Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 107
Текст из файла (страница 107)
(9) Кроме того, элемент телесного угла равен с)1) =- — ' =.— ад еср лр зо Г' злемзкты тваеия лиеелкцвн (гл. 8 можно записать С(и, о) после интегрирования па частям в виде С(и, а) = — „— [р)л(ар)] саэ(лу! ир!) л(а=в 2С! Г ! -! == — ~ У! (а) сов!/! и+и ) рл)л(ер) э|п(л)лир!) Фр ~. (16) ! Используя опять соатноше)(не (8.5.1 |), интегрируя по частям и продолжая этот пронесс, получпм +"'".,',„'*"'~( — „") 2.() — ( — „") 2.(.)+...1= $$$|р,и) (7 (и ) $|п(л/,и) $1,$ ! ')ли (17б) С(и, о)= — „э|п — р, „' )гл(и, о) — —,' 1',(и, а). 2 .
$' $!и (!)! $) саэ (9, «) Аналогичны!! образом получим для другого интеграла выражение 5(и, а) == — соэ — — 1'$(и, а) — ' 1' (и, о). 2 $! соэ (л)ли) ! иа |!)$$) $ "2$ !),и ', йчи (205) Таким же способом вайлем саэ('/ и) Эти формулы справедливы во всех тачках близ факлса, но удобны аля вы- числений, только если |и)о )( |, т, е.
когда гочка наблюдения лежит в геомет- ричсскои тена. При |ига |) 1, т. е. когда точка иабщолсиия находится в осве- щенной области, более целесообразна применю ь разложения, содержащие положительные степени о)и. Их можно вывести ааалогичным способом с по- мощью интегрирования по частям относительно тригонометрического члена. Первый этап диет ! С (и, а):.
— ~ /„(ер) „— [э|и(л/, ир!)] )(р = $ Г ! ! = — ~ /л(а) э|а!/ли — а ~ l, (ор)э|п(л)! ирл) р)(р (: (18) д здесь использовано соотношение (8.5.15) — [х "/„(х)] = — х "l„! (х). Снова интегрируя по частям и используя последнее соотношение совместна с ха- рашо известкой формулой (которая выводится из разложщшя в ряд,)„(х)) 2„|х) 1 (19) получим — ";,',„'*"' [( — ".) 2,(а) — ®'2.(и)+".~+ Ряд, иаписаняый в первых двух строчках, содержит две функпип ))ол)метя рч, э гретъя стра ща представляет собой разла кениг в ряд э|п (о82и). Следова- тельно, (20а) 8 8.8] тгккмггнпкггхспгсякление светя ввпнзи воктсь 401 У(п, о) = Я) [У*,(и, с)+(уз(и, и)] уь (2!а) У(п, и) = ! — ! 11+)г,'(и, о)+)г,'(и, р) — 2)7,(п, и) созе х/я (ггч- — ) !— — 21',(и, р)81пу х/, (и+"-~~ Уь, (21б) где ~тгпяя1 я (22) — интенсивность в геометрическом фокусе и = о =- О. Из (!5) следует, что Ух( — и, и)= — (ух(и, о), (ух( — и, о)=(уя(и, о), )7,( — п, о) =у„(и, ь), 1', ( — п, и) = — 1', (и, о) Такны образом, l(гх, и) остается игпзмеяиой при заыене и на — и.
Значит, близ фкуса рпспргдсягнпг гпсптгпспеноспги симисгпричпо оп!посыл!с!ело геометрической фокпльной пласкпсгпп. Ко!!очно, распределение интсяспвпостн симметрично также и относительно оси о.=О. По формухам (2!) Лоымель рассчитал распределение интенсивности для ряда выбранных плоскостей, находящихся вблизи фокуса; он экспериментально подтвердил также яскоторыс свои расчеты *).
Линии равной интенсивности (нлзызаепью пж(!хзппьгггг! вблизи фокуса, построеяиые по данных! Лопыеля, приведены *") на;зис. 8.39. Особый и!перес предо~валяет «трубчатаяз структура светлой центральной части дпфракпионпого пзооражсюш, хорошо заметная нз рисунке; ее существование 1юсгхлпропалось на основании зкспсрныснтальных данпьг, еще з 1894 г. Тейлором !92!. Иыгпно этой с~р) ктурой изображения опрсделяегсн допуск в положении плоскостн изобра>гсейвя в системах, формирующих нзобралсеиие. 11иже рассматриваются несколько интересных частных случаев. а. Опглепсяснгзгпгь и все.нстрпчегкой фока н ной гг хоскостпп. Для точек, лежащих в геометрической фокальной плоскости, и — О, и уравнение (2!8) приводится к )(О р) =4йщ)ы'("' ")+87'( ' ')~ «-о ( и (23) Из уравнений, определяющих функции (/я, следует, что О,П !7, !и, с)1 .7,(с), !Ип(о,(п, с) я ь( и 1 с ь( и (24) позтоиу ~ тухп(Щ)1 (25) ! Г хсяппг экгггримснтьг опискин твкже в 188 8«1 янзлогичиые опыты миьровоя изми изяыкгны в гзз! хяя отверстия круглой формы в в 188) — яхя прсмпугохьксг ствсрстиз "'! похожие, го м н с яств.
иыс гряфикн апуоязьоввны и !871 Онп воспрпизвсхсяы в некоторых ыыгзх с сыяохгсяи (пспрзвильвос псясжьиис гси кяри ге кс!г тсяв я с рспутхвяыь оси! Дру пй звп графиты, по су1 естяя .патвеясгвуюгпин ряс 8 89, привело г Пспнпхс и Ниж. щрся я !891 Они ггхохили нз хояюго, но зьяияячгнтнагс рсззся спея (см (94 !99 яяфзвкгхисчпсго ннтсгряхя !'Сзфикн, ряссчнтзнпыс на основе злсктрсьыгяях юи тгпэин и закязыввюегие рзспрс гясияс зкюрячсское энергии в псгокь ьсргпи, ппяпеяены в !89с!. Д зло чпыс ялырю ми яля «о и попого отверстия опусявковяны Лпнфутом и вольфом !991 Нсксгорш приз ььс.п я гссжзсвяяю* Лоыьылн к дифрвкпин вв системс ко«пентрических к~ьпссгрязных отверстий приведены в 19!1.
26 м. ь яь, з в я Е Зтим завершается формальное решение йапгей задачи. Лалее мы обсудим некоторые выводы пз него. 8.8.2. Распределение интенсивности. Согласно (!2), (!3)„П7) и (20) интенсивность ( =-1(У Р близ фокуса определяется двумя эквивалентными выражениями, а именно ЗЛЕИВИТМ ТЕОРИИ ДИОРАКЦИИ [гд. 8 402 т л л « Рис. 8.39. Р)уофаты (пипки кпуеискииосуи )(и, а)) и мерпдиоккдьиад плоскости кблвки фокуса скодкщеаси сферииескои каким, дифркгирокиищев ии круглом огтирсуки (ю !87!).
« «и. Нри ер щ«ищ р суки «акру с «)и мумы и«оси е «ыр а ««» и .у и зер . рассмотренной нами в п, 8.5,1 в связи с днфракпвей Фраунгофера на прямоугольном отверстии. ~ервьш нуль интенсивности на асн получается прн и)4 = —. 2ии«ггЦ-'= ~ и, т. е. Иа расстоялгни г = ~)кьг2ик от фокуса. Обычно потеря интенсивности в центральном пятне изобрауксния, дастил ып;иж))л гшащая 20".4, счвгаетси допустимой. Так как [ — '- ) уменьшается и)4 на зту величину при смещении плоскости изображейия от положения и=-0 до полоукения или 3,2, то, следовательно, допуск на положение фональной плоскости л!г равен приоуизительпа Лг:=~829 — ', (!)'= ~ (, [ !')'Л.
(27) Например, при использовании пучка («10((ги = 20) для света с длиной волвы "и= 5 !О ' см зтот допуск составляет около ~0 ог 20« 8 !О ' си = -~01 мм, в. !ум)негусу«вн гть едоль границы, геоигтуичеекой тени. Для точек на границе геометрячсскон тени и -: .л-о. Распределение интенсивности снк мстрнчпо относительна геометрической фокалшшй плоскости, и поэтому, пе теряя общности, можно считать и полажителшгым, Тогда функция ((„сведется к ((, (и, и) = л; ( — 1)' l~~, (и), (/,(и, и) =- Х ( — 1)'к„„(г)). (28) Напомним хорошо известное тождество Якоби (см., например, [25!) соз (и соз В) = о«(и) + 2 ~ ( — !)' к „(и) соз 2кй, « — « 81п (и соз 8) = 2 ~ ( — 1)' ке««л (и) сов (2к+! ) 8.
«ыа (29) Как и следовало ожндатеь мы получили формулу Эйрн (8.5.14) для дифракцин Фраунгафера на круглом отверстии. б. Риснределенав интенгдтногти вдоль оси. Лля точек,' лежащих на аси, о О, и обе функции Усо входящие в выражение (2!б), запишутся в виде У,(и, 0)ь=1, !',(и, О) —.О. Следовательно, у'(О, о)=т[2 — 2соз(к!, и)[уе =-[""(и( )) (, (28) 'Таким образом, интенсивность вдоль оси характеризуется функцией (з!п хлд)к, иулкллеау о гю еок«) ' ~~. === =-,-':,==-Р~~" ч 8.8] трехмерное РАсаределснне сВетА Ванини оекусх 403 Полагая 8 = О, из сраввеаия с (28) находим (/г (и, и) =. 2!е з]п и, (/е (и, и) = '!, [/е (и) — соз и[, и (2!а) сводится к 1 — З!е (н) сон о+ !2 (и) (31) График зтай функпни показан на рис. 8.40.
8.8.3. Сумогарная интенсивность. Представляет интерес определить часть ! от усредненной по времени полной энергии, проходящей через неболывае круглое отверстие заданного радиуса около осенен гочки плоскости и =- сапа( нзобрал|ения. Если (30) Е = пие ! — ] (32) Ла \Т/ — полная энергия, падающая на отверг стне в едиш|цс времена, то искомая часть энергии равняется г с ! (и, о,) =- —.
) ) ! (и, а) гааге]ф= д ! д а 4 р с и о о Рнс. 8.40. Иннененне ннтенсннносгн (33) сдало тронном гсоскгрс|есной тени. Гр фен фг сс „ |'| |=— =-- ) / (и, о) о г]а, г 2!,,) о о,.=- — '( — ) г,, где (34) |=с — '[У, (и, а) соз -, ~22+-) +У,(и, а) Рйп — (гг+"— ,]1, (Збб) где величины О задаются (36), а У| н У, определяются выражениями го т "е'р | го Уо(и,а)=-~( — 1)'(и+2з) ]х — „1 !/Рты(о)= — [-У„г(ира)+иУ„,(и,а)1.
Подставив выражения (21) Лачмеля для интенсивности в (33), можно разложить интеграл в ряд, содержащий функции Бесселя. Так как этн про|и дура гл|шп|ом длинна, мы приведем только окончательный результат, полу'|енвый Вольфа|| ]93]. /Асггегптотггческие приблнжеш|я для /.(и, а) получены Фокке ]94]. Здесь мы снова получим два формальна различных выражения, одно, удобное дтя сычасленнй, когда граница ма.|енькаго круг к|го отверг|на находится в геометрической тени, другое — удобное при расчете, когда это отверстие находится в прямом пучке света. Отбрасывая индекс пуль, т. е написав о вместо а„получим в первом случае (]а/и]) 1) /(, )=1 — ~. —,,',,", ] —,") О..(), (Зба) *=о 2 (а) =- ~ ( — 1) [/р(а)/гг р(о) — , '/рс,(а),!„т, р(о)). (38) р=о Во втором случае (]а/и[~(!) находим (гл 8 404 элементы тсаРин лиФРлк1хии На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
