз — (О,+8)х еар ! — га (са(» -1- сча)1 (а+Ча+2ыа — (Еа ! Е)$Ч вЂ” 2а се*' — 2(еа — О) Яалее введем полярные ксюрдинаты з — — ")с — р соз ар, л» гр Тогда ехр ( — !и) У (Ор) = у — ехр (И)са) соз — (О,-!-6) !) рК(р) ехр ( — !с))ара) с!р, (14) а где где верхний знак берется для соз 2(0,+0))0, нижний — для созз (О,+В)<0. 1 ! Так как падающее поле (1) можно записать в виде — 2 ! ехр (га') 1à — ехр ( — — (п) ехр (ИН) ~ °, — "и ( член геометрической оптики (7), комбинирунсь с дифракционным членом (19) ае К(р) =) ! р' ~ —,' соз'ар+ )/ '— "зш'ар+2 21п — (6,+0) з(п усов!а~в га е --2! — -'-' — "соз'-(В,-1-8) ' 4(ар.
(16) Л(р) можно вычислить обычным способом, полагая 2 = схр (!ар), когда путь интегрирования становится окружностью единичного радиуса и необходимо только найти вычеты окруженных попиков. Таким образом, получим ! ! ° а 4 ага ! 1 г/а К(Р)=2п!зес — 2(0, +6) ! Р' — 2!Р' — —,'соз' —,(О,+8)а, (РВ) 1 ! где ветвь квадратного корня лежит (для вещесгвешпях значений р) в четвертом квадранте комплексной плоскости. Следовательно, (!О) принимает вид /2 Г 1 г (Ор) = ~ гс — ехр ( 4 И )ехр (И)Г,) Х р ехр ! — АРара! ~~~~"-х; —,'1 ~' —;,-~)"' ' Верхний знак оерегся для соз — 2(0,+0)>0, нижний — для соз — (О,+6) <О.
1 1 Окончательно подсгановка ,аа = !27(аРа+2(~а — Р,') приводит к искомому результату, а именно ~(6)=~ 1/ — ехР~ — 4!п)ехР(ИР') )" „.—, „, Ф (1О) гыа,-л! 539 5 !!.У! диегакпия воли на полтплоскостн (19), даст для полного поля соотношение Е,= ]г — ехр> — !я > ~ехр(!й)() ] г(ц— -lт г > . т ! . р «хр!ги«! — ехр [Й)4') ) — — — >(р), (20) «хр Ои*! , )> н»э тая' где и« = — 2 )> " — соз — (8 — В) = l а««„1 о =-~Р А(»>» — г>), ~для соз-(8,— 8)ц=0, (21) ш = — 2 1,>,"",", —,' (О, +8) = ] й> 1-н -~ р й(й>,— Й'), >- для соз (8 +О)~~0. ! Это решение в виде (20) впервые дано Макдональдом !23), получившим егос помо>цыо преобразования предыдущего ржиенпи, предложенного Карслоу !2)„ Оно очень близко к решению, найдеипоыу 3«>ммерфельдо»> для падающей плоской волны, с которым оцо совладает, если после умножения на р' йг»ехр( — !й«г«) положить, что г;>- оо.
Решение для Н-поляризаци>«отличается от предыдущего только тем, что в уравнении (20) два члена складываются, а не вычитаются. Если Ю«)~1, то в неэкспоненциальном множителе подынтегрального выражения (13) р можно заменить величиной его нижнего предела, после чего мы получим приближенный результат 3» (8,) = ~ )> — ехр ~ — 4 !я) ~ г [)>А'(й,— >ш)]. (22) р цн,4-н > Таким образом, используя соответствующее приближение для Я вЂ” О,), можно представить поле дифракции в виде интегралов Френеля. Однако точность такого приближения недостаточна, если как источник, так и точка наблюдения находятся в пределах длины волны от дифракционного края.
Лалее, если й ()«> — )«') >) 1, то можно воспользоваться асимптотическим приближением (11.5.31) для (22), и мы получим 4 (23) аналогично, если й()т,— 1«)~)1, то 1 «хз 4-М (24) Поэтому для всех точек, лежащих вне двух гипербол йЯ,— )«') = 1 я й(Я> — )«) =- 1 с осями О+О,—. я н 0 — 0„= и соответственно, поле дифрзкции совпадает с полем некоторого линейного источника, находя>цегося у дифракционпого краз. Зги гиперболы эквивалентны параболам для случая падакяцей цилиидрическои волны, которые рассматривались в и. 11.5.3 в связи с решением для падающей плоской волны. Наконец, следует обратвть внимание на то обстоятельство, что решение (20) «обратимо» в том смысле, что оно не изменяется при взаимной замене переменных «„О, и г, О.
Это, конечно, частный случай общей теоремы взаш>- ности !19), неявно содержащейся в уравнениях Максвелла. Проведеппый 540 [гл. 11 стгаг*я тнагпя лнакккпни анализ показывает, что в настоящем случае это свизано с тем, что спектральная функция (11.5.7) симметрична относительна и и аь 11.7.2. Диполь. Простейшим точечным источникам электромагнитных волн является электрический и.чи магнитный диполь. Задачу о дипале в присутствии палуплоскасти можно решитеп представляя ненозмушсннос поле дипаля Т рг как спектр (трехмерный) плоских воли и прнмеиля результаты, найденные в 5 11.0, к каждой плоской волна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
