Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 127
Текст из файла (страница 127)
(19б) Таким абрагом, если два отверстия освепгаются через конденсар, та ннтенсивносм ! (Р') в плоскости изображения обьсктнна ь»»»к!»»юка»~а обусловливается суперпогнцней двух частична когерентных пучков. Интенсинпость кгждого нз пучков определяется выражениями (19), а комплексная степень когсрентности -- соопюшеппем (15). Подставляя указашгые соотношения в формулу (10.4.1)), сразу же получим выражение для 1 (Р'). Есл»г прсдположнть также, что точна Р' досгаточно близка к геометрическим изображснлям точек Р, и Р, (тэчнее, что 5 =-1Р,Р') — (Р,Р')г<).), то формула для ПР') примет вид 7(Р ) (Э" » (е»!) .!» Эг'("»!) + 9 (гг' (ть»!) 7~!»(»!) (~~» (»Ч)) (90) Из соотношения (дб) можно вывесп» ряд, интересных заключений. Если иятврегреяпия и диеелкцня частично когереятеого светл (гл.
1О щом ЯвлЯетсЯ отличным от нУлЯ коРнем УРавнениЯ У,(гло„) =О, то в соотид. шенин (20) отсутствует член, содержащий произведения, и оно принимает вид )(Р,) (22<)р<))х (21,(е,))х (22) Распределение интенсивности в плоскости изображения оказывается тогда таким же, как и при ягкоггрги<лноя освещении <ляерстяй Р, и Рх. Это осущесгв«истая, например, когда ш — 1, а о,,— отли <ный от нуля корень уравнения з'<(о<х) =-О, т. е. когда числовые апертуры равны, а расстояние между геометрическими нзображеннямн отверстий равна раШгусу одного нз <емиых колец картины Эйри, 4<) создаваемой объективом.
Если числовав апертура конденсора очень мала (и< 0), то 2з (<ло<х))я<о<< 1 и (20) с<юднтся к (23) йк Прн этом для ля<бого расстояния между отвер- стиями распределение интенсивности остается ))г таким же, как и в случае полностью когереяиь ново освещения. Форь<ула (20) позволяет изучить зависимость м= р,г<рй РаспРсдслснна интенсивности в плоскости изо- бражения объектива микроскопа от отношения Рис. !033, Влияние ееергурн числовых апертур оь В частности, определяя еоехспссре ее резвые< нес и<об.
ражсеий двух нсоольжих отеер- интенсивность в точке, находящейся посересхия рея<оп яркости (в)1. дине между Р, н Р,'. Будем считать, что изо- бражения огверстп начинают разрешаться, когда интенсивность в этой точке на 26,5% меньше, чем интенсивность в кюкдой из наших двух тачек. Величина 26,5% соответствуег критерик< Рзлея для круглого <пверстия при некогсрентном освещении (см.
п. 8.6.2). Выразил< предельное разделение (Р,Р,)„„„, соответствующее этому критерию, в одинаковом виде как для некогерентйого (см. (8.6.32)), так и для когерентного (см. (8.6.55)) освещения (1 <Рх)ерех ~(гл) е з;по (24) На рис. 10.13 нзобраукеиа кривая Е(о<], рассчитанная из (20) на основе указан. ного критерия. Как иы видим, наилучшее разрешсние получается при т ев 1, 5, т. е, при числовой апертуре конденсора, примерно в полтора раза г<1<евын<ающей числовую апертуру объектива. Величина Е в этом случае несколько меньше зиачення 0,61, получаклцегося при некогерептвом освещении. б.
Ососщениг ло Келеру. В прсдложенноч Келсром (691 методе освещения, схема которого приведена па рнс. 10.14, собврательная линза располагивгся рядом с диафрашюй золя зрения и образует изображение источника о в фокальной плоскогти кондснсора (где расположена диафрагма кояденсора]. Тогда лучи, исходящие из каждой точки источника, образуют после прохождения кондспсора параллельные пучки. Преимущество такого устройства заключается в том, что неравномерность в распределении ярк<кти по источнику не вызывает перавномери<юти и освещенности поля зрения. Чтобы оценить предельное разрешение, достигаемое при освещении методом Келера, необходимо прежде всего определить комплекспу<о степень когерентности )< для пар точек в плоскости предмета объектива микроскопа. Пусть () (Я, Р) =-А,ехр (1<Р), ()(8, Р) = А,ехр(ОР) (25) в 10.5) некоторые паилон<еиил — комплексные возмущения в точках Р,(Х„У,) н Р, (Хм Ул) плоскости пред- мела объектива микроскопа, обусловленные возмушением в точке Я монохроматичсского источника, ассоциированного с и.
Очевидно, ф,— р,==(Р(Х, Х,)+4(У, У,)1, зд (28) Х, где р и а — первые две лучевые компоненты двух параллельных л) чей, нспускзсмых точкой 5 источника и проходягцих через точки Р, и Р,. При наличии аберраций в конденсорной системе два луча не будут строго параллельны, однако такой непараллельпостью вполне можно пренебречь, поскольку мы лала ареала атааДамаа Ураааеааар лаюл ,йарщдала Уадаеаеаау раарааааа Рис. !О.!4 Осасмеиве ва Келлеру.
рассматрйваем лишь точки, близкие друг другу. Подставляя (25) и (26) в фор'мулу Гопкинса (10.4.35б), получим ') Л А, ех р (!й, (Р (Х, — Х ) + 4 (У, — Ул) ) ) сЮ, ),(Р) (А, (8, (,=-(А,А8. а Та!г как калгдой точке 5(ь, т)) источника соигиетствУет паРа лУчевых компонент (у, д), мы можем от интегрирования ио о перейти к интегрированию по телесному углу Р'+ да ( п," з)пс 8;, (28) образуемому лучами, падающими на предмет.
В приближении параксиальной оптики соотношепвя с — $(р, а) и г)==п(р, д) линейны. В самом деле, как легко показать из формул (4.3.10), $.=.)Р, т) -=)а, где ) — фокусное расстояние коиденсориой системы. Следовательно, якобиан д(ь, т!)!8(р, д) равен постоянной нелнчине. Вне рамок геометрической оптики якобнан в общем случае изменяется ио области интегрирования, однако ю пм изменением можно пренебречь, поскольку оно достаточно мало по сравнению с изменением экспоненциального члене.
Если прснебрсчь также медленным изменением А, и Аа, то (27) примет вид ~ ) ехр (га, (а !Х, — Х,)+Е(У,— У,)1) Ла ЛЕ где й означает область (28). Вычисляя (29), получим р(Р„Р)= '( '", им.=-=)'(Х,— Х,)'+(У,— 1',)'и,'з!пй;. (30) 484 интзнвзеннпня н лнннлкпия частично когзгннтного снять [гл. 10 Эта формула идентична формуле (18) в случае критического освещения. Следовательно, комплексная степень 'когеренткоглси слета, падающего на плоскость предлсеггш зсикроскола, одинакова как при критическом осеецении, гпак и при освещении по Келеру. Этот резул~тат показывает, что часто употребляемые названия «некогерентное» для критического освещения и «когерезтное» для освещения по Келеру нужно считать неудачными.
Как мы видим, формула (20) справедлива для обоих типов освещения, а рис. 10.13 одинаково применим к обоим случаям. !0.5.3. Получение изображения при частично кагерентном квазнмонохроматичесном освещении"). а. Раслросглранение езаимной интеисинноспш через оптическую сигпмму, В 4 9.5 было описано несколько общих методов изучения отображения протнжеяпых обьектоа. Рассматривались случая полностью когерентного (п. 9.о.!) и полностью некогерентного (и. 9.5.2) освещения. В первом случае рассматривалось распространение через систему комплексной амплитуды, во втором — пнтеясчвиости. Гейчас мы псшседуем более общий сжучнй частично катерок«ного кназямонохромапсческого освещении.
Иаучаемой величиной здесь является взаимная пнтенссшность. Как н н (9.5.1), используем нормализованные иоординаты Зай>селя, так что точка предмета и ес параксиальнос изображение имеют одинаковые численные значения координат. Пупс ь >о(х,„у„; хо, у',) — взаимная пнтепсннноссь для точек (х., уо), (х,', у,') в плоское~и предмета. Если К(х„, ук хо у,) — функция пропускаиия системы (см. п.
9.5.!), то взаимная интенсивность в плоскости изображения, согласно закону распространения (10.4.47), определяется выражением Ус(х ° Ус: хс Ус) = "г = ~~~~ '!«(хо Уо хо Уо)К(хо Уо' хс Ус)К (хо Уо! хс Уз)дходуодхо с!Уо. (31а) Интегрирование лишь формально производи"шя по бесконечной области, так как для всех точек в плоскости прслмета, от которых свет не попадает в плоскость изображений, величина .Г, разин нулю. Как н в»«9.5, мы предположи»с, что пред»сот так мал, что служит изопланатнческс>й областью с>сссемы, т. е. что для всех его точек величину К(х„уы хь у,) с хорошей точностью можно заменить функцией, зависящей лишь от разностей х,— х, и у,— у, (скажем, К(х,— х„у,— у,)).
Уравнение (31а) тогда примет вид су (х, ус! х', ус) = ~~)г)г до (хо, уо, хо уе) К(>сс хо ус, уе) х х К" (х,' — х,', у,' — у,') с!хо дуо дх,' ду,'. (3>б) Представим >о, >, и произведение КК* в форме четырехмерных интегралов Фурье, а именно до (хе у "со уо)— ]]) ] '>со(! Ч'1 Че) ехР [ — 2пс(!хо+УУ«-Г['хо-~-У'У[)] д7дйд~'НУ', (32а) ,7»(х„ус; х,", у,')= = ']]) ] Ф„(/, 83 ~', у) ехр ( — 2я!([х, +ау, +гх,'+уу[)] сЦйудГду', (32б) '! бедер>нонне настоящего раздела «оста>но есненнно нн исследованиях Гоанннсз 1!2! н Дщионте 1701. 585 % 10.5[ пгночч|емп пеюнинюшя К (х, у) К (х', у') = ~~~~мйД, йп [', у)ехр ( — 2и[([х+уу+Гх+йу)) Нуйуй['ду'.
(32в) Тогда на основании обратного преобразования Фурье находим Тге([. 51 [', у')— = ) ~ ) ~ l„(х„у„; х,', у,') ех р (2п[ (ух, + ау, + 7 х,'+ д у,'Цйх, йу, дх,' йу',. (33) Совершенно аналогичные соотношения можно написать для уг и еу, Применяя теорему свертывания к (31б), получим соотиошеине У. ([, а; [', а') = У. ([, 53 )', у') й ([, у; [', у'). (34) Отсюда следует, что если взаимную интенсивность в плоскостях предмета и изображения представить суперпозицией четырехмерных пространственных гармоник всевозможных пространственных частот ([, у, 7', у'), то каждая такая компонента взаимной интенсивности в изображении будет зависеть лишь от ее соответствуюгцси компонснты в предмете, а их отношение окажется равным. егр, Таким образолг, в пределах применимости настоящего приближения елилиие оплишггхой системы ла елаимную ил лилгигиагть экгигилентиа действию чгтесргхмериого линейного филынра.
Функция РГР НазЫвастея функйигй частотнага отклика длл частично коггреитиога кгазилюлохрол~агпиегсиога огегщгимч. Функция частотного отклика связана с функцией зрачка системы простым еоотпошением. Если, как и в (9.5.10в), мы представим К в виде двумерного интеграла Фурье К(х, у) = ) ~ уд(г', у) ехр [ — 2ш'(7х+уу)) Щдй, (45) и подставим его в соотношение, обратное преобразованию (32в), то найдем, что й Ч, йд Г, у')-УГ([, у) 51" ( — )'.
— у'). (35) Согласно (9.5.15 величина Ус и', у) равна значению функции зрачка 6(5, л) системы в точке 5 =-)с)с), ч) =. ХГсу (37) на опорной сфере Гаусса (радиуса )7). Следовательно, для частична наггреитного хгазимонохраматичегиого осгаигния фунлпия чагаюписага атллемса гглзала с фуллпиги зрачка системы формулой (35) Так как для точек, находящихся вне выходного зрачка, фупк1гия зрачка равна нулю, то система не пропустит спектральные компоненты, соотвстствуюгцис часштам, превышающим определенные значения. Если выходной зрачок имеет фг~[шу круга радиуса а, то величина 6(5, и) 6* ( — с', — 5') раппа нулю при 5е+пс ° аг или $'е-',- ц'е)ие. Следовательно, нс будут пропускатыгя спектральные компоненты взаимной интенсивности, соответствующие частотам (), д, р, у'), лля которых *) )е+уе) ( ) илн 72+ус) ( ) (39) Здесь 5 — средняя длина волны в пространстве изображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
