Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 115
Текст из файла (страница 115)
(6) В последней колонке табл. 9.2 выписаны члены с индексами (, лч и и, удовлетворяющими равенству 27-ьт+л =.—.4 (первичныс аберрации] Как мы видим, некоторые члены Злй:!ели сопроиожз!алжся теперь членапи более низкого порядка, чю н соотнетствни с теоремои смешения (см. и. 9.! .2! вызывает сдвиг распределения ннтенснвяости как целого Согласно теореме, приведенной в и 9 2 2, максимальная интенсивность в изображении, искаженном аберрацией типа (6),жкттизегся н лзраксиальном фокусе. Следовательно, сравнивая соответствующие члены в двул последних колонках табл.
9.2, можно сразу же определить координаты днфракциоппого Габллпа 9.2 Прсдставлсиис лсрвнчных абсррвний (7) *) Длз обсспсчсния сдинообразии с формулами, прнвсдснными в 4 9 2, здесь остазлсн миожнтсль з„ , разный !! Р' 2 при м †-О, лть О н ! Ири остальных знзчснилх т и о фокуса изображения, искаженного первичной аберрацией. Проиллюсгрируем последнее утверждение, подробно рассмотрен случай сферической аберрации.
Эта аберрация оппсыиаетси членом б(з = '4ззтр 43Г 6 9.3! лопхстнмяв ввлнчипы пвевнчяык *вгмеьцнй Соответствующее выражение н форме (6) имеет вид Ф == = Аььь)!ьь (Р) .=- = Аьм (6Р' — 6Р'-1- 1), (8» Если положить б 4ьм == Амь Уз (9) то распределения интенсивности в обоих случаях будут, согласно теореме смещения, одинаковы; однако распредетение, соответствующее (7), будет сдвин) то относщельно распределения, соответствующего (8), па расстояние, определяемое из уравнения (9.1.15) с У 2 т. с т. е (Аг. ( б "1 В частности, для первичной сферической аберрации имеем (А„„1=2 0,2И, (!3) или с учетом (9)— ( Л„'о, (<0,94 Г. (11) Это и есть требуемое условие, определяющее максимально допустимую первичную сферическую аберрацию, согласно которому максимальное огк гонение волнового фронта от опорной сферы Гаусса должно оьггь меньше 0,94 Г. Совершенно таким же спггсобом можно нанти координаты днфракционных фокусов н максимально допустимые первичные аберрации друтпх типов ) Здесь пы пренебрегзеы темп вебольщпмп зффсктлмв, которые свпзвны с разным выбором ввпрзвлм*на г в настоящем разделе в в 4 5.1.
х'=-х, у'=у, г'=г+2(й)а)'А;м. (10) Так как максимум интенсивности в днфракционном изображении, соответствую- щем (8), пятодптсгг я пвчвле коордннят х . у — г . О, то днфракпиоппый фокус Р при натичкн первичной сфернческон аберрации типа (7) расположен в точке хг=ур=О, г„=2(ут!а)ьЛ;,„. (11) Коордггнвты точки Р, опрсдслясмыс (1!), допускают простое геоъгетрнче- скос истотковангге Пусть иУ н 67. — поперечная н продольная сфсрн геенне аберрации, считающиеся положнтельнылш, если луч пересекает ось с положи- тельной стороны от пар аксиального фокуса. Из (5.1.
16) при Ф = А;,„р', р = Уга, Р,ж — гт = — )и, Х,=Х = О, л,=- ! имеем йУ=У,— У;=4(' й) ( — ")" А;м, (12а) следовательно, на основании элементарных геометрических соображений н предыдущего соотношения Пб='Ег ~( ям — г)У=4 ~ — ) ( — ) А;м. (Гйб) Для красного луча (У = а) зто дасг (г57)„„„,--4 (гсга)здмь. Тогда нв (!1) сле- дует, что ') дифрикциьнпый фокус при наличии малои первичной сферической аберрации расла,гожем посередине между парыксггальмылг и краевым йпггсусами.
Определвм теперь максимально допустимгро величину сферической абстг- рвции. Согласно (9,2.!4) нормированиям интенсивность н ггаряксггаггьногг фо- кусе для любой аберрации типа (6) больше нли равна 0,8, если 1 — —.—" 08, 2я' Ли'» ЬЛ и+1 (гл. 9 днфРАкциоинАЕ ТЯОРия АвеРРАций В частности, диф(~акционный фокус при наличии небольшого первичного астигматизма расположен в точке с координатами ( И ут ЯР.=УР=9 зг =( ' Аюеа. (15) Этот результат также допускает простое физическое истолкование.
Согласью (5) и (5 3 18) радиусы тангснцнзльной н сагиттальной фокальных поверхностей кст и ктк определяются из выражений (и, своза полагается равным единице) (16) Таблица зз Коорвянаты анфрапанонныя фопусов н условна, опревеляющне маяспмально повустнмую аелнчнну нерпнчныя абсрраннй кооряп «тн верра аноп Тпп еберраеп к ~ р, ~Л,',) < О,збй 2( — ) Л,о Сферическая абер- рация — 1 —," )л' )л' (~,о,бох Кома (Л' (~а,збх Астнгматяам "гак что абсциссы з, н з, двух фокальных линий равны (у')' (17) Таким образоьс, из (15) следует, что дифракционный 4акус при наличии нгбольшого пгрвичногп иглимлсапиюма налпдикпсч посервдинг,между танггнииальпой и вагипктальпой 4опальными линиями.
Поскольку первичные кривизна поля и дисторсия описываются членами, содерэьацгими соответственно р' и р, их эффект, согласно теореме смещения, состоит лишь в смешении как целого трехмерного распределения интенсивности в свободном от аберраций изображении. Итак, при наличии небольшой первичной кривизны поля или первичной днсторснв нормирояаннаи интснсняносты в дифракциопном фокусе равна единице, но сам днфракционный фокус не совпадает с параксиальным фокусом. В табл. 9 3 приведсны результаты, отисюяшиеся к первичным аберрациям. й 9.4. Дифракциоиная картина, получающаяся прн наличии одной аберрации Рассмотрим теперь дифракционное изображение при наличии аберрации, которая описывается одним членом разложения (9.2.11), а именно ор =а„(1;")н+ Щ'(р) сов глО.
Как и раньше, избавимся от явной аависимости Ф от г';, положив зл, цч (2) Ввсдет1 обозначение а ( д )*ехр [) ~ — ) К1 Тоня дифракционный интеграл (9.1.6) принимает вид (3) У (и, о, ф) .: 1 О ьгг!.à — ) ехР[1 [ — НРсоз(Π— ф) — впо'+со„Щ'(Р)созглО~ [Ро(РЮ. (4) о о Интеграл (4) можно представить в виде бесконечного ряда, если разложить ехр( — (ортов(Π— ф)1 н ехр((гх1„)с„"'(р)созтО) с помощью тождества Якоби (см.
(8.8.29)) ехр ((г сов то) =- р'о (г)+ 2 Х (А.Г, (г) соз эр. (5) =1 Перемножая оба ряда, получим ехр (1 [ — ор соь(Π— 1))+омн Щ(р) соз тОЦ = Р =-4~ ~ ( — 1)*( — 1)* и, [а,„,„)17 (р))УР(ср)созглзЭсоз [з (Π— ф)[, (6) но '=о где штрихи при символах суммы означают, что члены с индексами Н=О и з' — -О следует брать с козффпш1сптом '),.
подставив (6) в (4) и проинтегрировав почленно по углу О, находим (У (а, о, ф) =- 1 =.. 4С 1 ( — 1)о' о'сов глзф [ ехр [ — —,. (про~ у„[бонч);"„"(р)[ г,(ор) ро( (у) *=о о где член с индексом з -О снова надо брать с нозффнш1ентом '/,. Поскольку нас интерес)тот только малы» аберрации (со мало), можно разложнть член о'„(а1АЧ)т„'"(р)1 под знаком интеграла в степеннон рнд, а затем расположить его члены по возрастающим степеням оо„н.
Тогда имеем 0(и, О, 1)) =С [(),+!НХМ„(/,+((СОМ~)'(l,+(!НАМ~)'Е/~ф (1МГН )'()~+...[, (8а) ЗВ и. ьоро, з. во 4 9.4) ЛНФРАК1ЩОННАН. КАРТИНА ЛРН НАЛИЧИИ ОЛНОЙ АБЕРРАЦИЯ 433. 1!.!. 9 диФРА«г«!ианнАИ тоория АвнРРАций 434 где (14=2 ~ ехр [ — я гир'-1 о',(ор]р«(р, ! о У« = 2( — 4]н созлтф ~ ехр [ — — 1ир'1 «««7(р) о„(!«Р)рг(Р, о В.= З ! ) ЕХР [ — — З(ир") (Р:(Р))«У,(ОР)14+ о ! + Р сов 2п«ф ~ ехр [ — -«ир ] (1щ(р))4.7„„(ор) р г(Р, « 2-3! 4 3( — 1) сов очф ) ехр [ — з (нр'1 (1'.
«Р))' . гор) (Р+ о +( — 4)он сов Зтф ~ ехр [ — д гиро) ()Г"„'(р))о з, (ор)р«(1«~, о («, =. з— ,4, ! 3 ) ехр [ з (ир ) (и 1Р))' у~ 1НР) Р "Р+ о +4Р сов 2щф ) ехр [ — з Тир«1 ()г (Р))'У~(ир) Р«(Р+ о ! +««осаз4лгф ~ ехр [ з «ир«1 () (Р))~~4 (ор)РТ(Р (8б) ехр( — '1, (ио)=ехр( — Ч, (и)ехр( — '/, 1и(2Р' — 1))= = охр ( — «/4 1и) )«ггтн ~, ( — 1)4 (2з-',— 1) о' «,м («)«и) )«1, (Р). =о Если нада«авнть (10) н (8«б), то в нрзвыс их части будут входить ин~егралы, каждый из которых состоит из фупкпни Бесселя, )Ащаже«,нон за произведение радвальпых полиномов. Эти интегралы можно вычислить с помощью формулы (9.2.9), а именно « п-м г«4«(Р)у (о )РНР ( Н о ! "«! ) (11) ) Си., ноорниер, 1261.
Как показвл Нижбер, если и и и«„н равны по порядку величины единице, то первых четырех членов Разложения (8а) достаточна для получения ннтенсиинасти с точностыа до нескольких процентов. Лля вычисления интегралов в (8б) можно поступить счсдующим образом.
Выразим множитель ехр 1 — '1, Аир«1 через радиальные нолпномы с помощью хорощо известной формулы Бауэра ') в виде ЕХР(ггеаэ4«)=( — ) ~„1*(2З-,-()У«Ф«Г«(З)Р4(СОЗф), (9) =о где Р,— починомы Ле«кан«Тра. Налагая соз«р =2р' — 1 и используя соатношениа Р,(2Р« — -1) = 1(г,(Р) (см. (9.2.8)), получим 4 9А! ииеРАкциоииАИ кАР<инА НРи нАличии отпой лэРРРАции 435 при условии, чта каждое произведение радиальных полиномов выражается в виде линейной комбинации членов вида ~ЗА )7~(р) с индексом т, равным порядку функпни Бесселя, иа катару<о умная<веток данное произведсине.
Общее яырэженпс лдя коэффяпиеягов й, пол)чпгь довольно трудно, но если /' т и и не очень велики, то требуемьш линейные комбинации строятся довольно просто с пампинею табл. Ь.1, что будет показано нчьье нн нескольких примерах. Для ознакомления с методами, примепяеь ымн в более общих случаях, мы отсылаем чи ге ге„<я к рабипс Ння<берэ. В чя<тяом случае волны, свободной от аберраций, подстановка (10) в (7) дает с учетом (!1) 0(и, о, ф)=2Сехр( — </А <и) )<< — ' ~,( — !)Р(2з 1 1) д'.„„,,(/ь и)х ч < х ~)7'„'(р) /,(ор)рдр=- =2Сехр( — '/< <и) ьр< — льм (<) (2з+!) <<Р<м('«а и) ' +„' ' (12) <=ь Полученное разложение, несмотря на формальное различие, эквивалентно рядам Ломмеля, описанных< в п.
8.8.1. Из соотношении (8) мо,кно сразу же получить некоторые общие свойства дифраюшонного нзаб)эажсяия. Как мы видим, величина (7 не изменяется при замене <р иа ф+ 2яр<т ()ь=1, 2, ..., т); следовательно, ось г являтпся тью с<силеп<рии т-ео порядка. Более того, плоского<и, проходяи(це через ось г и соьнимлюощие с пюстсжпью х = О ус<и <ьр<п<, служат ш<оа<остлни с<ьчелтрии. При <п - =О система обладает, конечно, вращательной симметрией.
Рассмотрим теперь снмметрииь относительно плоскости г =О. Отметим,что при замене и на — и все интегралы в (8) пре вра цак<тся в комплексно сопряженные. Если т -- нечетное число, то все коэффициенты прн интегралах вещественны. Поэтому (7(и, о, ф) в этом случае заченяется на комплексно сопряжен. н) кь величину н, следовательно, кнтснспвность нс нзмсняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
