Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 113
Текст из файла (страница 113)
При написании (1) предпояагалось, что входящие в это выражение углы малы, так что можно пренебречь изменением кочффнпиентз ннклсаа лучей но огюрной сфере Гаусса: кроне того, прсдполагалосгч гго амплитУДа волны пРактически постоЯнна вДоль волнового фРоню, т. е. коэффпциепт Л можно вьпчести пз-под знака интеграла. Пусть (З, ч), Г) и (к, у, г) — - координаты точек !2 и Р, и а — радиус выходного зрачка.
Как и в й 8.8, где рассматривалась волна, свободная от аоерраций (Фн.б), положим 9 = — ар 81п 8, х = г з!и ф, (2) ч)=прсозй, у=гсоач(ч, тогда *), как и в (8.8.2) и (8.8.9), имеем ! з сяьч д (з — Р) == — ор соз (8 — чр) — ирз+ ( — ) и, (3) ") здесь!" аоосаа аюю оаанчнн с' на 1 8.8. испорчено очмачнтм ччо днфрлнинанный ннтЕГрзл ссожно саооз н! лачаннчь з анл рчзчажаннн по угаопьм гзрмонпкгы, если насполь.
зазатьан ураонапннчн (8.8.2! н (8.8.3) 120!. (гл. 9 422 лиФРлкпиопиля теОРия лнеРРкций ГДЕ И И О вЂ” «ОитнчЕСКив КОординатыя точки Р, т. е. (4) Величину Ф удобно рассматривать как функцию У"„р н О Ф вЂ”.— Ф(У;, О, 6). (5) Элемент поверхности опорной сферы Гаусса с(о равен пзрк(рг(6, и если угол„ который СР, "составляет с осью системы, мал, то областью нзпегрнровання в (1) может стужить О.=мр<1, Ок 0.--.2л. Кроме того, для точек наблюдения, находящихся вблизи нзооражснин, яенлнчину з, стоящую в знамснателс подынтегрального выражсяия, можно заменить на )с. Таким образом, соотношение (1) после подстановки в него (3) принимает вид Ао' ! груз т (7(Р)=(у(и, О, ф) = —.—.—,ехр !Г(( — ~ и1 К Хнз~(а ~ 2п и ') ') ехр (з ~АФ(у;, р, О) — орсон(Π— зр) — —, ор'-1 ° рзурс(О, (О) о о и интенсивность в точке Р равна 7(Р) =)и(Р)( = ! 22 3 (',~ ~ ) ехр (! '(АФ(1'"„р,О) — Орсоз(6 — чр) — —,, ирз~ ~рг(рЮ .
(7) с з Удобно выразить ((Р) в виде доли интенсивности Р, которая по.!учалась бы п точка пиракснального изображения Р,' н гпсутствне аберраций. Согласно (7) / Ааз Лз („одз з ГО) тогда нормированная интпкнсибносгпо ") запишется в виде 2(Р) = — „ у (Р) !" Г 2я з гг /.Г =-т. ) ехр1! ~йФ(У;, р, 6) — Орсон(Π— лр) — -ирз~ ~рг(рЖ . (О) ! о В отсутствие аберрапий интенсивность максимальна в точке параксиального изображения. Прп наличии же аберраций максимум интенспнности расположен, в общем слу час, в другой точке, которууо унужно назвать дифрокг(ионньгм фокйсоз! *') Чисто интеРес пРедставлает лишь чаксимальнаа интснсннностзч получающаяся в определенной плоскости наблюдепня; эта величина (Рели она норлпгропана, как н (Оп паэывнегся ангпснгнзногтыо ООщргон *з*). Из й)) молкно сразу же получить несколько простых результатов„которые понадобятся позднее.
6.1.2. Теорема смещения. Изменение опорной сферы. Пусть Ф и Ф' — две Функции аберргщпй, причем Ф'=Ф+ Нрз-! Ар 2)ИО+йрсозО-)-М, (10) *! С гчзоз ! длн нормиронннной интенсизнсст» нельзя спутать с талям же обознз мчяем дня ) — у, поскольку перьми ссегдс пишется с аргувзсщзл и, нзпримср Г(р), г (и, о, Ф и т. д. г— *") Вообще гозоря, конечно, покет бьнь нескюы о длнйужкпнг снят гйокусоз, щнзко если аберрация даст.точно чзнчь ямеетгя тол~ко один дифрзкпиоппмй йкжус, "*') Ото . онат;. зссл Штрель(йу), которнй нзззсл его Оеупзй~озлзукигййеиуз.
В ангдийской литсрзтуре часто испочьзуенся немее подхойящнй тернии сйебгу!Юпз (определение). $ 9.1) дяенькционный инткггкл пги нллнчии лвзгелций 423 где Н, К, Е, М вЂ” постоянные порядка Л. Далее лусты'(и, о, ф) и У(и, о, ф)— соответствуюшие нормированные интенсивности. Тогда цз (9) имеем 1 3: !н |(и, о, ф) = —,~ ') ) ехр (!! (и, о, ф! р, О)) рдрий~, !он где 1(и, о, ф; р. О) =йФ вЂ” ар сов(Π— ф) — '7, ир'.
(12) Аналогичное вырансснне справедливо н зля Г. Согласно (10) последнее выражение можно представить в виде ег(и, о, ф; р, О) =йср' — д (Нрн+Кр з|пй+Лрсозб+ М)— — ор сов (Π— ф) — '7, ир' = йФ' — с 'р сов (Π— ф') — '7, и'р' — ИМ = =!'(и'. о', р', р, О) — йМ, (!З) где (14) Ф' =Ф-|-в — Ь,"=Ф .|- —, ( — -орсоз(Π— 1р) — ир'+( — г! и~+Я вЂ” )7'), Л Г (|8) и'=и+24Н, о'з1пф'=оз!пфч йК, о' сов ф' = о соз ф+ й!.. В соответствии с (2) и (4) уравнения (14) описывают преобразование г'=г+2( †) Н, х'=х+( — |К, у'.=у+( †)!.. (15) Из (11) и (13) вытекает, что !(и, о, ф) = !'(и', о', ф'). (16) Таким образом, мы доказали следу|ошую теорему смещения. Добавление к функиии аберраций анели Нр'+ Кр в|и О -с !.рсозО Г М, где Н, К, !., М вЂ” постоянные порядка Л, не изменяет пгрекяерноео распреде гения ипгпенсивпсспиг света бпиэ фо.
кусо, а люлько смещает его как цегое в соот- и и'=ин' - и' вепютвии с преобриъмаяилми (! 5), иными ело. вами, происходит счещенге на величину Рг" 2(к!а)'7! вдоль главного направления СР," от, я=се выходного зрачка и па величины |Жа) К н (!!|а) ! нлоль положительных напрапленин осей х и у соогветсгненно. Аддятивные тены в правой части (10) можно рассматривать как величины, харак- бвтн нннрннн нрерн терпя)юпгне изменение опорной сферы Гаусса. Пре| шолом ни, что мы выбрали новую внннннна Опнрнан прели Гнхспа опорную сферу с центром в точке Р'!.т', у', г') вблози изображсння и радиусом Я', причем ее рве. з.з. Инмеяеняе опорной сфеон.
рзсстояннедо опорной сферы Гаусса не превышает несколысих длпп волн. Пусть Н вЂ” точка п«ре(ечення луча 0~;> с этой новой сяюрной сферой Тогда функция аберрации Ф', отнесенная к навои сфере, имеет вид (см. рис. 9.2) Ф =7|2Н = 'ем — Ж!е Осе — Жб, (!7) гзе 6 †- точка пересечения линни НР' с опорной сферой Гаусса, а показатель преломления среды в пространстве изображении считается, как и раньше, равным единице Величина ЯЯ =Ф есть волновая аберрация, отнесенная к опорной сфере Гаусса, а Аб = НР' — ор' — Р' — в, где з — расстояние от Н дс Р'. Следовательно, (17) можно переписать в виде 424 (гл. 9 диаРАкциониая теОРия АаеРРАпий где было использовано соотношение (3). Здесь и, О И ф ОПрсдЕЛЯЮтСЯ (3) и (4), где координаты х, у, а нужно заменять на х', у', а' Соотношение (18) можно предстанить в форме (1О), ес.ти положить тат й= — ( — ~у, 34=2+)2 — Р.
(,гу (19) 9.1.3. Соотношение между интенсивностью н средней деформацией волнавы!. фронтов. Если аберрации достаточно малы, то 22нтснсивп2югь в центре опорной сферы люткно выразить через среднеквадратичное значение волновой абсРРацпп. ПУсть Фл — нолноваЯ абеРРацнЯ, отпесенпаа к опоРной сфеРе с центром в точке Р вблизи изображения. Тогда, согласно уравнениям (9) н (18), нормированптю интенсивность в точке Р можно записагь следу«яцим образом: ! 2 2!л! =ф .,! 22),л, ~/ .— 12 Л/)) 1! Р ~22 ! — !!2Ф )л-';..,) Рч~л .
!2 2 Пусть Фр — среднее значение и-й степени Фр, т. е. ! 2а 1 ) Флрарае 0 л ! 2л ) ~2 раряз а л ! 22 — — Фербр ре. 2 (2!г ) ) ряраб н, следовательно, (22) гринимает вид 1(Р) Рз 1 — ( ~~ ) (!угря)2. (24) Отсюда сле!!ует, что в случае малых аберрации значение нормированной интенсивности в центре опорной сферы зблнзп фокуса ие зависит от природы аберраций и отличается от еаинппы, 2юотзетствуюшгй Идеальному счуиаю, На величину, пропорционзльн) ю среднеквадрат22чиой деформации волнового фронта. Если считать аберрации настолько малыми, что в (20) можно пренебречь третьей и более высокоп степенями 12ФР, то выражение „еля интенсивности в точке Р можно представить в форме 1(Р) = ~1+(йФР— +й Ф,1 =1 — ®*(Ф; — (Ф„) ~.
(22) Величина в скобках в правой части (22) является «среднеквадратичной деформацией» (ЬФР волнового фронта, г. е, ! 2а 1ФР— Фр)'я|!РаЗ ! 2л =ФА-(ФР), (23) елзложвние пункции лввеелцин $9. 2) нм )чей (Р)=у„л ~ — „,( )((и) з (п 1) з Р (4г 2 илн е Нормировка выбрана так, чтобы прн нсех возможных значениях л и гл 2„.=м (1) =- !.
(6) Радиальные полинпмы имеют образующую фуикциео (!-~-е — !~! — 2е(! — Яре!..«е]п ч е *т —:,. З%ю. м !Р) (7) (яер) !' ! — зе !1 — З е! Рее При гл =О правая часть (7) превращается в образующую функцию полнномов Лежандра '*) от аргумента 2р' — 1, т. е. )7е1(р) =Рп(2! 1). (8) В табл. 9.1 приведены в паном виде радиальные полиномы для нескольких первых значений индексов. (5) ') Термин «попнпп система» означает, что люба», дестлточно гладкая й!унпцнн рпэдпгпетс е и рпд по фунчпням данной системы. более точное определенно етого термине приводится например, и книге !22!.
'*) См., ннпрнмср, !221. 9 9.2. Разложение функции аберрации 9.2.1. Круговые полиномы Цернике. При изучении зффектоп аберраций в рамках геометрической оптики (см. гл. 5)мы разлагали функцию аберраций Ф в степенной ряд. Здесь же, поскольку интегрирование производится по единичному кругу, удобнее разлагать Ф по по !ной системе полииомов, ортогонал!ных внугри единичного круга *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
