Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Следовательно, согласно обратной теореме Фурье, 6(») аропоппнональна фурьеобразу вели щны уи(т). Но мы только что видслн, что модуль уьь(т) по сущестоу равен виапости полос, образулощихся в соотвсгстоуюььем иятсрференциоппом эксперименте, а фаза уп(т) свгыаяа с ил положение» простым соотпоюеьиом. Такая обоазоч, мы приходим к такому же способу расчета 6, каким пользовался Мапкельсон. Очевилно, можно счнтать, что кривые видносгн, приведенные па рис. 7.54 и 7.55, предстгяляют (уп! как функцию разности хода двух иптсрфернрующих пучков. На ьрактике времч задержки т одного интерферирующего пучка яигносител но другою часто довольно мало, и тогда привглеины.
выщг фор аулы легко упростить. Согласно уравнениям (10.3.10), (!0.3.!В) и (10.3.30) имеем [Гья(т)[ехр [(хы(т)) =)~уь)Я Уя[уьв(т)(ехр [(ях„(т)) = =4 ) 6ы (») ехр [ — йяь (» — ») т[ ь(». (7) (8) то, очевидно, мы внесем лишь небольшую ошибку, если заменим экспонениизльный член полыитсгрпльцогьь пыражепия в (7) единицей. Условие (8) означает, что, согласно (7.5.105), )т! должен быть мал по сравнению с времмьем когерентности света. Прн этом условии )Гм(т)), [ум(т)) и иья(т) неэвачитсльно Зв и ьв .
э. ь,ья Если модуль (т! так мал, что )(» — ») т!«,1 для всех частот, при которых (6и(»)! имеет заметную величину, т. е. ссзи 466 интвгазгеация и дивгзкцня частична когегхитиого свата (гл. 10 отличаются от [Гм(0)[, [ум(0)! и ам(0) соответствсннв. Удобно положить "» Ум= Гм(О) =<У,(!) 1': (!)>, (9а) г,. (а» ()гз = ага ((У) =. агй Ум (О) =- агй Рм. (9в) Теперь уравнения (10.3.10) и (10.3.18) дают при выполнении условия (8) ум (т) яв ! Рм ! ехр [! (8зг — 2ячт)[ —. Рмехр ( — 2п!чт), (10а) Гм (т) яа ! Ум ! ехр [! ([)м — 2пчт)! ==- з'гз ейр ( — 2п!чт). (10б) Таким образом, при выполнении ус ювия (8] во всех на~них форм!!лах ям лгомцг зсьченшпь Ум(т) и Ги(т) на величины, стоЯийие в пРавмх частлх соотнтигний (1Оз) и (10б) аютвгггштвачно.
В часгиности, закон интерференции (1) лрилйпь вид у(О=у (Е)+Р'(О+21 (и'И)р Рз (0)[рм! Фм--б). (11» Он будет выполняться до тез пор, пока разность хола (зз — зг! =с !т! между интерферпруюшимп пучками будет мала по сравнению с ллиной когереитности с!Лч, т. е. до тех пор, пока [ЛУ[:=-[з — в [=- — 8~~в 1, Хз (12) где использовано соотношение с/Лч =).з!Л), Уравнение (!1) является основнов формулой элементарной (квазимонохроматической) теории частичной когсрснтиосгя. Эта тсорпя составит предаст рассмотрения в оставшейся части натгоящего параграфа; в й 1О.б будут рассмотрены некоторые ее приложения.
Если справедливо уравнение (1!) (г. е. выполнены неравенства (8) или (!2)), то корреляция между колсбаянями в любых двух точках Р, и Рь волнового поля характеризуется нс Г,з(т), а /м, т. е. величиной, которая зависит пе от разности времен г, а от положения этих точек. В пределах применимости элементарной теории мы л~ожем наппсагь, каь видно из (1Оа], [ум(т)! [рм[, (13) так что )рм((0((рм! =1) представляет степень когерентиости колебаний в точках Р, и Р..
Из уравнения (11) следует, что фаза ~м величины р„представляет собой эффективную разиость фзз этих колебаний. Веянчпну (г„(тзк жс. как и уп(з), частныч случаем которой она является) обычно называют конплвхсной стгнпгнью хогергнтности (ииогда хоиплвксныи ковффициетполг ховврвнтности), вели тну уг;-- взиилной интенсионостью. 1ОА.2. Расчет взаимной интенсивности и степепи когерентиости для света ат протяженного иекагерентного кяазнчонохромагическо~о источника.
а Тгорвно Ван-Циттерта — Цернике. Определим взаимную иитенснзпосгь .!м и комплексную степеш когерентности р,„для точек Р, и Р, экрана;1, осьсщаемого протянгенным квазимопохроматпческпм первичным источником о. для простоты в качестве а возьмем часть плоскости, параллелыгой .р, н предположизл, что среда между исзочником и экраном однородна. Лопустнч также, что л~алы как линейные размеры а по сравнению с расстоянием 00' между источником и экраном (рпс. 10.3), так и углы мс~кду 00' н линиями, соединяюшимк произвольную точку В источника с точками Р, н Р,.
Вообразим, чта источник разделен на элементы г(а„с(а„... с линейными размерами, малыми по сравнению со срсдаей длиной вош|ы и, и центрамн, на- *) Мн зяозь пользуемся сакра~ценным оаоэвзчеиием, т. е. пишем .ги вместо ! (Рг, Рг) н т.д. $ 10,41 иитвгевгснция и днегзкция нвдзимояохгомзтичвского свита 46у ходящимнся в точках Яь Вз, ... Если 1',(1) и У з(1) — комплексные возмущения в точках Р, и Р„, обугчонленные элементоы бо„, то общее возм) щезие в этих точках равно У,(1)=~1',(1), 1'.Я=-ХУ,(1). (14) Следовательно, х'(Р„Р,) = Х =<У (1))" (1)>=-~><У (1)У' (1)>+ +Де<" ы(1) 1'«з (1)> (15) Свстовыс колебания, создаваемые раз- Рве. 1О.з. к теореме Ван цнтмрте — цевняяе.
лнчныпи элементамгг исто ~ннка, мо>кно считать сгатпсгнческн независимыми (взаимно некогерентными), причем среднее значение поля равно нулю; тогда ") ' <У„(1)У;„(1)>=<У„,(1)><У„'з(З)>=0, когда г Фьп.. (16) Если Т<мх и Рмз — расстояния точек Р, и Р, до элемента источника г(озо то У с(х А 11 д' хйзхр( — вязче — и хуе)1 ахх) м~ е ! о ! е ! Пех ((У) А 11 ~.,1е в( — 2 з (г — гз,м)1 ) где )Ам) характеризует силу, а агп Ам — фазу излучения от щ-го элемента*'), а о — скорость света в среде между источником и экраном. Следовательно, 2шч Из,— П з)1 <У.,(1) У;.(1)>=(А. ( — — ' „-') А ( — — '.")) 1 ' т зхрч( 2нзт(П з ~~ «)) Яез \х ' " '. (18) з // Печ Поз Если разность ходя Рмх — Р , мала по сравнению с длиной когерентности света, в аргументе Л' можно пренебречь запаздыванием ()< з — Рмх)1о.
Тогда из (15), (16) и (18) получим 2ЛГч (П,„~ — П з)) У(ЄЄ)=2~<Ам(1)А'(1)> П П . (19) Величина <А (1)Л;,(О> характеризует интенсивность излучения, испускаемого элементом источника х(о . В любом практически интересно з случае число элементон источника можно считать настолько большим, что мы вправе рассматоннать источник как непрерывный. Обозначая через! (Б) интенсивность на единицу площади источника, т. е.
1(Б )г(о =-<А (1) А„'(1)>, получим*"*) *) О векогеревтнссгя можно говореть лишь прн нзлвчяе кеиечеого (хотя не обяззтельяо шярокого] спектрального звтебвззз; поэтому урззясенз 06) вечерне дзя ядгздиззрсззннога случая строго хчанахромзтзчзсхого свете. Влз ме:шхгомзтвчесхого сзехз У, (г). =- Пе, ехр ( — 2яЖ), Пм(Г) — -Гг„х ехр (-зяГчГ), где СГ х я Пм не зависят от времени, так что <Умчи)у з 10> ' П «ГГ,». а чтз зели ~ивз з общем случае отдзчяз от зудя "') В общем случае А взвесит также от яапрзздееяз, зо дхя простоты мы пренебрежем зтоа зазвсимостью.
**) В дззьяеашем мы будем часто яельзоватьея ебозвачеязяна Ыз, г)Рь... дзш зленеатев поверхвоств с пшпрзмя в точках 3, Рм... ЗО' 488 янтегекееяция и дньгькция чьстнчно когвгкнтного светя (гл. 10 вместо (!9) 1(Рг) = Х (Р„Р,) =- à —,' й8, У (Рг) = — У (Р„Рь) = 1 —, й8 (2!а) ь ч — интенсивности в точках Р, и Р,. )йы видим, что ивтегрлл (21) совпадает с интегралом, который появляетсн в другом случае, а именно при вычислении иа основе принципа Гюйгенса— Френеля комплексного возмущения в дифракциониой картине, возникающей прн дифракции сферической полны на отверстии в непрозрачном зкране. Точнее, (2!) означает, что комплеьоная спкпень коеерентноепт, копюрая оггиеываеггг корреляцию колебаний в фиксированной точке Р., и переменной точи Р, плогкогти, освещенной прогпяьсеннми квааимонохроматичееким лервгтным источником, равна нормггровинной комплексной амплитуде в соогпвегпслгвуюи(ей тоже Р, некоторой дифрихциогннпй картины с централь в точке Р,.
Эта нарпщчи получигтя, если заменить истоюгггк дггфракцггоннььч отверстием агапово же размера и формьг и еаполнить его сферической волной, сходящейся в Р„причем распределение алиглигиуд по волнсмолгу фрогияу в отверстии должно быгггь пропорциональным ртпределенгпо интенсивности пп тлгигчнику. Эгог результат впервые был получен Ван-Циттертом (81, а позднее, более простым способом, Цернике (11). И!ы будем именовать его теоремой Вон-Циттерта — (4ернггке. В болыпинствс приложений можно считать, что интенсивность ! (8) пе зависит ог положения точки Я на поверхности (постояннвя интенсивность).
Тогда соответствующая дифракциониая проолемя совладает с проблемой дифракции сферической волны постоянной амплитуды на отверстии такого гке размера и формы, как и источник. Пусть ($, Ч) — координаты произвольной точки 5 источника в системе с началом в топи О, н пусть (Хи у,) и (Хг, У,) — координаты точек Р, и Р, в системс с началом в точке 0' и осями, параллельвкнп осям первой сисгечы (см.
рис. 10.3). Тогда, если К вЂ” расстояние 00', то Р,'— -(Х,— й) +(У,— ц)* )(, так что (Х, --3г -Ь 0', — Ч)г (22) ! 2 ге Здесь оставлены лишь основные члены относительно Хггйг, )егггх, 3/Д и г)Я. для йгг получается точно такое же иыраженне и, следовательно, гг )г (Хгч 1 г) (Хе+Уз) (Хг Хг) Ь+(Уг Уг) г) гг — г зйс я В знаменателе подынтсгральпых выражений (20) и (21) Р, и,йгг с достаточно хорошей точностью гюжно заменить па (г. Положич также х,— х я '"'Р =у и Ь 1(Х'+ Уг) — (я*+Ух)1 2К (24) у РР ~у(8)ехай(гь(я,— ц,)) (20) г г где )гг и Агг — расстояния между произвольной точкой 5 источника н точками Р, и Р„а й =2кчго = 2пгь — волновое число в среде.
Коыплексггая степень когерснтности р( Р„Р,), согласно (20) и (9б), равна 1 Г ехр ! ге(йг — Цг)) ь 6 1Ос41 интвгагввнцня и диаглкция кадзимоводгомлтического светл 460 Тогда (21) примет вид л>' ') ') 1(в, »0влр( Й(рй+С»18 ваи р>в (26) Ц 1(Б ч)а$ач в Следовательно, если линг>)ныг размеры источника и расстояние между Р, и Р, жаль> но срагнгник> с риостнлнпг.и вп>их точек о>и источника, степень когерентности , 'р>»1 рагна абсолютнолсу значгни>о норлсирозанного лрссбраюгания Фурье от функции, описывающей инпвгнсшмость исп>очна>ос Величина ф определяемая (26), допускает простую интерпретацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
