Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 143
Текст из файла (страница 143)
й Будем искать решение в виде Р ((р! Ч Лп (Оав) )Г! — Но 'а го так как (22) удовлетворяется каждым членом этого ряда, Подсгановка в (21) показывает, что с„должно быть таким; чтобы ~ г„гр„= — „, для )х! <а, (24) (19) (20) (21) (22) (23) где что дает с„— л, с =О для ло=), 2, 3, оа Таким образом, в этом приближении Р (Н! Эа ог (Эап) )/'~ ,о эг и плотность тока, выведенная из (11.4.16), равна а'„(х)= —. ~ ' Н соз(йхр)бр= — „)' 1 — х",о'. (30) о Следующее приближение, учитывающее члены (йлр, значительно сложнее.
Различные авторы независимо получплп для него одинаковыс выражения (135. 38). см. также (131). (28) (29) зз и Ф = ) — — lо„,,(йо)!) соз(йхи)с(Р. ту! н о Теперь можно показать, что для !йа) с< 1 !сао ~(жай-!) огсып — ' гР =(~о, г,(ГгпР)соз(ахи)о(Р+0(йо) — . " .1-0(йо). (26) Ьо р г:хо!аз о Отсюда в пероом приближении получим вместо (24) х1 ! — — — са сов !(2ло+1) агсгйп — ~ = —,Фо, (2"г) )г ! — киаз =о [гл. 11 СТРОГАЯ' ТЕОРИЯ ДИФР*КЦИИ 11.8.4. Другие задачи. Существует. еще целый р>ш интересных задач, близких к рассмотреннылг нами, и онн также допускают решение. Однако мы вынуждены ~олько упомянуть здесь о пих.
Задача о дифракцип на двумерном клине, ко>орый превращается в полу- плоскость, если внеп ний угол клана равен 2ч., реп>еиа много лет толчу назад [3, 39!. В зто решение входит угловой спектр периода 2и!л, где яги — внешний )гол клипа. Задача о днфракции на полуплоскости, находящейся между двумя различными одвороднымп срсдачи, была впервые рассмотрена Хансоном [40!.
Задача решается методом, изложенным в настоящей главе; она используется в теории распространения радиоволн пад поверхностью Зол>лн [41!. Были выполнены два исследования дкфракцни на полуплоскости в лченее идеализированных условиях. В пери>м !42! была введена конечная, хотя и большая проводимость, >то вынуждало использовать приближенные граничные условия; во втором [43) предполагалось, что плоскость является идеально проводящей, но имеет конечную, хотя н малую толщину.
9 11.9. Единственность решения Мы видели в 4 11.2, что общук> задачу о дифрзкции, которой мы касались, можно сформулировать следующим Образом: дано поле Ею, падающее па идеально проводящую поверхность 5, требуется найти ноле Е"', обусловленное электрическим тс>ком, распределенным по 5, которое ямеет > акен> величину, что и его тангснцпалыгая Гогшавляющая на 5, равняется тангенциадьпой составля>ошей Е", взятой со знаком минус. Конечно, сушесдвеппо необходимо, чтобы этой формулировке сгютвсгствовзла е>гинственщкть Ре>ценна*). Однако показать, что дсйствптелыо> ие существует другого поля Еед удовлетворяюигего поставленным условиям, совсем не просто, особенно когда допускзкпся бесконечные размеры 5 и учитываются поля, содержащие плоские волны. По-видимому, только сравнительно недавно появп>пшь удогшстворительные доказательства единственности 146! (см.
тзк ке [4Т, 47!), логи она давно молчаливо принималась. Дополш>тельные трудности нозн»кают в о!обо>>, кот» и наиболее обшелг случае дифракционной задачи, в которой можно предположить, что дифракцноннос препттствис вмсет бесконечно острый край.
(Фактически гакой задачей н огрвиочпвнлось содержание настоящси главы.) Причина возникновения дополнительных сложностей чаклпжаешн и том, что зто решение содержит, как мы видели, сингулярностн на краю и тем самым нарушается предположение, . необходимое для только что упомянутого доказательства единственности решения. Легко видшы что если допускакпся произволвные сингулярности по краю, то можно получить бесконечную последовательность решений путем дифференцирования !4ДЕ !1апример, дифференцирование по х решенвя для Е-поляризации в задаче с >юлуплоскостью (см.
(! !. >.22)) дает по существу новое выражение, также удовлшъоряюшее волнои>му уравнению н обращающееся в пуль нз экране. Днфверенцирование (11.5.22) по у дает выражение, которое, очевидно, слуигит решением для Д-поляризации, но отличается от (!1.ОХ!41, Каждое дифференцирование вносит сингулпрность более высокого порядка в р> шение для днфракциопного края. Очевидно, для обе печения единственности рмцеиня следует точно Определить нгкшорые ограничении, налагаемые на характер сннгулярности. 1(елесообразкые ограничения и различные способы„которымн их можно сформулировать, ивилнсь предметом целого ряда статей [491.
Со всеми деталями, относящимися к этому вопросу, читатель ') Уетепоеить гд>нгстммаоиг ре>пеняя, еероптпо, менее еапгно, так еак такое еаелюЧеное делается, когда реюеепе чевдеео е любам частном случае (еи. также [44, 44!!. 547 ЛИТЕРАТУРА . может познакомиться непосредственно ио оригинальным статьям.
Однако, нообп!е говори, ргп ения, содержашне спнгулярность наинизшего порядка, следует считать ответом на фпзи песк) ю задачу, н зто значит, что в действительности нсключакптя любые сипгулярногти более высоких порядкон, чем и-'г при г — т О на дифракпиоппом крае. Н частности, можно утверждать, что решение будет единственным, сели имеет место иптсгрпрусмость индуцированного токи по днфранш!анной попе)жности п исчезновение ) края соогветствуюшеи компоненты, нормальной к краю. Поведение компонент векторов Е и Н вблизи края можно вывесш! из этих условий. Никоне«, убедившись в возможности получить бесконечное число «решеннйэ, можно ладить вопрос, почему метод, нспольаонниный н настоящей гдаве, прниодит к едннсгненному решеннну, которое к тому же, если применять упомянутый выше кригерий, оказывается правильным.
Это объясняется допущением, что компоненты полч в плоскости экрана могкпо выразить в виде сходя- шихся интегралов фурье, вследствие чего они не юлеки гикже спьгулирностей слишком высокого порядка. ЛИТЕРАТУРА 1, Б о ш гп с г 1 с 1 д, Мвиз. Апп. 47, 317 (1896) 2 Н 5. Сзг«1эич Ргог. 1.опд. Мзж Бас. 30. 121 (!899) 3.
Н. М. М з с дои а)д, Ысг1гк %ачсз, СзшЬг. (Гп~ч. Рог«э, 1902. Т. 3. ГА. В г о пг и ~ с Ь, Ргос. 1.аад Мв(Ь. Бос. 14, 450 (1916). 5 С, 3, Вопч Ь в ш р, О!«зсг1«1(ап, Оган(и2егг, !941; 3. Ме1х пег, 97. Ап д ге)- в ы з Ь 1, Лпо д. РЦчГЬ 7, 157 (1950) б К ну 1с19Ь, РЬП Мвс 43, 259 (1897). 7 Е. С Т г 1 с Ь ш з г з Ь, )п(гадис«ап го «ш Тьсагу а(.раппег )п!сруз!э, Гдашпдоп Ргеэз, Охмгд, 1937. (Е.
'1 н т ч чар ш, Ввсхвнго и тсорош иншгралав Фурье, Гостехивлвт, 1948 ) 8. Е. 1. С о р э о п, С!изгг. 3. Млйз 17, (9 (1946). 9 3, Е. С в гз1о гг, Л Е Н г ! из Яизг! ЛРР! Мв18«4, 313 (!947); 6,82 (1947), 1О,, А. Е. Н е 1 п з, Опас!. Лрр1. Мз1Ьз 6, 157. 216 (1948). 11, Н. 1.
е ч г п е, 3. 5 с 1! и г г: ь с г, Р'.~чз. Ксч. 73, 383 (1943). !2 3. %. М г ! с з, 3. Лрр!. !'Ьуз. 20, 76О (1949) 13 С. 3. ВонгчкзгвР,всб КгР.Ргаиг РЬУ«.КРЬУ« 5ос.1.алдан,1964,уо(. ГЕРР.З6,73, 14 Н С с ч ~ п е, 3. 5 г Ь и. ! п П г г, Раув. Ксч. 74, 958 (1948); 75, !423 (1949). !5 С. %о1гзаЬ п, эха.
НэпдЬисн дсг Рьузжэ,5рппхсг, Всг!ггг, 1928, Чо1. 20, р. 263, 273, !6, В В. И в к сг, Е.Т. С ар зон, '1!сМ«Ш«шв1)св1ТЬсогуо!Ниубсиз' Рпас1р1с, 2пд од. С1вгспдап Ргсзэ, Озмгд, 1950. 17. Н. Н а Ь1, Л %. М э ив, К. % е з1р !а Ь1, в кн. «НапдЬпсн двт РЬуэПо, Брг(пясг„ Всг1гп, 1961, ЧЫ. 2571. 18, Н. Г В о о Ь в г, 3. 1ЕЕ 93, Р1. П1А, 620 (1948). 19. 1.. О. Н.
Н ах!еу, ТЬс Рппсш1сз зпд Ргзс«сс а1%«чели(де*, СлгпЬг. Оп!ч. Ргсзз, 1947, р. 284, 9 7, ГД 20, Е. Т. % Ь ! 11 з 1« с г, О. Н. % в 1« оп, А Сопгзе а1 Модегп Апв1у«1в, СагпЬг. Ои(ч. Ргсм, 1927, р. 397. (Э. У и т те к вр, Г. В вт с он, Курс соврвывнногозивлнзз, Гостсхаэхэг, !933.) 21. К. А. К з п 1« !и, РЬ Ь Тгваз. Коу. Бас А241, 457 (1919) 22. О. О. Б 1 о К с э, Тгзпз СзшЬг. РЬП. Бас. 10, 105 (1864). 23. %. В г а и п Ь в Ь., Г. 1. з и Ь 1 е п, Ор ги« 9, ! 74 (1952). 24.
3. 5 в ч о г г.! и, Апи, дс РЬу«!Чае 11, 129 Д939). 25 С %. Н а г 1 о г., К. В. % в 1 э а п, 3, Лрр1. РЬуз. 21, 16 (!950). 26. Н, Н. Наг дои. Рго . 1ЕЕ 99, Р! 1Н, 729 (1952). К О. Код! в, 3. АрР1. РЬуэ. 23, 249 (1962), К Ч К ачч, 3. Лрр!. РЬ)ь 24, (ИВ (1953). 27. 3 Л 5 1 г з 1 ! о и, Е!гс1гопгщпспсТЪсагу, Мсбгзи.Ы«1, Н. у., 1941. (дж. Стр зт тон, Тсарвн злснтрочвгнсгизыэ, Гастсзиэхаг, 1948.) 28 Н. М. М в сиоп «14, Ргос. 1.апд МэПЕ Бас 14, 410 (1915).
29. 1. В. А. 5 с п 1 о г, Ог эг! 3. Мссь. Лрр) Мз(ьз 6, 101 (1953). ЗО. Л. Е. Н с г п э, Тгаш 1КГ, АР-4, 294 (1956); И. О. % о а г( з, Оазг!. 3. Месь Лрр(. ызшз. !О, 90 (1957); %. е, % 11 1 г в ш з, (дпаг1. 3. месь. лрр!. мэ1ьз 1О, 2ю (! 937). 31. Н. % су1, Апп, д. Рагун!(г 60, 481 (1Я9). 32. Л. Л. В в О я ш те д и, Иза егин ЛН СССР, Сер. Физ., 12, 144, 166(1948). 33. К. Бсьшагзсьг)д, Мз11г Лпп. 55, 177 (1903); Р. М. Могзе, Р.3.
КнЬвпз ! егп, !Ьуз. Ксч. 54, 8% (1938); Л 5 о ш шсг(с14, Орпсэ, Лса!. Ргсл, Х. У.,!954. (Л. Э о ы ы е р фсл ь Л, Оптвкв, ИЛ, 1953.) стРОГАя таОРия АИФРляыии [гл. !! 34. Я, Я Ь а ч ! е иь Агсб. Ма1Ь. Ыа1«гчЫГ 51, 61 (19Н), ЕГВ. 51 а и 11! и, Р. М. Р Ь с 1- 1 ! р ь, Ргас. 1ЕЕ 99, Р(. !Ч, 137 (1952). 35. й. М б 11 с г, К. % е з 1 р ! з Ь (, 2 . РЬуз. 18Ь 245 (1953). 56 Р. Г. С1еос пса«.
Тгагп, (КГ, ЛР4, 282 (1956), Я. И. К агр, А. К«взе1с. Л. Арр). РЬуь. 2?, 886(1956,);К.1. М с ! ! а г, Ргпс.Св«Ьг РЫ1. Яос 84, 479, 49? (1968), 37. Е. О го з с 6 сч с 1 з, Н. Н оп!, 2. 1. РЬуз. 131, 305 (1952); Н. Н о « 1, Е. 2 с пс пс ее, 2. !. РЬуы !36, !96'(1953). 38. С. Л. Т с а и Се г, О«аг(. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
