Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 108
Текст из файла (страница 108)
8 41 показано семейство кривых й(и, о), рассчитанных по этим формулам. В изпесп нам смысле эти кривые можно считать аналогами лучей и геометрической оптике уб -бд -у!1 — уд -уд (Г 1П Ди Лг зсз и а Рис 8 41 Семейства кривых С(и, о), панззыввюших часть псиной знергии, поаздзюшсн внутрь небольшага хружзз с венгром нз аси в выбрзиной опасности изобрзжсиии и =салех 1981 е(гр 1Р х)йб Следовательно, выражение лг в(и)=у,(и)сози+у,(и)шпи (40) г .1 б в ж р ур, даетчастьполиой'яергии попадчющуюз — и — и лр геометрическую тень, и плоскости и =. Рис 842 чзшь с(и) от полное веер- = со1ш! Графгек ф)икание(и) прхиведсхг на гии, орзюдишейся нз облзсп„ззнг- рис 8 42, она ) меньшается не монотонмземую геометричесиой тенью !981 жу, а имеет макснмумьг (кроме и = 0) при з',(и) = 0 и мнним)мы при мни = 0(ать О). 8.8.4.
Фазовые сеотношснни. Рассмсхтрпм, наконец, поведение фазы возмущения и области близ фокуса Согласно (12) н (13) фаза (не считая алдигиапого члена ( — шй) определяется аыраженаем "1 ~р(и, о)-(11а)хи — К(и, о) — и12 (гпос12п), (41) где 3 гйпК= ~=УС 3 ь сову —— У Си'4 зп (42) В (42) квадратный корень берется со знаком плюс, ') Символ глоб 2п спрввв аг уравнения означает, чта ате чисти уравнения определены с точностью до вдиитнвной постоянной 2 шп, где ш — целее число. Следует отметить, что н частном случае, когда плоскость чзображения соападаег с фокальнои плоскостью (и = О), соотношение (35а) принимает нид !.(О, о) =- 1 — Я, (о) = ! †.Уз,(о) — Х, *(о), (38) еиб что находится з согласии с формулой Раб л) лся (8 5 18) Особый интерес представляет гчучай, х)У когда кружок, по которому берегся иптег( ).
'ад 1 ческого конуса лучей Тогда ! о,'и ! — — 1, суй ряды н (35а) и (33б1 можно просуммиро- рю вать, и ыы получим !93! фг !.(и, и)=1 — з',(и)сози —,l,(и)шпи. (39) % 8.81 ТРЕХМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕННЕ СВЕТА ЕЕЛИЗН ФОКУСА 405 (44) аглаанма ага»»алла»! ~!!~/~~!П вг аг гг гв эу гг гг гг гв гг гг гг'гвгггвгвжпг Раап»ааааа а ге»ма лага Р»с. Едэ. Прифелн с»»фа»них На»ар»аост»я Р (л, и)=сон»Г »зла»» геометр» вского факу. са 1961 (еп, Фам Фа уаа л»» а*а аа -л!з.
а гл» «у Фар»алл р»»»а "лге. со сферическими волновыми фронтами геометрической оптики, но все сильнее и сильнее деформируаотся по мере приближенна к фокальной области. П непосредственной близости от геометрической фекальной плоскости они показаны на рнс. 8»4. Как лам видим, вблизи фокуса синфазные поверхностн достаточно плоски, ио распо.южены в 1 — а»141"а раз далыпе, чем эта было бы в параллельном пучке света с такой же длиной волны.
Более того, на каждой гинфазной поверхносги интенсивность непостоянна (см. рис. 8.39). В непосредственной близости к телшым кольцам Зйрн (обозначенным иа рис. 8.44 через агг и У(а) поведение синфазных поверхностей более сложно. При перемещении точки наблюдения в иаправлевни и от геометрического фокуса фаза остаегся постоянной в промежутке мсжд) любыми двум» соседннмп темными кольцамн, но прн пересечении каждого колы!а внезапно изменяется на п.
Справедливость последнего Заметим, что, в отличие от распределения интенсивности, распределение фаз нельзя выразить только через и и и, так как оно нмсст структуру, зависящую от угловой апертуры гсолгетрического пучка лучей. Лалге ьажлая <ветвь» чногозначнон функции ар(и, а) непрерывна по и и и во всех ~очках, где интенсивность не исчезаюпге мала, а в точках с нулевой интенсивностью она неопределенна. В фикусе, где и †. и =- О, одно из ее значений равно — п(2.
Синфазныс повсрхности (поверхностгь гле ч -= соп»Ц — это, конечно, поверхности врапгения относительно осн и.. Покажем, что такие поверхности обладают еще и другой симметрией, определяемой соотношением ф( и и)+ф(а, и)= — и (гпоб2м). (43) Из (14) имеем: С( — и, и)=С(и, и), 8( — и, и)= — 8(и, и). Тогда вз (43) следует, что сову( — и, и)==сазу(м, и), з!пу( — и, и)= — з|п)((и, о), (45) а из уравнения (42) с учетом (43) и (45) находам соа [ф( — и, и)+ф(и, и)) =соз [ 1!( — и, о)+у(м, о) — п[= = — соз [у( — и, о) —;у(и, и)] = = — соз у.( — и, и) соз Х(и, о)+з1п2! — и, и) зйту (и, и) = =' — сиза)((и, и) — з!пау(и, и)= — 1.
(46) Следовательно, «зеркальное изображение» плоскостью и — —: О любой сипфазной повеРхпостн аг = фа также ЯвлЯетсЯ сннфазной повеРхностью ф = — п — фа. На рис. 8.43 показаны профили синфазных поверхностей голаопентрического пучка лучей с !12. Вдали от фокуса сиифазные поверхности совпадают (ги. 8 элементы теории киорккщщ утверждения вытекает нз выражения (24) для комплексного возмущения в геометрической фокальной плоскости, т. е.
(42) Так как последнее выражение чисто (г'(О, а) может равняться только — нг2 г)а ж яеуу мнимое при всех значениях а, то фаза или +я'2(юоб 2н), н поскольку ее знак изменяется при перссеченнн каж. дага темного кольна, то фаза изменяется па я скачком, '!'алой же скачок наблюдается и прн переходе через каждую осевую тачку с нулевой интенсивностью. Интересно также рассмотреть изменение фазы полл врн ,глижении точки наблгодеяни вдоль каждого луча, проходящего через фокус. Зга удобно сделатгч сравнивая такие изменения с изменениями фазы сфернпеской волны, сходящейся в фокус в полупространсгве з(0 я расходящейся затем в полупространстве з .О. Припяв фазу гр этой волны сравнения в фак)те зз нуль, получим гр(и, а) = — М, если ие 0,1 гр(и, а)= — +й)г, если и)О,) (48) где, как и раньще, )р =- = — ) ' хэ-)р ра —, зг) 0 — расстояние между точкой ггаблюдендя и фокусом.
Разность б(и, а) =-гр(и, а) — гр(и, о) (49) называется аномалией фазы Из (43), (48) и (49) следует, что у яг, Ь( — и, а)-рб(и, а)— -У-б-4 -,У-Е-у д у д У 4 Г д ~ ...— я (тоб2н), (50) рие. З.Ы. Про«рили егги(гвэпих поверхностей в пепоереиегпеииов Е.гиэоегп от геоагегриееегго!гаоггаль- тараи как в Салгом фок).се иоа иэгоекосги го опеки иие к го пупка е у'зд (зт!' 6(0, О) = (О 0) =- Он, и аа,-раиау и ермгои второго гении «омв вери и — — — (щаг! оуг) ('э! ) 2 генояалия фазы вдоль выбранных лучей ггогоаегпрического пучка с угб,а, проходящих через фокус, показана на рнс.
8,48 Как видно на рисунке, при прохождении через фокус вдоль любого луча, кроме аксиальнаго, б испытывает быстрое, но негрсрывное изменение на и. Зтому эффекту, наблюдавшемуся много лет тому назад г уи (98), были посвя- 407 4 8.9) РРАННЧНАН аиеРАГНРОВАВН!Ая ВОЛНА шены многочисленные исследояапня (обзор литературы приведен и (97), ссьшки на более поздние исследонания моги<<о найти и (87)). Вдоль осн, однако, аНОМалия фазы ведет соби особым Образом, опа изменяется периодически аг 0 до — и. Рассматривая асимптотическое ггриблнжение интеграла Гюйгенса — Френеля прп больших й (коротких длинах волн), нетрудно показать, что фаза скачком меняется на я<2, когда спет проход<и чсрсз каждый из двух глапяых пентрон кринизны соотнетстнукицях волновых фрон~он ! !2, 82!.
Разобранный выше рве 8.45. Аиочелии фввм 5 вдоль геометрическим лучей, ороходяыих через фокус гомоцеитричесиого итоге с (с й5 (87!. В-уг и е у св случай соотнетстпует особому положению, когда оба центра кринизиы соппадают. Поэтов<у изменеяие фазы па половину периода соотнетстпуег решению я рамках геометрической оптики (обсуждепие этого вопроса см. я (98)). Ни рис. 8.48 показано, как разрывы н гсол<етрнчсской <я<тике преврашаются я гепрсрынныс переходы, сслн учи гыиается конечность длин волн.
!)аконец, сошлел<ся ия статью Фариела (99), я которой описано экспериментальное исследование структуры распрелелепия фазы н области фокуса линзы. Это исслелоииние, проведенное я л<икрояолнонам диапазоне, дало очень хорошее совпадение с прелсказаниями теории. й 8.9. Граничная дифрагироааяшая волна Если рассматривать край дифракционного отнсрстия (или препятстпия из точек, лгжашнх внутри геометрической тонн), то ои кажется снетяшимся.
Это было нзнестио ужс (Оигу ((00), пытяюигмуся еще до Френеля теоретически обь. яснить дифрак«пк<, исходя нз волновой теории. Ю<гг полагал, что падаюгции свет испытывает род отражения ца краю дифрагирующсго тела и рассматривал дифракционную картину как результат иигсрфсрсицин падающей яолш< и 408 [гл. 8 эхеипнты тяогии пиве»кина отраженной «граничной волныь. Однако представления Юнга были выражены талька качественно и пе получили широкого признания. Наличие элементов истины в теории Юнга стало очевидным только после того, как Зоммерфсльл иолучип в 1894 г.
стратас рсшсннс задачи о дифракшш плоских волн на плоском палубсскан(чном отражающем экране (см. 9 1!.5)„ Это решение покззывзег, что в геометрической тени свет распространястсп в виде цилиндрической волны, которая кажется исходящей от края экрана, тогда как в освещенной области она предсгпзляется суперпозицией цилиндрической и исходной падающей волн. Возникает вопрос, можно ли и в более общем случае объяснить дифракцию как совиеспюе действие падающей и граничной волн. Зтот вопрос был исследован Магги [1011 до появчения рабаты Зоммерфельда. Но его результаты, Ргг злб. К вывою еыркженнн пл» граникнои кифрвгировявшей воины по-видимому, были забыты *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
