Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 147
Текст из файла (страница 147)
12.2.4. Решение' методом последовательных прибанженнй. Предполагая, что алгплитуда Л улшразиукоиой волны мала, мы решим в пп. 12.2.4 и 12.2.5 уравнения (18) — (20) и получилз приближенные выражения для интенсивностей линий спектров первого и второго порядков в прошедшем свете. Случай, л,зя которого кто приближение не состоятельно, рассматривается качественно в п. 12.2.8; наконец, в п. 12.2.7 будут решены уравнения (18) — (20) в приближении. в основном эквивалентном приближению Рамана и Ната.
Сначала рассмотрим систему уравнений !18). Индекс ш а этих уравнениях позволяет различать величины, относящиеся к разлп шым допустимым ч.ачеииям Ч. Следовательно, можно отброси гь этот инлекс и перешюать (18) в аиде [с(Ч!) А),(Ч') — З Л(А)к-~(Ч')+А!к з(Ч'))=.О, 1=-0, Е!, ~2, ..., (24) где 7 (Ч')= — — != —, а аг (Р) 3 (у) И- Ч' — алэ ' ) (25) тч (Л-' — !'!(Л)-;Ч'-Г'И,'Г '! ' Уравнения (24) образуют бесконечную систему линейных одноролных уравнений лля амплитуд М, О) 0. Условием существования нетривиального решения, т.
с. А',эь 0 для всех 1, является равенства нулю детерминанта, образооанного из коэффициентов при А'л Корни этого уравйения', солержащего дше)шинаит, опрелелиют допустимыс значения величин ЧА Обозначим пх через )й (л~ =-О, +-1, ~2, ...). Каждому такому Чт соответствуют, конечно, два значения Ч, а именно (- [Ч! и — [Ч ~, и лва ряда амплятуд, т. е. %,( ~ !Ч[)=. )Ч)(Ч') и Аг,( — )Ч))= ФЕ(Ч') (! =- О, ш1, -!-2, ...).
Теперь реьуррентное соотношение (2!) определяет для данного допустимого зла гения 7', например Ч,'„„все значения А!)07') ((=-О, ~1, ..) черсз одно из пих, допустим Ф„',(а',3. Так, асе амплитуды И~ ~Я можно выразить через А'~(г),";) (т ==-О, ~1, Л2....). Последние следует определить иэ уравнений (19) и (20), число которых как раз достаточно лля этой пели (заметим, .то в выражениях (5), (12), (!5) и т. д, знак Е,, означает суммирование ьак по Аг',, „„[вь и па Я, ). 660 (гл. 12 ЛИФРАКЦНИ СВЕТА НА УЛЬТРАИВУКОВЫХ ВОЛНАХ (26а) (266) Ч/о — нзш)с — рг ' /У / (Ч/з/) Ы М Ф О (31) (32) ду/и (Ч/з/) .
д/гз/ )у Далее, приравнивая нулю коэффициент при Д в (28), получим ) (Ч)1/) Л'у ( а/) —,Чн )) (тймЧ Дг)м(цн/) = у)",(Чм )+)у)7,(Ч)1/) (33) Полагая здесь последовательно (=т, т+1, гл — 1, гя+2, гл — 2, . н используя (32), найдем Ч)О=О„ (34а) </1 «) (346) Л/" ' /, и = 0 для 1 > 2. (34 в) Подобным же образом, приравнивая нулю коэффициент прн Д' в (28), полУчим следУющие выРажениа дли попРавки к Ч/с/ и длн амплитУд /)Гг до второго порядка '): Ч/з/ 1 Г 1, 1 Т, тг-//.с./ З (Збб) ") привсдсямыс зшсь формулы сирввслливы, если всс (ж, (/1с/1/), 1„/аз (ч/о/),,.
отличны от нуля. Если зто нс тнк, го для учета вырождения указанный выше метод в/ммужеинй глстуст изменить. В рнсчстнх возмуысонй до второго иорядкв нырождвнис сквзывзстся ирн углах нлдсния сапа В=-О и З - згсзш!Х12Л). Одовко здесь мы бол шс нс судом знинывться зтим и в и. 12.2.5 нрнвсдсм окончвтсльиыз результаты аля двнных двух случаев, Пол>чим теперь приближенное решение (24), используя метод возмущений. Следуя обычной процедуре метода возмущений н считая Д малым параметром, разложим Ч(=-ц') и Л/г по степенны '1, Л; имеем )у,(Ч) —..Л).+гд)у,' +( —,' д)'у) +..., Ч-=Ч/з/+ ЛЧ/ +Г дт Ч + 1 Г! Аз 2 Используя (2661, можно записать !/(Ч) в виде Уг(Ч) )г (Ч /)+ 2 ДЧ П (Ч ) +(2 Д) [Ч )г(Ч~ /)+ 2 (Чг ) (г (Чг ~)~ + (27) где штрих у 7" означает дифференцнрованис по Ч.
(Отметим, что 7/ (Ч), 7/(Ч) не равны нулю для всех положительных вещественных значений Ч.) Полстав- ляя (26) н (27) н соотношение (24), имеем (! = О, ~ 1, ~ 2, ...) ( " ~ ' ~ ' ' Т4 (г(Ч ')+, Чо'(г(Чы')+(2 ) [Ч"Й(Ч'"') т —.,'(Чо) )7(Ч )1+.- 1М вЂ” л. д [диа, + ! ддГВ, -)-... + )уд, + 1 ддг)2 + ° .1 = 0 (28) Приравнивая сначала здесь нулю все члены, не зависящие от Д, получим в нулевоы прнблюкенин /и) ЛГ)з/( ) О (29) Решенными уравнения (29) служат либо )г (т)/о/) =-О, Л/с/ ть О, лнбю /У/гз/ = О, ~г (Ч/з/) ~ О.
(30) Обозначан через Ч,'" значение Ч"', определяемое уравнением уг(Ч/о/) =О, найдем из (30) $ !2.2) лпвгькпкя свата нь гльталзвзионых волнах> 001 Фэв, =( — ) созй [(л' — вп'й)'>* — созй) (1+Р' — 2Рсоз2дф) '>* ехР(1>Р), твь о> /як е> Лг,, = й(,", ( — * ) ехр (2(г(,г(), где р=-) —;"~, 9= с(К~, '.
„~'",~. (30) Для нормального падения света (9 =0) из соотношений (11), (31) и (Зб) находим =! — .":::1;.=':, ~: (37) С помощью (36), (27) и (23) легко пол~ >аегся следующее вьп>вженяе дли отража~сльпой способности прн нормалыюм падении иа плоскапараллельпую пла- станку: (Л1* . В ) à —,и,'— и„. вч,а' что согласуется с (7.6.9), так как >)э= лй при О = О. Если Л отличается от нуля, но ос> аегсн еще доствгочно малым, чтобы можно было применять метод возмущений, то из приведенного выше решения для Л =0 следует, что Л>м о ~) Лг ь г. * > ~~ )У = ь в г ° Тв>гнм образом, для нахождения диагональных амплитуд нужно реи>ить уравнения (19) и (20) методом последовательных прпблпжсапй.
1:роме >ого, гп>скольку для нормьщьиого или почти нормального падения света (в экспериментах по диФрак>гии на ультразвуке 0 равно самое бел~шее 3') отношение данного Лг к соответствующему Л>+ мало (см (379, можно вообще пренебречь ") В вмрэхгевкях аля дг~ьл к ььл приведенных в (га, !61, имеются опечатки. В нашем тексте овв всйраьлсны.
и >У'*', „,=О, ЛГ">.> =0 для ( " 3. (Зйн) Как следует из предшествующих вычислений, в нулевом порядке теории воям гщеиий отличны от нуля лшпь величины Л>„,„, (гп = О, ~ 1,...); в первом порядке отличны от нуля >У„„„н Л ы „, а во втором порядке отлича>отса ог нуля также и Л' ьь„,. Лпалогичпо при пычислспнях в более высг>ких порядках теории возмущений находим, чп> все большее число недиагональных амплитуд (т, е. амплитуд с разнымн индексами) отлично г>т нуля. Зтн вычисления длинны, и мы не приводим их здесь.
Отнагго можно предположить, что во всех случаях применимости теории возмущений можно пренебречь членами выс>них порядков. Нсдиагональные амплитуды (34б) и (350) полностью определены, если известны диагональные амплитуды, дающие решение (24) пулевого посадка. Мьг находим последние из (19) в (20). Однако сначала поучительно исследовать решения этих уравнений в простом случае Л.— -О, для которого легко полу щгь точное решение уравнений (18) (20). Здесь возможными нулевыми амплитудаьп> являются только диагопальаыс аш>литуды Л>„;„„(и == О, -Е1, пс2, ...). Если мы пшюжим вес недиагональныс амплитуды в (19), (20] равиыл>и нулю, то найдем, что все амплитуды Фд, тождественно равны нулю, кроме Л>, „которые равны *) 662 [гл. 12 рлФРАкг[ия сВетА НА ультРАВВукОВых ВОлнАх з[пг '[ре (1 й. — ) 1 [В [г гг Вг„,гбг ( йг (38а» ,'[ ( 4)) .'...„,,] +,,„,) .
(386) В зтнх уравнениях берутся либо все верхние, либо.ясе нижние знаки. Рбы приведем без даказзтельств выражения для интенсивностей и двух других случаях, рзссмотренных в работах 1[о, 161. б) Случай $ ян г[„6 (с 1 * ' '( '7''~-' ~ + Вгг,г бгтг 1 г= —, т з[п' ([Ы~($ — —,) + — 6»у»Я. (39б) (1..»..) ~ г бг г Выражения для гг н 1, болеесложаы.
Однако при В=",, они принимают простой вид г,= [ОВ'бьр' ~ — ыпг(, ~) +2 ~ ' згп'~[Ы(1 ~ — бу))1 (39в) (39г ) е) Случай яорлальнд;о падения сеегяа (8=0), 6(с[ Г =Г- =В'67 г'г~ р»((1+„67)1 гг (40З) 1 =-г = — В'6»у» [ — — з[п»2~й+згп' [ —,[Ы [1+ — 6»у»Д+ + — ыпг ( —, [Ы (1 —,— бгу'~ )1 . (400) *) Это ооаробно разобрано В [Ш. [61. 0 чзстяостн, тзн гоязззно, что влияние М- нз ВН»гжгуди В)»а Сгогарг З О»рож»»гаси Сияю В Обе»СНСЛУЧЗС НСЛЬЗЗ СЧЗТЗГЬ Проиобрсжаиа й[ и определять 6[» толька нз уравнений *) (19).
Следует напомнить, что такая же агшроксимация подразуменается и в случае использования граничных условий (12.1.16). ВЫРажЕНИЯ ДЛЯ ДиаГаиаЛЬНЫХ аМПЛИтУД йг~„»У»г, яг И й[~г, ег Мажиа теперыюлучвть нз (!9), используя (316], (34в), (3"б) и (35в). Далее Выражен»и длп иптепсиаиостей лшши в спектрах перзого и второго порядкоп О прашсдшсгг сеете можно легко написать с помашыо [22).
Этгг вырзл<ення будо г приведены ниже. 12.2.5. Выражения для интенсивностей линий в спектрах первого и второго порнднов В некоторых специальных случаях. а) Случай бгйсг.[ и „" богыиого по сравнению с единиг[ей. Этот слччай рассмотрен подробно выше. Интенсивности [яг н 1„» ливий в спектРах НРРного и втоРого ООРЯдкан Равны соотаетстненно 6 12.21 диогькппя сантд и* ультгдзвукозых полндх 363 Пренебрегая велнчияай б'у-', входящей в аргумент сяиуса в (40), можно также получить окончательные выражения пз (36>, полагая в нпх 3 =- О.
Как уже )по.нчы.!ось, Ьриллюэп !б! и 13эаид 121, а также Рытов 1171 вывели выражения (38> ллн интеисиииостеи лиищт первого и второго паряджю гпасобом, оп:!саины ! в й 12 1. Аггарнол (18) получил ныражеипч (38) из дифференциальных уравнений (12.1.21) Рамиза и Ната. фариза 1191 показал, что выражения (39) лля интенсивностей линий в первом и втором порядках при $ яи пп ', можно тдкже по.1>чьть из уравнений ') [2!). В этих результатах, конечно, нет ничего удивнтетьиаго,так как метод, оенонзнпый на дифферен~И- альных уравиеният: Максвелла, и использованный здесь метод интегральных УРанлеинн ЗКппаапситтлж 12.2.6.
Некоторые ка ствеиные результаты. Как ясла из прииеденных вь1ие выражений для интенсивности, ири таких значениях б и я, что либо б '-.'1, либо б'3~~<1, с каждой стоооиьт прошедшего пучка пт~влт.тся лии!ь несколько спектров низших порядков и их иятечсивиости быстро убывают с > вези сея!тост ПОРЯДКа. ОДПаКО ЕСЛН ПИ ОШ1О ИЗ ПРНВЕДЕЛИЫХ ВЫШЕ УСЛОВИН ПЕ ВЫПО опаски, т. е. б и Ы" оелпкя по сравнению с сдянппеи, то, вообще говоря, вознпкосг аиачительно босщше порядкои. В этаи случае решение ураинений (!8) — (20), ь значит, и расчет интенсивностей в разных порядках оказыиаются более трудными. Исследуя условпя прит1еяиьтосыт метода возмущений, изложенного в л 12.2А, можно показать !!5, 10), что прк решении (18) — (20) надо считать амплитуды Л>тж не разныын нулкэ:оль о тогда, когда значения абаях индексов ! и тл находятся между числами — М, н М„приближенно олределпщтычи соотношениями (О( $(Ь 1) М 3 бт),+! М' е, 50,+ (41) Так вак Л, вообще говоря„пе момсет существсляо превышать 10 ' и макскмальпос значение )НЛ, прл ьаюром мотксг наблюдаю си явление дяфраклпи, ограничивается ярактячсски достижимои разрстчающей силой л т.
д., та максимальное нозможиое значение 5 (.=. ЛЛ 9>т) примерно рв ила 100. Следовательно, да,ке и наиболее благоприятных экслерль сита ты'ых условиях придется решать самое большее 20 совместных линейных > равнений из кагкдой бесконечной свстемы (18), (19>, (20). 11о даже при таком упрощешщ эти вычлсления утошпсльны н нх ис производная. Числа М, и М. укьзываюттакже число порядков, которыемогутлонзиться с обеих сторон прямо прошедшего пучка света. Согласно (41) числа порядков, оозникающих по обе стороны прямо прошедшего пучка, должно становиться раэлпчныч па кюре тото как ", — (Лз!п О))). увелнчивается от нуля. Причем большее число линий поизлие~тя с той сторонки куда отражается свет ог волновых фронтов ультразвуковой волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
