Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 117
Текст из файла (страница 117)
(1) двэглкциоянля ткогия льве»киля 442 (гл. 9 где (Х„ )г») — декартовы координаты произвольной точки предмета, а 34 поперечное увеличение; в результате численные значения >.оордннат точка предмета и ее паракспального изображения будут одинаковыми "). Оптипсскую снстессу можно охэрактеризанэть с >юыогдьн> функции пра. пускания К(х„уы х„ус), которая определяется как комплексная амплитуда во>иушения (рассчитанного на едпшшу плошади в плоскости (х»>/»)) в тс>чке (хь у,) в плоскости паракснального изображения, обусловленного за>мишею;см с единичной амплпг>дой н нулевой фаж>й з точке предмета Схи у„). Фун~ цня пропускання зазнгит, конечно, и аг длины волны Л, однако эта зависимость учитываться не будет, поскольку мы рассматриваем только мопохроматический свет.
Пусть (/»(х„у») — калшлекснас возмущение в тачке, находящейся в плоскости предмета. Элемент позгрхпогтп, содер клшнй то|ку (х„, уч), вьшынасг вцчс>ушение с((/,(х„у>) = (/»(х„у») К(хь уы л„у,) с(л»с(у» в точке (х„у,) плоскости изображения. Следовагельно, полное возмушение в точке (х„у,) равно (/, (х„у,) = ) ) (/, (х„у„) К(х„у,; хо у,) с(х, с(у„. (2) Бесконечные пределы интегрирования играют чисто формальную роль, поскольку впе сюластя, которая посылает свет в пространство изображений системы, величина (/„К равна чулн>. При рассмотрении точечных источников свойства системы описывались комплексным возушением в плоскости выходного зрачка, которое характеризовалось функцией аберраций и амплитудиыи множ>>течем, причем последний считался пастояию ш в системах с умеренной апертурой.
Функцию пропускания нетрудно выразить через эти величины. ))ля этого рассмотрим сначала соотношение (2) в пределыюм случае, когда ишочпвк становигся точечным, имеет единичную соилу» и нулевую фазу и расположен в точке х,==хч, у,.=у.', т. е. когда (/» (х„у») = Ь (х„— х,') б (у, — у,'], (3) где б — дельта-функция Дирака (см. приложение 4).
Тогда (2) дает (/,(х„у,) =К(х,', у„'; хо у,), (4) т. е. функция пропускання К описывает возмущение от точечного источника, зздавзсиаго (3). Выберем центр опорной сферы Гаусса в точке параксиального изображения х,' =х'„у,' =у',. Пусть 55 — радиус этой сферы, з 55(х» у»' 1* т)) = э 0(х». у» я, т)) (5) — воэмушенне аг тсжсчнога источника (3) в ее произволыюй точке (3, г)), Тогда фз>а функции б равна (с точпостыа до аддитиввого члена л/2) функпьп «берраций Ф сисгемы, а амплитуда 6 счужит марай неоднородности амплитуды волны, формирующей изображение.
Мне>китель ьй в прш>ай части (5) введен для упрашення окончательных формул Согласно принцип) Гюигенса — Френеля возмущение в плоскости изображения свя>апо с возмушепием на опорной сф ре Гаусса формулой (углы днфракцип счатаются малыми) (/> (х„у,) = — — 'Д/5 (х'„у,'; $, т)) — с)йс(г(, (6) где з — расстояние между тачкой (3, »)) на этой сфере и точкой (хь у,) нз плоскости пзраксиального и>абра>кения, а интегрирование проводится по той ччстя ") [хр, д„) э (кь я,) можно считать переиеиэыии Заэдехя, ээеденныиэ в 4 влй есля псаэ жить С»=-С вЂ” П изозелжение пготяженных пгедметоз опорной сферы, которая приблизительно закрывает апертуру. Если н >равнениях (8 8 2] и (8 8 7) гюложить х = х,— х,', у = у, — у,', х = О и ]' = ут', то найдем (х,— к„) 8 >г(Р,— э,)Ч н (7] Из формул (4) — (7) получим К(хе Уе эгм Уь) = — — ~ б(х„у,; ь, э>)ехр( — и![(х,— х,)я+(у,— у,)т)])йяг(т), (8) где б =-.О в тачках ($, т)), находяшнхся вне отверстия.
Это и есть гребу емое соотношение между функцией пропускания К и функцией зри иси 6 сне семы. Поскольку ф>икпию К можно рассматривать кяк возмушгние в точке и:юбражения то ~с !ного источника, та апа (рзсслипризаемзя как ф>икция л„у,) выест резкий максим>м в точке параксиального изображении шш збли,и от нее х, = х„, у, = у, ц быстро спадает, хоти, как правила, немонатонва, с > велнченнсм расстояния до шай точки. В харашо скоррегировацной системе функция К имеет заметную величину лишь в области, размер которой порядка диаметра первого темного кольца н картине Эйри, Как функция координат (х„, у,) К изменяется очень сааба при перемещении тачки па иоверхностн предмета.
Точнее, рабочее поле можно разделать па несколько областеи так, чтобы каждая нз них была больше самой мелков детали, которую система спосг|бна разрешить, причем в каждой из этих областей А величина К является в хорошем прибдиженик функцией вектора отклонения точю! (хо у,) ат точки парзкгиальнаго изображения, но ис зазигнт ат координат самой таньки пзображею|и. Например, в хороша скаррегираванпой системе функции К (х„уы хь у,) описывает с точностью до постоянного множители картину Зйэрн, центр которой находится в точке параксиазьно!а изображении (х„у,).
В этом случае можно написать (9) К(хо Уб хг Ул) =Кл(хэ — лм Уг — Уо). Область А, обладаклшая гакимн снойстпами, называется изогглинитичгскпй !эыиппью системы. Ограничимся рассмотрением предметов, малых по сравнению с изопланатвческая областью э). В этом случае уравнения (2) н (8) можно заменить на (Гг (хл Ул]= ] > (уе (хо Уе)К(хл хэ Уг Уэ) !(хе~уз (2д) п К (хг хэ У1 уэ) ! ~ 6(с..т))ехр] — —,„'[(х,— х„)з+(у,— у,)т)])йййц, (йа) где функция б уже не зависит аг коордянат точки предмета, "! Г!одрпбипе абсумдениеуслпзие, при зпюрых нмапаеаетси сащгаэпезие (н>, >племене е рабате (38]. диегхкссионнхя тьогиа хвкгехний (гл.
9 (1Оа) (1Об) (10в) (1)а» "и«(/, у)= и«(/, Ы)уг(/, Ы). (12) Отсюда следует, что если возмущения в плоскости предмета и в плоскости изобрзн ения представлены в виде суперпозиций пространс-.венных гармоник сссх возможных «пространственных частота К 10 то каждая компонента возмущения в взсбражснин зависит толька от соотаетствуюпссй компоненты я предмезе, и их отношение равна Гл. Таким с1бразом, переход от предмета к кзобразкению эквивалентен действшо лилейного филылри. Более того, сравнение (10в) с (Яа) дает ус()~-, ф=б($,0): 1! 3) т. с, лри кагергнслло,н асггщглии фушсиия частотного ослхлики (называемая также ксс«с/«фссиигнтс«зс лрсссс/с«нинин) /у (/, д) рилли зничгиисо функции зрсс«ки 6 в лили«с "=)«Г(/, т( —.= )с/(у алорнаб сферы Гаусса. Поскольку 6 ранна нулю в точках плоскости с, ть лежащих вне отверстия, амплитуды разложения, которые ссютветствуют частотам, прсвышающим определенное значение, пс пропускаются систечои.
Если отверстие имеет пнд окружности радиуса а, то, оювидно, ам исигудс,с, соответствующие частотам, длн которых )н+у > (,н)', (15) не ироиускзкмся системсис. Чтобы проиллюстрировать зтог результат, рассмотрим одномерный пред«ил, свойства каторога не взмесппатся в направлении х. Пусть Л//« — период, соответствующий частоте у. Тогда из (15) следует, что система мажет пропускать информацию талька о тех спектральных компонентах, для которых с«у» ) л у наа,' (16) где з(пбсжиЯ вЂ” полонина угловой апертуры со стороны изображения, ко- Разложим У„У, и К в интегралы Фурье: (/, (х„у ) = ] ] "'и'„(/, у) ехр ] — 2«и ]/х, +уу,]) с() иу, У,(х„у) = ] ) ."'йс(/, у) ехр ( — 2лс ]/х«+д/сс]]с(/с(у, К(х, у)= ] ) уб(с,у)ехр( — 2лс'(/х+ду]]ас/ссу. Тогда обратное преобразование Фурье дает "йч(/, у)=- ~ ~ У„(х„,у,)ехр(2лс]/х,+уу,]]с(х,;с(/со ."и«(/, у) = ] ] У, (х„у,) ехр (2«и' ]/х«р уу«]] с(х«с/у„ уст(/, д)= ] ] К(х, у)ехр(2«и ]»х+ду]]с(х«(у.
(11в) Согласно уравнению (2а) У, является сверткой 1/, и К; тогда на основании теоремы о свертке!391 получим после обрапюга преобразования Фурье простое соотношение $9.5! изонрлжяиие пРотяжнниьаг пркдмртав Отметим, лта замена (18) нз (19) не обяззтелыю требует, чтобы функаня К удовзлчнорязн полному условию тмаалзнзтччностн (9); достаточно, чтабь. т~ько модуль К удовзстаортз снл, т е, чтобы ва всея аблвстн А, занятой предметам, вынолнялось с хорошей точностью лоопюшенне ! К (хе ре хл, рл)! = ! КА (хл †рл рл)! Исслсдаввнне Дючонте !38! аакззынзет, чта это условне, кзк правила, вывсынч -ся довольно точна в знвчвтезьна большей облзстн нлш каса» аредчетз, лем оарглтлшяглнь «ыа.он~сннлм (31.
Ичедоввтельно, ззмсноа аптнческон гнгтечы лнненным фильтром маз.н нозьзлвзться шаре для неколеревпюга, чслл зля коггрентного освежения. Оздзка дла влллзгдсочя связи функннн чзстлшюго отклика с фтккннсй зрачка системы в ваде относятельно нрогтоа фзрмулы (см.
анже формулу (22)! мы огрзнвчвллся рзссмагреннем аредметов, размеры юморых нвс«мыса малы, по выполняется полное усчавве взонзгнзплчвостн. Соотношснне (19) показывает, что при некогерентпом освещении распределение интенсивности в изображении является сверткой распределения интенсивности о предмете, в кот«рос входит квадрат модуля функции прапугканин Представим зтп функ»гни в виде пнлсгрнлов Фурье(10) и обозначим нх «нросгранстнснныс спектры» чсрсв 2»«,(12 уд тг,(7, у) и,'убг, д). тогда с помолцыо обратного преобразования Фурье получим вместо (11) соотношения 2ге(7 У)= ) ) 7»(хл Ул)ехр(йпл(?хл+Ууе))бхлг(уз (20а) ул (7", у) = ) ) ?л (х„ул) ехр (2п( ()хл -1-уул) ) г(хл г)у„ .2(7, д) ~ ) !гл(х, у)(лехр(2п1 1)х+УУ))г(хбу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
