Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Иными словами, р<<с<ьределенпе интенсивн<лзпи силсиюпрично итносшпельно плоскости г =-О, если <и — — не сонное число. Бель< же т — четное, ио не равное нулю число, то коэффициепгы, сапер<кашне множитель соз2)<т<р (здесь ц — целое число), оказывшо<ся вещестяенпыин, а коэффициенты, содсржащие множчтель соз(2р -<-!) тф,— нкпо Апшмымн. Потомч велцчииа (/ преврая<астся в комплексно сопряженную при одновременной замене и на — и, и ф на <у+я,'т Слеловшсльно, ес.ш т — чети<а, но отличное от нуля число, <по интенсивность в .<юбой точке плоа<ости г = сонь( равна ин<пенс<юности в то и<с, получаютенся прч ркальноч отражении исходной точки отнасипилшнп плоское<пи г =О с по. с,иду<ощш< поворотом на угол я<т вокруг оси г.
Такнч образоь<, ось ., которая в об<цсм случае, как отмечалось выше, служит осью симметрии т-го поряд.а, нвлхетсл при чстпол< <и осью <иилютрии 2п<-го порядка относительно дифракь(ионной карп<пню в плоскости г =О. При т =-О (сферическая аберрация) дифракпнонное изобошкение нсси<м<етрячно агн<кнгслюю <шоскости г =О. Наконец отметим, что распределение инпьенсавности сохраняется при излмнении знака коэффи<(пента ид< рраиии а,„и одновременной зал<сне и на — и, когда т четно, и«и при эаненс <р на <!<+ я, когда и< нечс<пно. Рассмотрнь теперь кратко структуру изображения, получающегося в системе при наличии небольшой перви <ной аберрш<.пн. 9.4.1.
Первичная сферическая аберрация. Б этом случае !.=а=О и т — —. 4. Функция аберраций йе зависит ат 8, и трехмерное дифракционное изображение !гл. 9 днаизкциозизя ткооиз озеигоций (/, .— - 2 ~ ехр ( — '/о !иро) /7! (р) Хо (!'р) р о(р. (14) о Подставляя вместо ехр ( — '/, оир') выражение (10), получим (/о =- 2 ехр ( — '/, ои) )ог — ~„( — ()' (2з + 1) 7, о и, ('/, и) Х =о х~ /ро,(р) Р,"(р) lо(ор)рг(р.
(15) о Чтобы вьшислить интеграл, стоящий в правой части, заменим, как уже обш сия юсь раньше, произведение радиальных полиномов их линейкой коом бннацнсй, првчем нх верхние индексы равны ооо!оядь) функ~(ин Бесселя (з данном случае нулю). Линейную комбинацию легко получить, если воспользоваться выражением (9.2.8) /ром(р) =Р,(2р' — Ц (!0) и некоторыми хорошо известными соотноп!ениями для полиномов Лежандра. Имеем /7' (р) /7Г(р) =Р,(2р' — 1) Р,(2р" — 1). (!7) Лалее Ро(/) = †(ЗР— 1); следовательно, правую часть (17) можно предста- 1 2 вить в виде Р,(!) Ро(Г) = — 'РР,(() — Р,(Г). (18) Г!рименяя дважды рекуррентную формулу *) (Ро(!)- — „,, [(а+') Ро+ (!)+яро- (!)) (19) получим Р,(() Р (!) —.а Ро (Г)+Ь Р (/)+с Р (!), (20) где о — 1) )(2о — 1)" З(о+2)(о+1) (о+1)о З *'=2(2о -З)бн Ь()' о=(зо4-З)(зо — П ' С'= 2 (Шф! Следовательно, (17) принимает аоод Р)о (о) /С1 (Р) = а,)71,, (Р) -1- Ь,/7,', (Р) 1 с,йоо, (Р), (22) Подставляя последнее соотношение в (15) и используя (11), окончательно на- ходим Г/,=2ехр( — '/, (и) [гг — „-~~' (!)'(2з+ 1) уооо(о('/, и) х о о Х [а,.(м„(О)+Ьоу„оо (О) + Соуоо „(О)!.
(23) ) Оч, азорзиер, !271. обладает вращательной симметрией относительно главного направления о = О. Согласно (8) разложение дифракциониого интеграла по степеням и имеет вид (/(и о ф) С [('о+1(!оооо) Г(о+(кгооо) Г/о ! ' ' ! (!'о) где (/о характеризует возмущение свободного от аберрации изобрзжгккя, а Оо Г/„... определяются другими соотношениями (8б) при т - и -- О. Б частности, в 9А! лиоулкпутоняля клугина пуи наличии оаной лвкргзпии 437 Рнс 9 3.
Ичофоты е чсрнлноннльной нлп«коста прн нзлнчнн первичной сферической аберрапнн Ф- 9,48)рз (ю ПЗО ж Онь н а*зш ьет ге метунч" у ус у И. нсн ность оумнрованз а !ПО е «епре В любой плоскости, перпендикулярной к главному напрйвлению и= — О, изот)итьь конечно, имеют вид окружностей. На рис.
9.3 изображены изофогы в меридианальной плоскости прн нлличии первичной гферпческои аберрации Ф =- 0,48л(з', а на рис. 9.4 и 9 3 вогпроизвсдены фотографии нзобра у сций в разли шы с пло. скос.гмх чрн имличпм несколько большей сферической аберрации г"). 9Л.2. Первичная кома. В зпум случае (=-О, л =3 и и= — 1. Согласно табл. 9.3 дифракцнонный фокус накопится а плоскости л = О, а возмущение в атой плоскости описывается вь:рюкепием (У(0, и, ф) = С [У,(0, о, ф) + ((а,ы) ((з(0, о, ф)-(- мку +((а„ш)м(У,(0, и, ф)+ ...).
(24) Рпс. У 4. Изобрамгекея а плосностн красшп о фоку. са (и) н н аоскосгн ~сомсгрнчесаого ьру».кз нанменьшего рз сейшн (б) прп налнчпн кср1нчнон сфезгчесной нбсогшсш Ф (Ейрч 05! Прн и = 0 интеграл (Уш оп!зсз(слснны(з (86), харвигеризует возмущение 22,(п)го в фокальной гулогукосги свободной от аберрапнн системы (картина Зпри), а ()з легко вычислить с помощью (11). 2(тя нахохсдепия (/ь (/ш ... мы должны снова выраз ~гь произведения круговых полшуомов через соответствуюпз Ио их линейнуну комбинацию. В частности, с помощью табл. 9.! можно доказать, что (23) Используя зтн соотношения в выражении для Уз (86) и прнменвя (11), легко *) Иолробзостн см.
н (Л! '') Рлззо. снн ((3', непраголно Лля нычнслення нптспснаностн, если аберрация немалы по сраанснзш с .ошной ас ~чы. Прн цалнчнн псршшпой сферачсской аберрации, рзш ой ге. сколышм длин,м полн, ашботы н з~ерплпог1шчьнои плссш|ггн бььчн ш' нглець с по ~гупшш мсланнчес~ого н.псгрзтор» Марешалемт шо результаты оаублнконаны н (20, 28, 29! (см.
также (51). Танин же образом ') можно разложить в ряд (уа, ()з, ° ° . Используя полученные ряды, ьюжно вычислить значения интенсивности ! = ((у !' н ряде точек изображения и построить затем изофоты (линии равной интенсивности). 438 ДНОРЛКПИОННЛЯ ТЕОРИЯ ЛБЕРРАЦНЙ Рттс. 9.5. Изображения в пяраксиальной фокальттой плоскости 1а) и в плоскости геоыетраческого кружка наи е ныпего рагсевння 1б) при наптгчил перри пмй О)ырттческой аберраппв Ф=!7Д )4441 5,4)лг, 3,Таре и 1,44ре И51 Ы а,.б б агре б льв иа«б е ~%$г Рис. 9 6.
Изо$огы в плоскости а=й прн наличии первичной коны. з б) О=1,4Л (р* — р )се о, антенснваость штр ла ра о,аое 1144. т а $ 9.4) ливглкггпоггнли клгтннл аги иллачни одной аивгглции 589 вычислить иятегралы, входящие в У„в результате чего окончательно получим (Гг(О, и, ф)= — ', (Гг(О, о, ф)=гсозф — '', 26 (0) . 27т(г) ! й З Зт(О) 29.7,(п) — СОЗйф(+Уз(П)+-=-Зт(П)1 т Г На рис.
9.6 и 9.7 показаны нзофоть., соответствующие разным величинам первичной комы. Ланные на рис. 9.6 получены с помощью разложеггия в ряды. ) д(',,)р гк('пт) 577 гг '(тт / ...-.--1'---- . Рис. 9.7. Изофогы в плоскости г=-Е при калинки первичной комы [30). мнт втаааыть н р р а 100 а нтнтр т бра,т оболн гоотабагоан й.а)Ф за то' 00 Рис. 9,В. Изобраиенггя в рараксиальной фокальной плоскости при наличии комы (15). Ф=а.вщ* Р.Е, ао' *Ег а Оо Е; и;** Е Гор Ь *Е на рнс. 9.7 — с помощью численного интегрирования. На рис. 9.8 помещенье фотографии нзобра,кеннй, искаженных первичной коьгой. Приведенные ри пупки показывают, что при аберрации порядка длины волны изображсниа [гл, 9 ЛЯФГАКЦНОНИАЯ ТЕОРИЯ АВКГГАПИй непохоже ни на картину Эйри, ни на изображение, предсказываемое геометрической оптикой.
При увеличении аберрации истинное изобраэкспие быстро принпэает внд, получающийся в гсощтрпчсской оптике, однако его пересекает ряд темных полос; можно показать, что онн нознпкэйг из-за интерференции лучей, дифрагировавших на концах диаметрз отверстия., Рис. 9.6 иллюстрирует так~ке общий результат, установленный в 4 9.2 и состоящий в следующем: сели малая аберрация описывается членом, выраэкеаным п.рез круговой полинам, то распределение интенсивности слгешаетсэз так, что ее максимум попадает в начаша координат.
Ш4.3. Первичный астигматизм. Лналопгчным образом можно исследэжать аффект малого псрвичяого астигматизма. В этом случае 1--0, и=ш=2, и, [л(Зр эуг('а) Рис. 9.9 Мэофа~м э чээтрюшэа юээскэстн эрн наличия пэрэээээгэ эсгигчэтаэпэ, как было показано в 4 9.3, дифракпионный фокус находится посередине между двумя фекальными линиямн. Рассмотрим распределение света в йсншральной плоскости, т.
с. н плоскости, проходящей через указанную точку перпендикулярно к главному направлению. Если аберрация описывается с помощью соответгтиующсго кругового полинома 1Л ээээ[(Я сон 20), то центральпоа плоскостью служит плоскость и =О. Возмущение в центральной плоскости описывается выражением (Г (О,, ф) = С [и, (О, о, ф)+ (Ь.„,) и, (О, о, ф)+ ((м„,)* и, (О, о,,р)+ ...), (2т) где У„(О, и, эр) определяет, как и раньше, распределение интенсивности в картине Эйрн, а У,(О, о, э)) легко вычисляется с помгяцью (11).
Для нахождения (Лэ пспользустг тождества (28) В результате получим У,(0, и эр)=- — '„, У,(0, и, ф) = — 2соз29 — '("), (), (О, и, ф) = 2— „~ 3 у, (о) —. —, l,(п) +,, Р, (и) „- сов 49/, (о) ~ ) 44! % 9.51 изовззженяв протяженных птядметов На рис. 9.9 показаны диаграммы изофот изображений, искаженных астигматизмом.
Ланпые, приведеш>ые на рис. 9.9, а, были рассчитаны с помощью Рве. 9.10. Изозрзжеязв в позор»лов<В ззосзоств зрв зззвчвз зврззчяого зогзгзмгзвя» 115). разгямкення (27), содержавшего члены !зп»!с>гь ло !ствертого поряд»я по п, На рнг. 9 10 и 9.11 пока»зим фотографии иска»кепньы астигматизмом изображе пгй. Как мы видим, прн вали ши небольшого астнгматизмя пзафоты в пептральнай плоскости имеют вид окружностей лип>ь вблизи пентра и более сложную форму па краях изображения. Прп увели !спин астнгмагизма !ыображеи становятся содуппгообразпым и пересечено шггерференцианнымп полоса"»и. Что касас!ся,>иу» оставшихся типов первичной аберрапии йгрпвпзны поля в дисторспп), то мы уже показали, чга опн пе нар) шают структуру трехмерного нзобрамгения, а тозьщ> саещяяп пщ1ожщшс днфракппанного Рве 911.
изоерзжзвзз в з,юоз опь фок>са. Поэтому диаграммы нзофот вблизи з зогороз гзжвт ч>озззмыз ззозз фоь(са прв наличии таких аберраций пе от. зрв озон~ив всрвашого .»стз~из- тизмз Ф= 2 71-оз соз 29 11Ь) лнчщотся от соответствующих диаграмм для свободных от аберрапии нзсюражсннй (см. рнс. 8.39), а лишь смещаю~ся о>паснгелы>о параксиального фокуса на величины, указанные в табл. 9.3. 9 9.5. Изображение протяженных предметов Да снх пар мы изучали только изображения точечных истгжников. Опппщм теперь нека!орые общие мочалы, аспаяянныс на фурье-преобразованиях, аримщщечых при исследовании изображений протвженных предметов.
3>ги методы бьли развиты, главным образом в рабатах Люффьс 131), чаем>чпо в сатр)дничестве с Лапсро 132); в далызейщеч опи были разваты и применены к решению частных задач многнзщ исследователями (см., например, 133 — 371). рйы рассмотрим отображения зогеренгным и некогерептпым светам раздельноо. 9.3.1. Когерентное освещение.
Обозначим декартовы координаты точек н плоскостях паракснальпого изображения и пыходного зрачка соответстве>шо чеРез (хь У,) и (г 9) и бУдем считать, что оси иыбРанных систем каоРдпнаг взаимно гшраллельньг, а их начала располо>иены нз осн. Точки, лежал!не и плоскости предмета, удобно характеризовать такими нормализованными каорднватани (х„уз), что хз ' й()(з уз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
