Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Рассмотрим. теперь днфракцню Фрснсля на Рнс. 8.88. Спираль Корню. полубесконечной п.им копти, ограниченной острыль прялюлпнейаым краем. Это особенно вамгно для выяснения поведения поля вблизи границы геометрической тени. Огравячнмся толька случаем, когда линия Рьр, а также ее п!заекция (здесь ось х) на палупласкасть нерпенднкьлярна ь!)аю (рнс. 8.38). Если А' — расстояние иг края полуплоскастя до начала координат (которое лежит па линии Р,Р), то интегрирование производится по об. ласти — со<0<)(, — по<0<со, илн, переходя к переменным и и о— — оо<и<ьв, — оо<О<оо, (22) гле Гх '! (23) Точка наблюдения Р в зависимости от того, положительно лн Л или отрицательно, лежит либо в освещенной области, либо в области геометрической тени.
Дифракцнонные интегралы (9) принимают тогда вид С=Ь ~ ь(н ) Йу (соь( — и )саз( — оь) ь!п( лт)зМп( —,пь)ь~ (24) Я =- Ь ) '! ь(з ~з!п ( — и') сок( — о') + сов ( — „, и ) з|п ( — 'о ) ~, ь(и [гл. 8 злхмхнты ткогни лневвкцкьь Здесь нарушено условие, принятое при выводе (9), а именно условие, требуюшее, чтобы линейные размеры области интегрирования бьшн малы по сравнению с расстояниями Р»О и ОР.
По»ш«ьу для обоснованна приближенной прим«нимости этих формул и в данном случае необходимо более тщательное обсуждение остаточных членов. Однако сейчас мы не будем заниматься этяч вопросом, так как в дальнейшеч днфракация нв полуплоскости будет разбираться более строгнмп четодами (см. 4!1.5). '//ю( Рнс. 836.
Клвррлкюпь Фрелелнвз прнвплннсвнов крее. Рве. 8 37 Рзспрелелсвпе пптенсввпасп в кертвне хнфрвкюп' Фрепьлт вз првььолььп ннов крл . Из соотношений (18) н (19) имеем о ') сов( —;ть) ь(т= ') + ~ =К(со)+'ь (ш) = — +Ж(ш), ~ в 1 "Я"~"-' н аналогично 1 ')-- юп — тв 1 ь(т -: —, +,7(ш), ) з)п ( —., т» ) т(т = 1. р . /н 126) Следовательно, (24) принимает вид с-ь((-,'екь ь) — 1« ь ь)), ) )~2 ( )+~2+ ( )(1(' и подстановка в (4] дает окончательно выражение для интенсивности /=Ц[-,'+2((ш)~*+ $+, (ш)Д/и, (28) (27) где (29) Поведение функции интенсивности (28) можно установить, исследуя спираль Корню.
Как мы видим, величина 21/Рв' равняется квадрату расстояния 1 1Х от точки ш спирали Корню до «асимптотической» точки Р 2' 2)' Таким образом, если точка ваблюдення находится в освещенной области (ьв)0), то 1/1"' осциллнрует с амплгпудой, умсньпьаюшейся яо л«ере >величення расстояния от края тени и, как это следует ожидать на основании геометрической оптики, аснмптотнчески приближается к единице, Интенсивность максимальна не на границе геометрической тени, а на некотором расстоянии 3 8.81 тгкхмегиое ехспгвдвлеиие светл ввлизя оокгсл 397 ат нее в освсшенной области (рис.
8.37). На границе теин (ш О) имеем 7/Рм= ==- 1Рй В области тени Лра мояатанно уменьшается да нуля. Эти выводы хорошо согласуются с экспернменталы(ымн результатами. ч 8.8. Трехмерное распределение света вблизи фокуса В п. 8 3 3 бььто показано, что распределепиесветап фокалыюй плоскости хорошо коррсгправанная лпнзхн обусловлено на существу с(ифрак~о!сй Фраунгафера на ее оправе. В 98 б бы ш подробно изучены картины дифракцнн Фраунгафера от отверстий различных форм.
Пля того чтобы получпть более точное представление о структуре оптнчгскаго нзображснил, следует изучить распределение свето яе только в геометрической фокальной плоскости, но и вг>лизлг зтай плоскости. Прсдставзение о трехмерном (Френель) распределения свюв вблнзп фокуса имеет особенно важное значение для оценки величины допуска в требуемом положении плоскости изображения систем, формнруюшнх нзображеннс.
Особенности знсфакальных лланс~хроизтн каких нзабрзженнй тансен~но источника, полученных с папашью круглого отверстия, были впервые подробно рассмотрены в классическом труде Ламмеля ') [761. Пользуясь интегралом)йайгенса — Френеля сну удалось представить комплексное вазмушснис в виде схадящлгася ряда функций Бесселя, а также экспериментально подтвердить явления, предок;манные на основании этих расчетов. Почти одновременно с Ломмелем Струве [781 опубликовал подобное, хотя и пенсе исчерпывающее исследование, посзяшенное днфракции на круглом отверстии.
Он не получил таких подробных чпс.я нных решений, но дал полшяый метод приближенного расчета интенсивности вблизи границы геометрической тени, где ряды сходятся довольно медленно. Несколькими гадами позже 1Нварпшильд [791 вывел асимптотическое приближение для точек наблюдения, находяшнхся на расстоянии многих длин волн аг фокуса. Исследования Лалшеля и Струве не привлекли особого внимания, и в 1909 г. эта задача снова была люследована Лебаем [801.
Лебай установвл определенные обжив особешюстн дифракциошюго поля и вблизи и вдали от фокуса. Сравнительно недавно исследования псрсчисленаых выше авторов были расширекы н бьшя опубликованы диаграммы, показывающие подробную структуру поля в этой комплексной области. Результаты проведенных исошедовзний получили широкое экспериментальное подтверждение как в оптическом, так и в микроволновом ('ороткие радиоволны) диапазонах. Рассма~рпвав распределение света вблизи фок)сз, мы будем основываться на исследованиях Лочмеля н Струве, но для удобства и наглядности нзчнем с интегрального представления поля в вндс, предложенном Дсбаем.
8.8.(. Вычисление дифракцнаннага интеграла я функциях Ламмеош. Ряссмогрилх сферическую монолроллатическукз волну, выходящую из круглого отверстия н сходяшуюся в осевон фокзльпои точке О. Рассмотрим вслзмущенл|е О(Р) в произвольной то1ке Р близ О.
Г!оложенис точки Р агнаситгльна О апрсделяелся вектором В. Предполагается, что расстояние )7 == ОР н радиус а0ьд) от перстня малы па сраяненинз г радиусам ) = СО залпового фронта %7, который в какоя-то момент чапачияет эта отверстие (рис. 8.38). Обозначим через з расстояние от точки наблюдения Р до точки Я на [г, а через А(7' — амплитуду и точке (3 падаюшсй волны; тогда, применяя принцип Гюагенса — Френеля, получим В(Р) ( Аехр( — П[) ['('охрбдз)33 *) Бохсо гозхзяя статья [771 касается дяфрзкяни яа жоха, за непрозрачной полоске я яряколияейзоя крае, (гл 8 влгмаиты тгопааи Лиопакнии (4) аиаи'ди лг рп» а ЗВ К Лпфраюапп па аруглои оапсрсаии схоЛпюсаасп оыаап'асспои Возик а а )>)а оа(а а (1 «р 2 Сааедовательио лг-а Ш1-а а„ара соп ( — >Р) (1 1 папа + (у) *) сага опипссстпуст ирсдстаилсиию поля чсрса так иааыоасиый угловой спектр плоских испи (си .
п. 1 1.4 2), Поскольку рассматриваются лишь небольшие углы падения, вариапии коэффициента наклона по волновому фроьту прснсбре>кимо »галы Обозначая через ц единичный вектор в направлении 00, находим с хорошим приблшьспием — й= — п.й. Далее элемент й5 волнового фронта равняется >Ж =- г'а с(1), (3) где г(П вЂ” >ла мсит тслссного угла, под коз прьам а(5 виден из то'аки О Без заметнои ошибки лаожно заменить в аньаасньтеле подыитсгрального выражения и иа-у, и тогда уравнение (1) запишется в виде О (Р) =- — А ) ) сх р (- -ада к ] а(П>. и Теперь интегрирование производится по всему телесному углу (), под которым отверстие видно из фокуса Уравнение (4) представляет собон Р ааншегрол г(сбоя и выражает поле р как результат супсрпозицни плол' ски.
волн, распространяющим в во всех направлениях (огареьсгп ляемых векторами д), попадав>- я П1ИХ В Я. Перед тем как вычислять кн- 1 теграл Лебая, отметила нигере»- >угпглоя>а пос обстоятельство, буд) чн озимойй элементарных рсшсяпй(п.аоских волн), он представляет строгое решение волнового уравнения и в предельном случае со (отверстие на бссьонсч. ном расстоянии) справедливо во всем пространстве. Конечно, (4) неламя считать строгим решением нашей нсходиоп задачи, так кап здесь не >члена природа экрана, а точные граничные условна аппроксимируются граничными условпямя дпфракпионпой теория Кяпхгофа. Точное решение пашен задачи должно содср,кать пе только вклады от плоских волн, распространяюшвхся в направлении пидак>щпх геагьетрнческ аа лачей, но и вклады от волн, распространяющихся во всех возможных направлениях').
Однако при выполненкв упомянутых выше условии ()»а:>и, )~) Я) зпачительвытолько вклады от волн, учтенных в уравнении (4). Для вычислении (4) представим подынтегральное выражение в более явном виде Примем за начало декартовых координат точку О и за ось г — линию Ог. Пусть (и, у, г) — координаты точки Р, а (в, а)„ь) — координаты точки О.
Полок.им, «роме того, что в=арз(пй, а)=арсозй, х=г»йпф, у=гсозф. (5) Так как точка 1) лежит на сферическом волновом фронте йт, имеем в 8.81 ТРЕХМЕРИОЕ РАСПРЕДЕЛЕКИЕ СВЕТА ВВЛНЗН ФОКУСА 599 (1О) Поэтому (4) принимает внд (7 (Р) =. ! Ех 17 елр !(! ( а ) л~ !) !) ВАР 1 ! ! 1ОР с! з (8 — гр) + о МР 1 ) Рн!Р !70. о о Интеграл по 8 Агы уже встречзлн, рассматривая днфракцню гррзунгофера нл кругчом отперстин (см.
и. 8.5.2). Он равен 2л,),(ор), где lс(о!г) — функция Боссе.!я нулевого порядка. Следовательно, последнее соотношение можно записать как ! ('(Р)= — —;)Т-скр(1( —,) м~ ~УР(ор)екр( — З гмр')Рс(Р. о 1эассмотрим по отдельности вещественную и мнимую части интеграла. Положим, что 2 ) ое(ор) ехр ( — — гире) рс)Р=С(и, о) — гй(и, р), ! (13) где ! С(м, е) =2 ~ о',(ор) сои ( — ирх) рс)р, о ! ! р / ! Я(и, о) 2 ~ и'! (Ор) юп !т э ире ) р г(р, Эги интегралы можно вычислить в фрлкниях Ложмг!я и,у,, !- т ! — о" (-')"" !.„, !,!, '~ !Гх(М, Е) = Рт ( — !)'( — ")н'",/„.„(Н), =о (14) (8) введенных им длн этой цели '). Используя соотношенве [8.5.11) — [х"" г)х!! (х)) = х" егУ!!(х), ') Полное сосужкенне огих !Рункииа иринонитсн е 178, 771, а также и книгах !75, 81, 851.
Полезно на этом этапе ввести безразмерные неременные и н о, которые вместе с «р определяют положение р, а именно и= — ( — ) е, и= —, ~ — ) г=-- — )7 хе+ух, (8) Заь!етвм, что точка Р лежит в прямом пучке света или в геометрической тени, смотря по тому, будет лн )о7и 1-т 1. Из (7) н (8) следует, что если членыс р/1 в степени, превышающей вторую, пренебрежимо малы по сравнению с единицей, то ! йй Й=орсоз(0 — тр) ! — ! и+ — ир'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
