Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Существует много систем полномов, обладаю!цнх таким свойством; од!шко одна иг иих, введенная Цернике (231, обладает епле и простыми свойспщмн ииварнантиости. В призон!енин 7 днн вывод есрдгоаеек лолиномое Цернике и обсуждаются некоторые их свойства; вдеть мы приведем лишь те формулы, которые потребуются в настоящей главе. Кр)товыс полпномы Церешке предсгавляют собой полиномы Уе(Х, У) ог двух цейс!вительн ж нереионныт Х, У; если выразить Х, У в полярных координатах (Х = рыл 8, 1' —.рсоз8), то полиномы имеют вид У!„(рз1пй, рсозй) =Щ(р)ехр(П8), (1) где!-О и л~Π— целые числа, л) !1), а л — !1! — четное число. Ортогвналь. ность и нормировка полиномов выражаются формулами Д Р«„(Х, 1))*У'„1(Х, У)ДХ т=- — „", бл.бп„., (2) х'е!'м ! где бо — символ Кронекера, а звездочка ооозначвет комплексное сопряжение, Радиальные функции Щ(р) являются полицолшми по о, содержащими степени р", рп"', ..., опк и, как показано в гриложении 7, они тесно свячаны с полвномами Якоби (вырожденными гнпергеометрическими функциями).
Как видно из (1) и (2), радиальные поляномы удовлетворяют соотношевиям )7((р) )7(, (р) рбр = 2(„'+ !) б.... (Зу Они опрсделякпч:я следующими формулами (и! =- 1! !): ДИФРАКЦИОНИАЯ ТЕОРИЯ АВЕРРЛЦНй (гл. 9 Табл ицл 9.1 Радиальные иолииомы й'„" (Р) дли т. 8, я~8 В теории Ни кбера — Цернике важную роль играет следующее соотношение (также доказанное в приложении): и- е )е",(р) л' (ор) рг(р =( — 1) е З«ее (о) о где л' — функция Бесселя первого рода. Вместо комплексных полиномов У можно испольаовать вещественные полнномы У„=-(У~+У„) =д' (о) созтб, ) ~3„™ = — (ӄ— У„м) .=.
Г(ле (р) 51П т6. Мы будем в дальнейшем првмеиять только полиномы У. =А™„'(р) созтй, тзк как волновые искажения симметричны относительно меридианальной плоскости 6 =О, и, следовательно, функция аберраций является четной функцией 6. 9.2.2. Разложение функции аберраций. Следуя Ннжбсру, разложим функцию аберраций Ф по круговьш полнномам Цсрнвкс Из симметрии задачи вытекает, как и в й ОС1, что разложснис содержит лишь комбинации переменных, а именно У, р' и У,*рсоз 6, так что оно должно иметь вид Ф (У,*, р, 6) = ~' ~'~,'ат„(У,')и и)Тел" (р) со5 ела, (11) 427 РЛЗЛОЖННИИ ФУНКЦИИ ЛВНРРЛЦИН Ф = Ао Ф' = А о+ —, 2'., Л» =о Из первого соотношения следует, что А„характеризует среднее запаздывание волнового фронта отпоснтсльно опорной сферы 1Н)сса Вп»рос «лютнонгепне представляет собой «формулу Парсеваля» для ортогональнон системы функций Я,, (р) сов глп.
Подставляя (12) н уравнение (9.1.22), получим для пормированнои интенсивности в параксиальном фокусе 2:Р т) Ч А,'ол Лн ' « ° лл«Г ' «=. ~ Н=С При рец)енин важной проблемы «сбалансирования» аберраций различных порядков друг отаосительно друга с целью ггол«чепня максимальной интенсивности проявляготся преггмущестна рззложснин по круговым поннномам. Предположим, что аберрация описывается одним членом «степенного ряда», а именно (14) Ф-А; р 'О, где А' — малая постоянная (порядка панны золньг или можно ли увеличить интенсивность г ()»;), если ввести порядков, Или, более точно, можно ли так подобрать женин меныцс).
Сгграггпгпаегся, аберрации более низких постоянные А;, н выра- Ф '— 'А» Р" соз О+ ~» ~ Ар о»соз«О, (16) Р .Локг чтобы интснс«ниость в парнксиальнол«фокусе была ках можно болыне. При любоч выборе постоянных А„', функцию аберрации (16) мо:кио также представить с помощью круговых полиномов Ф' — Р» А„„)7,",'(р)ссзглцч ~; ~', Рр А»о)7»о(р)созЧО, (17) » < л о»» ГДР 1 Р„л= —., когда т= О, Н~О, )'г ' (16) «„„=1 в остальных случаях.
) Коэффициент при наивысшей степени р в (16), т. е. Нри р", равен, согласно (5), л1~гь — (л+гл)111 з (и — т)~ 1; тогда, сРавниваЯ козффициенты НРн Р" в (16) и (17), получим »л Аол=-Ал . [ —, (л 1 ггг)~ ! ~ — (л — л«) ~.! (19) где 1, л и гл — неотрицательные целые числа, лри лг, л †га†четное число и а,„л — постоянные.
Поскольку нас будет интересовать главным образом дифракционное изображение фиксггровэйной точки предмета ()»; =сон»1), удобно не выделить явную зависимость Ф от У',* и переписать (11) в виде Ф=Аоо+=~'„, А„о)«ой(р)+~' ~'„, А„йи(р)созл«О, (12) )»2 „ '=1 =г Коз~фнциенты А „зависят ог У *„а множитель 1Д''2 введен перед втпрым членом для упрощения окончательных формул. Если аберрации дгкгаточно малы, та с помощью коэффициентов А можно выразить нормированную интенспвно7нь в параксиальном фокусе в просгой форме. Подставляг (12) в (9.1.2П и использ)я условие ортогоналыюсти (9), получим (гл.
9 ДИФРАКЦИОИИАЯ ТЕОРИЯ АИЕРРАПВй 428 Если коэффициент А„', а следовательно, н А„ фикснроваи, то, согласно (141, максимальная интенсивность в точке Р; получается, когда все коэффициенты под знаком суммы в (17) тогкдествеппо оашгы пулго. '!'огда функция аберраций принимает вид Ф' — И„А„Щ' (р) соз тй, (20) а интенсивность в Р; становится раиной Тг г'(Р') =1 — —., —" Аг Ч-г (2!) где А „выражается через А„' с помощью (19).
Теперь очевидно, что в одном аберраиионпом гиене А„,АК",(о) созтО разложения (12) ггвскогько менов сида А«ргсоз«0 с р = и, л — 2, ..., т, и (г — гп, т ..2, ... 1 иги 0 скомбинировилось глаким ооргьъгн, чвго лргг даннггм («)ос>лавинно малом) значении когффиииенгла при р"сов "О нормированная интенсивность в лариксиальном фокусе маюги.наяьна. Проилтострируем полученьый результат простым поимсром.
Прсдположвм, по опты геская система создает нсболыпую сферическую аберрацию шестого поряг1ла (бг =А,'„р"1, но мы можем ввести контролируемые нггличллы сферической аберрации четвертого порядка !А;,р'! и дефокусировкл !Л;,р'!. Требуется найти значения А„'„и А:«, при которых интенсивность в дифракцпопиом фокусе максимальна. Задача такого рода была впервые рассмотрсна Рихтером (241, который показал, что максимум интенсивности достигастсь при Аг«З А««В (22) Аг«2 А«г 5 Есгги взглянуть на табл.
9.1, то мы увидит«, что зти отношения в точности равны отношениям соответствующих козффипиегпов полипома Н((р), т. е. Р,"(о) 20р' —,30р'+ 12р* — 1. (23) Таким образом, в случае достаточно малых аберраций введение круговых полипомов Цернике автоматически решает задачу «сбалансирования> аберраний в укаэашюч смысле; бгглее того, с гюмошью теоремы смешения ыожно определить положение дифрвкциовцого фокуса. й 9.3, Допустимые величины первичных аберраций Прежде чем исследовать сложную проблему нахож;гения распределения интенсивности в дифракпиояном изображении при наличии аберрапий, рассмглрим более простую задачу оценки максимальной величины аберраций, допустимой в оптической системе.
Из предыдущего обсужденля следуст, что прн наличии аберраций максимальная интенсивность в лнфракпионном изображении меньше интенсивности в пвракснальном фокусе (центре картины айры! оптичесяой системы с теми же апертурой н фокусным расстоянием, но свободной от аберраций. Рзлсй !!! впервые поквзел, что интенсивность света в паракснальном г)юкусе пвлввт епньше чем на 20>гь (такеи лагеря обычно допусти>га), если перющнал сферическая аберрация в системе такова, гто волновой фронт в выходном зрачке отстоит от опорцои сферы Гаусса на расгчолнии, меньшем четверти длины волны. Гголсе поздние исследователи установили, что качество изображенил при наличии других обы гяо встречающихся аберрацпй существенно не ухудшается, если деформация волнового фронта не превышает четверти длины волны. Потучеяный результат известен как правило гмгпвервги волны Рэлея, служащее полезным критерием допустимой величины аберраций в оптической систсме, формиругощей изображегше.
Это правпло служит, конечно, лишь грубым указаннегг на необходимость коррекции системы, поскольку распределение света в изображе- 6 9.5 лоп>'стииыв явличины пьевичяых авсегэций 429 нив зависит не только от максимальной деформации волновых фронтов, но и ог их формы (типа аберрации). Волге того, допустимое кол>шество потерь света зависит также от назначснпя оптнчсск»х инструментов, и поэтому в некоторых случаях приходятся вводить более строгие допуски.
Если условие 1Ф„„...~ — й!4 применить к аберрациям разного типа, то получающиеся значения интенсивности в днфракцноппом фокусе окаж)тся различными. 1!оэтому удобнее сфорпулировагь такой крнтеряй, который соот- ветствуе> зачяннол>у анз >синю интенсивности в дяфракцнопном фокусе.
Крн- терик подобного типа рассмотрел Марешаль 125), воспользовавшись соотноше- нием между интенсивностью и центре опорной сферы и средцеквадрзтичнь>м отклонение>» волнового фронта от сферической формы. Еслп аберрации достаточно галы, то, согласно (9.1.24), для интенсивности в точке Р в области изобрахсения имеем 1(Р) 1 — —; — ) (ЬФр)'. / 2п 1» (!) Следуя Марешалю, ии будем с«ттяпл, ияо гиот>ма хорои»о скорректирована, ес.ги норнир>манны«инлшлоигностэ г дифрит>ионном ф>опусе !> оо штг илсс розна 0,8 Из (1) следует, по 1'(Р/.=: 0,8, когда / ЛФ„~ ~ 5/14, т.
е. приведенное иыше условие эквивалентно трсоовапию, чтобы сра!некбадритичное отклоненш сол- т>гого фро>*та от опорной сферы, центр которой находитеч в ди»)>ракционнож гуокусе, не лрегытало )./!4. Фактя вски уююэзе Марешачя вытекает иэ несколько нного неравенства. Иэ (9.1.29) следует, что > ээ ' » > зя » 1 ГГ 1 Г --'» - "» --11-'-м" ~ э э э» Если МФГ)юп/2, т.
е. ~ФГ,'юдэ, »о з этол» яерээеяс»эе величину аы (аФГ) можно заменить на 1 — '/э (ЗФр)'. Если, кРоме тога, эыбРать РадиУс аз«Рвай сфеРы так, чтобы Фг — — О, та (ПФГ)» =Ф', и яерээеятэо примет вял 1(Р) т ) ( — 1» '(аФГ)») 2т, (1а) Кр«». ряа Мэреяюлэ гл»лует яэ всрээеяс>ээ (1а), однако еслз эберрэпяк малы, то о»> практн- чески я» стл». ае»сс от яр»лед»няэга эышэ кшп»ряя. Ддэ яэших лелея улсбяеэ пэллээээтюя са«тээш»яэем (1), э эе (1»).
поскольку пер»ив боэ»«прэмыи эбрэюм сзяээн с экс»ремээлпымя свойствамя круговых полина«аз Цернике. Определим теперь положение дифракцнонного фокуса и допуски для перви шых аберрацяй (абсррапий Зайлеля). В обозначениях, принятых я настоящей главе, каждая первичная зберрация представляет собой деформацию волнового фронта вида *) Ф = а,' ()';)»»э« р" соз" О, (2) где 2!+т+и — 4. Удобно положить А; =-а,' (У;)и»., (3) и тогда (2) принимает вид Ф = А> „р" созм8. (4) Постоянные А' легко выразить через коэффициенты Зайделя В, С, 1), Е и Р, введенные в гл. 5. Если произвольную постоянную Лп входящую в (о.2.7) н (5.2.8), положить равной единице, то ь» обозначает увеличение плоскость входного — плоскость выходного зрачков: далее, если вспомшпь, что коэффициент и, равен теперь единице, то переыснныы р и у, пз (5лй7) соответствуют *) Штрвхэ>»я отмечаю»ся х«эфрэяяспты степенных рядов, а яештряховаяяые каэффк.
Пяевтм отшюятся к рлзло>кеияю по эалязамэы Цсрпякэ, (гл У ИИФРАкциОииАя теория АБРРРАпий 430 величины ар!Ах н — М';Ю из настоящего раздела. Сравнивая (4) и (5.3.7), А;„= — — ( — ") В, А;„=- — Я ( — '') Р, '(зы = (77) (+)" В !5) В выражении через круговые полиномы типичный, член, описывающий аберрацию, имеет внд ") Ф = е„А салР„(р) соз глй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
