Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 120
Текст из файла (страница 120)
такие, для которых сумма степеней величин, характеризующих поле, больше двух. Однако до сих пор подобные корреляпиоииые функции практически не использовались. Когда свет излучается ыпзпоыы источи«нам, нзпрнлмр рзсквлснп ш зещеспюч нпи газовым рвзоялам, чы машел> предполои нть, что совместное рзспревезекие героя п>ас>еи взя поля в а просгаянственпо-вревжннеж точквл с ворошим нрзб.гижсянсм бчлсг гзуссавыч. Кзк карашо ьзвесгио (г», нзгричср, [18)), такие р шрсцсзс>гнв по.щосгью определяются коррова цяавнь ми Функциечн егорша порядке Это азиз ~зе-, чта Ипя гнет > от тепзоы>го исто и >гкз всв «арр зякжйяме фтнкцви более выгокаш парнике ыажяо вырззить через каррепвцнощ>ые фл > кави в~араго порядке. Овнзка для света нетеплавык источников, например лазера, последнее неспрзведлвво Ряз .фф лтов когезсктносги завсе высокого порядке н соо>пежтвуюшве корреляционные функции кратко овссмгпрееь в реботая [19, 20[ (сч также работу Вглт>*фз ([21), стр.
29), где проведен* сяс-с г, тпчсскзя кззсспфнкзция зффоктав непер и»ности). Гпзубср 122) явен знззагн >ные квантовом«лвкн >вские корреляционные функции, а Судвршвн (22) рве«ватаев связь между классическим и квантовым аписзниялш (см также [24), гве совершится обзор»ффекгов когерентнасти второ> а и более высокого нарядкоп). Теория частичной когерентности привлекательна тем, что она оперирует с величинами )а именно с корреляционными функциями и с усредненными по врсменя интенсивностями), которые в принципе можно определить нз эксперимента. В этом она является полной противоположностью элементарной оптической волновой теории, где из за очень большой частоты опт и чсск их колебзний пспонную величина невозможно измеркть. В настоящей главе мы блдем исследовать свойства частнчво когерентных волновых полей и прони>>острируем результаты рядом примспов, представляю>них практический интерес, Мы коснемся лшпь случая гас~ оного поля, но наги анализ г одится и для других пш1ей.
В частности. полобный подход лто>кет использоваться в связи с корреляционной методикой, применяел>ои для изучеяия радиозвезд [26) и для >юследовання ионосферы с помощью радиоволн 1261. зйнтематичеслни аппарат. ис>юльзуемый при рассмотрении частичной когсрсптпостя, применим также для анализа частичной поляризации. Здесь мы коснемся явлений, которые можно интерпретировать через корреляцию между оргогональпыми компонснтамп электромагнитных векторов поля. Первые исследования в этом направлении проведены Дж. Дж.
Отаксом 1271 (см. также [281). Современные теории, в кшорых прнменякпск цонитни корреляционных функций и корреляпяопных матриц, развиты глаиным образом Винером 129, 30[, Перреном 1311, Вольфом 116, 32, 331 и Папхаритиамоьт [34). Эта проблема будет рассмотрена в заключительном разделе (см. 8 10.8) настояпгей главы *"). ) Точнее, от источников, создзющик стационарное поле. огредезенисе ниже, нн стр 480.
*") Новые ранчо теш, относящиеся к чвстичиаа когерсптпастн, изложены в 189", 90»1 (см. также [91' — 98*)). (Прин. перез.) иитзгяжгкнция и лнзгхкцив чястичио когегвнтного свзгх [гл. !О 454 й 10.2. Комплексное представление вещественных полихроматическнх полей Изучая монахромзгычсские вояыовые поля, ыы установили, что полезно рассматрявать каждую иешесгвснную волновую функцию как вещественную часгь соответствующей комплексной волновой функции. В настояШей главе мы займемся пал ихроматическнми (т. е, немонохроматическими) полями.
Здесь также полезно использовать комплексное представление, которое можно считать естегтзснным обобшением представления, применявшегося для монохраматическил полей. Пусть )и" (Е) ( — оо Е =ха) — вещественное возмущение, например декартова компонента электрического вектора, в фиксированной точке пространства. Предположим, что Рн (Е) квадратично интсгрируема.
Его можно выразить в виде интеграла Фурье рн' (Е) = ~ а (») соз [д (») — 2н»Е[ еЕ». з Свяжем с Гчн комплексную функцию !' (Е) = ) и (») ехр [е' [ьр (») — 2я»Е[) еЕ». (2) а Тогда имеем [е (Е) = Уо'(Е) †' Ефна (Е) где )н" (Е] ~ а(») 31п [ф(») — 2п»Е[ е[», (4) Функции !нб(е) и [е(е) адаазначно определяются функцией ряа(е), поскольку ) Ш'(Е) получаеггя из 1"н(Е) при замене фазы ф(») каждой фурье-компоненты на ф(») — пе2.
Интегралы (1) и (4) называкгг санряхсеннжми интегра хини Фурье или соирхженнн ви функциями. Можеео показать *), что они получакнся друг нз друга с цомошью преобразований Гильберта, т. е. где Р— главное значение интеграла по Коши при Е' = Е. Таким ко~шлексныьэ представлением еасто пользуются в теории связи, где [е называют анплитееческееле сигналом **), связанным с )нн.
Он получил зто название патону, что при Р", удовлетворяющем определенным обшим условиям пепрерынпости, функции [г(г), рзссь~атрнвасчзя каь функция комплексной переменной г, аналитична в нижней полуплоскости г (см. (Зб!). для дзльнейиняа укажем переход от [ин к [х, когда )"а представлено интегралом Фурье вида Гни(Е) = ) о(») ехр( — йнЕЕ») е[», (6) Так как функцин )но вещественна, то о ( — ») = о* (»). ") би, яяяряяяр, 1351, гл. б.
* > Понятие яяяхятяяесхгна сягязлз была ззехяна я рабате 136! (си. также [37 — Зйй, Коиязяхсиые фуяхяяя Хсйсгяятельяой иярячыжяй, яещестзязязя и ияачая Чзсти гстярых сяяхяюм ярсябрязоязяяхь я Гяхьбертя, яхэя~ах яяжяуа раль эя многих рязхяхзх физики я тяхяяхя. Б ф1ьзн~ е я зеябрязоязяяя Гяяюьятя часто яяэыяз ог дигяэргиоянжйи оьяжяоииж ияли, тях яях яяерзые яяя япяяяхясь з теоряя Лясяерсни сзягз, яызыьгсяой зтоизия [401 (си. хзхжз[ 14П). 3 10.2! комплзкснок пекдстхвлаиик полихеомхгическнх полай 455 ['(Уг (Е)) Е= ['(! е(Е))ЧЕ= ! [; У(Е)У'(Е)бЕ= = ~ [о(т)[эг(т.=2~[о(т)[эг(ч. (10) э В большинстве рассматриваемых наив приложений спектральные амплитуды заметно отличаются от нуля лишь в частотном интервале шириной Ьи, малом по сравнению со средней частотой т.
В этом случае аналитический сигннч допускает простую интерпретацию. Запишем У в виде У (Е) = А (Е) ехр [Е [Ф (Е) — 2пт!] ), (П) где А()0) и Ф вещественны. Согласно (9) и (! 1) А (Е) ехр [ЕФ (Е)] = 2 ] о(т) ехр [ — 2пЕ (и — и) Е] г(ч ] 3 (р) ехр [ — 2п(рЕ] г(р, где (12) 3(р) = 2о(3+и), (!3) По предпоггогкенггго, спектралыпле амплитуды заметно отличаются от нуля только вблизи э =-т, и поэтому !3(р) ! будет заметной величиной лиль около р.— -О. Следовшельно, интеграл (!2) предсгавляет собой супсрпозицшо гармоник низких частот, атак как цтут(< 1, то А (Е) и Ф(Е) будут медленно меняющимися *) (по сравнению с соз 2кВЕ и з!п 2птЕ) функгшями Е. Выразим Уго и Уаг— вещественную и мппиую части !' — через А н Ф: Уог(Е) = А(Е) соз [Ф(Е) — 2птЕ], Уэ(Е)=А(Е)зб [Ф(Е) — 2 тЕ]. (14) ") Очевгщэь, что, согласио (14), как этих прелкэхэжевиях им ножен ыаеисать Уи' (Е) У"' (Е+=) «,-] Используя последнее соотношение, мы можем переписать (6) в фар ые (1) и после сравнения получим о(т) = — а(т)ехр [йр(э)], т) О.
! (3) Интеграл (2), выраженный через п, запишется в виде У(Е) 2 ~ о(т) ехр( — 2п(тЕ)йч. (9) э Следовательно, У(Е) можно вывести из Умг(Е), представляя Уог как интеграл Фурье в виде (3), пренебрегая аьпшитудами, связанными с отрицательными частотами, и удваивая амплитуды, связанные с положительнымн частотами. По агой причине функцию !' называют также связанной с Укг комплексной г(грнкапегЕ, спектр Фррьс которой ке содерэкат отриаагпсээьлмх частот. Очевидно также, что сслн спектр Фурье коыплексн<гй функции У пе содержит амплитуд, связанных с отргщательнымн частотами, то вещественная и мнимая части У являюгся сопряженными функциямп.
Отметим следуюпше соотногпеиия, которые вытекают из (б), (7) и (9) па основании теоремы 1!арсеваля н соотношения (3): 456 иитювпгщщия я диерькции частично когннвитиого секта !гл. 1О В этих формулах )л" и )тго выражены в виде модулгрованных сигналов несущей частоты т. Мы видим, что комплексный апалитичсский сигнал тесно связан с огггбаюи(гй реального сигнала "). Огибающая л (г) и соответствующий фазовый фактор Ф(г) выражнюгся через аналитический сигнал (т следующим об- разом: А(Г)=-У()™)'+( ")'=)у)три=!)т(, (15) Ф(г)=2пт! Рагс)бриг —.2жт!+асс(6(1 —.уь ) Таким образом, А (Г) пе зависит от точного выбора т, а зависимость Ф(() отч представлена только адднтнвиым членом 2ячй Коне шо, мы могли бы выбрать в (14) вместо ч любую другую частоту т', не изменяя значения Л; выражение для нового фзпопого множителя отличалось бы от выражения (15) лишь тем, что вместо и стояло бы т'.
При выводе (14) и (15) мы не почьзоиались тем, что сигнал узкополосный (Лчгч((1], так что эти соотношения являются общими. Однако понятне огибающей полезно лишь прп условии Лото(: !. вйы предпг>латали, что «возьз»щсгиие» )то'(!) определяется для всех значений й Практически же возмупгение существует лишь в тсчснис конечного интервала времени — Т ч. (-юТ, по, как правило, он значительно преныпшет ивгериал, нмсюший в данном случае физический смысл масштаба времени (средний период 1гр и время когерентности !Iйч); поэгоьгуможиос ппать, что Т ос.
Такая идеализация желательна с математической точки зрения из-за предположения о стацнонаркогти поля (см. п. 10.3.1). Очевидно, и этом случае нсобгходиью также предположить, что средняя по врсьдсни интенсивность (пропорцнональнап (1"о)г) стремится к коиепючу значению, когда интервал времени, по которому производится усреднение, неограниченно увеличиннегся, т. с. что т !)ш йт 2 (1 (! 6) конечен. Если этот предел конечен и не равен нулю, то ясно, что интеграл ! (Рюг(())зг(! расходится. Тем не менее и здесь можно воспользоваться аппаратоы анализа Фурье "). Определим «обрезанныеь функции следующим образом: )т~~ (!) = )тгг' (!), когда ! ! ) ( Т, р~'>(г)=0, когда !!)>Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
