Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 122
Текст из файла (страница 122)
В последнем случае в соотношение (!1! будит входить уД(т) вместо у'»» (т). В отличие от возмущения»т", корреляционные функции уД и Г'Д представляют всличиньк которые могкно определить из эксперимента. Чтобы найти значение у",»' длн любой данной пары точск Рт и Р. и для любюго виданного значения т, помещают в саепжай пучок непрозрачный экран с небалыпимн отверстиями в Р, и Рн как показано ва рнс. 10.1, и измеряют интенсивность 1((1) в некоторой ~очке 0 позади экрана, для которой Р»() — Р»() ст. Затем отдельаа измеряя»т интенсивности 1'аЯ) и 1"'Я) света, прошедшего через каждое отверстие.
Выразив ТД через трн найденные величины, получим, согласно (1!) 1(Е) — 1 < — Г- (0) з )т го'(0) !'рн(0) ))ля определения ГД следует также измерить интенсивности 1(РД и 1(Р,) в каждом отверстии. Тогда, согласна (1О) и (!2), получим для Г(Д ГД=йр1(Р,)Р'1Г(Р)ТД= —,' («' „'„"„,",'„',Р', !1(О) — 1и (Ф вЂ” 1' '(О)). (12) Возвращаясь к (10), нетрудно увидеть, что при нашей нормировке (ум(т) ((1, Чтобы показать это, введем, как в (10.2.17), обрезанные функции Р!та(Р, 1)=)лн(Р, 1), когда (1)-' Т, Уто(Р, 1) — 0, когда )1() Т, (14) % Вйз! 46! коегеляциоякые егнкции сзатовых пгчкоа 1 Тс. (т)[— Смысл ум легче всего понять, если выразить (!1) в несколько Обозначим через ч среднюю частоту света и запишем у, (т) = ! Т, (т) [ ехр (с [асс ( с) — 2пчт] ), (17) иной форме.
(18) сс„(с) = 2пчт+ агц ум (т) (19) Тогда (11) перейдет в /((!)=-Рсс(Я)+Рой)+2!ГРаЩУРмЯ)[ум(т)[соз[ом(с) — б], (20) где параметр т и разность фаз б равны — 6 — -2мчт=-= (5„— зс), (21) х а )с — средняя длина волны. Есле !Т„(т) ! достигает своего максимального значения, равного единице, го исстенсивност в точке сг будет совпалать с интенсивностью, которая получилась бы со строго монохрочатичсскям светам с данной волны Д и разнсктью фаз между колебаниями в Р, и Р„равной ам(т). В таколс случае можно сказат~, что колебания в Р, н Р, (прн соатнетстзуюшем времени задержки с между ними) коггрентнм ').
Если у„(т) имеет другое экстремальное значение, а именно нуль, послелмий член в (20) исчезает. Тогда не возникает никзких ннтерференцнониых эффектов ат этих пучков, и можно сказатсч что колебания нгкоггргнлгнм. Если !йис(т) ! пе совпадает ни с одним из лзух экстремальных значений, т, е, если О( !у„(т) !(1, та ганаряг, что колебания члстчочно коггргнтнм, причеч [у,,(т)! оре,ссгавляег сслглень их когергнтностли. При любом значении [у,с! интенсинность 1(сг) можно также нредставнть в виде у(Е=]у ( )[[Рай)+Рой)-ь2$/уц'(ЮФ Рм(вх Х соз [сссс(т) — Ь]]+[1 — [Ум(т)[) (Ра'(())+Рсс(О)). (22) Можно считать, что члены в первой строчке нозникают из-за коггрснтнод суперпозицни двух пучков с интенсна юстями !у,,(с)! Ра(Ц) н !Т,,(т)!Рь((с) н атносителыюй разностью фаз цм(т) б; члены во второй строчке — - нз-за нгкомргнтноб суцерпозицин двух пучков с интенсивностями !1 — [у„(т) !) Рс'(Я) и [1 — [усс(т)(! Рл((г).
Таким образам, свет ат обоих отверстий, лосгигаюннсй точки Я, можно считать как бы состоящим из смеси когерентной и некогерентной частей с атпошециелс интенсивностей ! „! уз г ('с! ! Спмос С !ум(с)! (23а) *) Общие свойства когэреатного саста исслелоааям з работе [511, неравенству Шварца (см., например, !501, стр. 131) имеем ! ~ )г~ (Р» ! + т) 7 т (Рс.
1) бс( ( ( [ Р,(Р„(+ ) Рг(Р„(+ )с(! ~ )Гг (Рм !)Рг(Р„()бг, (Гб) В первом интеграле правой части Г ! т можно заменить ца !. Тогда, разделив обе части на 4Тс и переходя к пределу цри Т- аа, получим [ Гм (т) !' ( Гм (О) Гм (О), или, учитывая (10), 462 ннтеРФеРенцня н х(ФРАхпнн чАстично когеРентнОГО снетз (тл.
1О или (236) з Мы внделп (см, уравнснке (12)), что у)2 можно найти, измеряя интенсивности в соответствующем юшсрференннонном эксперименте. Ниже (см. п. 10.4.1) мы покажем. что для болыпинства случаев. представляющих нрщстический интерес, из таких экспериментов можно найти также и модуль (а в нрннпнпс н фгыу) т(з 10.3.2. Спектралы(ое представление взаимной когерентности.
Пусть ()го (Р, 1) — —. ) ог (Р, ъ) ехр ( — 2пгет) ((т (24) — интегральное фурье-представление вещественной обрезанной функции (гг'. (> Тогда обратное ' фурье-преобразование дает сг(Р, т) = ~ ~т' (Р, 1) ехр (2п(Ш)((1, (26) откуда следует, что ~ РР'(Рз, 7+~))7)о(Рм 1)с(1= (»» ([1 (Р„( ( — 2 ( ( ь*((з ~(~ 1[1"'(". (*»( — з ~(л+»(яыг(*»( — м (А= ) "г(Р„Н) оз (Рю т)схР( — 2п(чт)((т.
(26) Разделим обе части пос,нсднего сскпношсння на 2Т н пряменим к величине о,(РО т) пг1Р», т)(2Т еоперацию сглпжньання» по ансамблю случнмных функций ()(". Такое усреднение по ансамблю (обопначавшееся чертой) было описано выше в связи с уравнением (10.2.20). Наконец, переходя к пределу Т-»-оо, мы можем ожидать, что *) <Рчо(Ры 1+») Р(" (Р„1)л= ) О, (О) ехр ( — 2п(тт)((т, (27) где ( ) 1 ог(( т)зг(р т)~ м(т) = 1(77,~ т- 1 лт (23) Функцн(о бм(т) можно назвать взаимной спекбтралояой плопчностью световых колебаний в точках Р, и Р,.
Она представляет собон о(юбщснне спек(пральмоп пло((щослги, введенной ранее (сз(, (10.2.22)), и переходит в нее при совпадении обеих точек. Понятие взаял(нон спектральной плотности является оптнчесюп( аналогом понятия нэпе»шого спскшра ло(цмоспш и теории стационарных случанпых процессов. Уравнение (27) показывает, что вешсстнсннан корреляшюннаа ф)нкцнн С)г"2РО Г 1-т) )и'((Р„б> и нзаимнаа снектРалщ(аЯ плотность бм(т) Образуют нару, связанную фурье-преобразованием '"). 1 Ззссь спрззсалнзо то ме примечание, что н нз стр.
457. *") Коган Р;=7»м з(ш Рс(узьтзг является оптнческнм зкннзалзнтом хорошо нанес»ной тсопсм(з Винера - - Хн((чзнз (ЛЗ, 52). Вмссто ппш(гхурн сгззх(нззззз лъ( определения зззнмной спсктрзльной плотнсстн 0(»(т) мох(но нспользоззть обратное 4(урьс.преабрззоззннз(н (27Ь Для настоящей глазы шкон нолход полностью зхэнзазентен процедуре, указанной з тсксте, 4 10.41 интзгекгеиция и диевлкция квлзимонохгомлти'сеского светл 463 11ерейдем теперь к комплексному представлению. Пусть У(Р, 1) — -2 ~ п(ч) ехр( — 2пст()с(е (29) е — аналитический сигнал (см.
5!0.2), ассоциированный с У'"(Р, 1). Пользуясь теми ске прнсмалш, при помощи которых мы перешли от (24) к (27), можно по1<азатьг что 'Гм (т) = <У(Р„(+т) У* (Р„Т)> = 4 ~ бее(т) ехр ( — 2псчт) с)т. (30) Так как величина Гм не содержит спектральных компонент, принадлежащих отрицатетьным частотам, она представляет собой апалнтическнл сигнал. Следователь>со, если через Гссес и Г,",' обозначить сс зсщественную н мнпмусо части, т, е, считать, что Г, (т) — Гссое (т) + сТ',сес (т), (31) то этн функции будут связаны преобразованиями Гильберта, а именно Отсюда вытекает, что величина [Гм[, рассматриваемая как функция т, является огибающей Гсес (см. (10.2.10) — (10.2,13)), а нз (30), (31) и (27) следует, что ') Гссс (т) =-2<Ус«с(Р„)+т)Ус«с(Р„()> =2 1 Осе(ч) ехр( — 2я(тт) ссе.
(ЗЗ) Кроме того, )ус,) служит огибающей всшсствениого козффипиента корреляции <Ус с[Р,. С-с-т)[л с(С', С)> Уравнение (30) служит ссссктрзссьнысс представлением взаимной функции когерентпостн Г„(т). Уравнение (33) показывает, что вещественная часть Г,е[т) равна удвоевцому значению взаимной корреляционной функции вещественных фУнкций Ус«с(Рн 1) н У'н(Р„Т), а (32) оцРедслает свЯзь междУ вещественной ц мннлсой частями Гс,(т). н 10.4, Интерференция н дис)сракцня иаазимонохроматического света Как мы внделн, сссссс адекватного оппсанич интерференции частично когерентного света, вообще говоря, необходимо знать взаимную функцию когерентности Гн(с) или, по эквивалентно этому, обычные интенсивности /с и ус н комплексную степень когерентности у„(т). Здесь мы ограничимся ва>кнын случаем кнаенмонохромлснческого света, т.
е. снега, со«лоящсго нз спскгральных компонент, которые занимают частотный интервал Ьч, малый по сравнению со средней частшой ю й[ы покажем, что в этом случае теория принимает более простой внд. В жстности, мы нассдем, что прн определенном дополнительном предпологкении, которое выполняется по чногнх приложениях, вместо Г„(т) и ум(т) можно применять корреляционные функции, не зависящие от параметра т. ') Нюрулно пессэллть, чгофувнцня ГД (т) равна также 2 <УЮ [Р, Г+т) УЮ [Р„Г)> !',Се 00=2 <УСЕ(Рь Г+т) УГС [Рь С)> — 2 <Уь (Р„С+т) УЕС (Ре, С)>. (Сн., влпрнкер, [ее) алн [541, етр, 241 — 242). интзрппрпкпия и дипглкпия члстичио когзрзитиога свкть [гл, 10 10.4.1.
Интерференция квазимонохроматического света. Взаимная интенсивность. Обратимся вновь к иптерферсппионнаму эксперименту, изображенному на рис. 10.1. (уагласио уравнению (!0.3.20) интенсивность в точке 9 интерференционной картины задается соотношением !(Я) =Ри(Я)+!ск((())-Е 2ргР(((()) !' !и((е][усн(т)[сов [ам(т) — 6), (!) где — б = 2пбт = = (з — з ). н,— и, .
из с (2) Лопусгим, что мы имеем здесь дело с квазимонахроматическим светом. Тогда нз уравнения (10.3.18) следует (апалагично тому, как зта было показано а связи с уравнением (!02.11)), что по срзинс ипю с соз 2лут и з!п 2пут величины [уи(т)! и аы(т) будут медленно меняюшимися функциями т. Более тога, если отверстия в Рг и Р, достаточно малы, интенсивности !а((0) и Рзг(0) саста, дифрагнровавшего на каждом отверстии по отдельности, сохраняются а достаточной с"гепени постоянными а обчисти, и которой саз 2ппт и з(п 2иуз многократно меняют знак. Отсюда следует, что распрсдслснне интенсивности и акосстлости любой точки 9 слагается из почти однородного фона Рсг((!) + !!кг[(!) 1 1 1 4/(г/ г/У /У/г(1(ГЗ г/аз г/л/ //!Рд г1('з г/пз в) в) Рпс.
(0.2. Распределение нптппсизппсти з кптнрфпреппнпзной труппе, образованной двумя нинки гппохрпмнтпчегкпип пучками равной пптпчспзнпстн Р'( сп гзгпунмп когпрннгппсгн 12! с- .ог р*н в кунгрнм с Пу(=((, с — .-.» н р нгн»н уп рпынпн (и <( у( < П; -некагнрктнкнк гупкрпн пнн (у=с(. и налоукеипого па него синусоидатьпого распределения с почти постоянной амплитудой, равной 2 ! Ра (О) у !ш (Я [у,н(т] [. На рис. !02 показана распределение полной интенсивности для трех типичных случаев. Максимумы и минимул(ы интенсивности вблизи ('.! с хорошей точностью определяются выражениями !-.
=-!и'(Я)+!и'(())+24'~"'Я))/!'*'(())[у (т)1, ), !„„н-= Ри(Я)+ !и'Я) — 2)/Ро Я) !' !и'(())) у„(т) ). ! (3) Следовательно, видиость полос в тоже Я равнлвтш( у.н,н.— ',„н 2)Л/и (0( 1(рк (с)( (4) Эта формула связывасг впдность палас с интенсивностями двух пучков и их степенью когерентнасти.
Если, как часто бывас(, интенсивности обоих пучиов равны [Рп=!гн(), то (4) переходит в 2.(Е) =[ум( И, (5) т. е, в атом случае видпость по юг равна степени кпверентивсти. Согласно (1) и (2! положения максимумов интенсивности вблизи (е определяются выражением =(з,— в,) — ам(т)=-2тп (т=0, ~1, пЕ2, ...). 2и ь 8 10.41 ипткевкгзиция я ливгькциз квазниоиохеоиатнческого света 485 Таким жс выражением опрелелились бы положения максимумов при освещепии отверстий строго монохроматнческим светом с длиной волцы Х, если бьы фаза колебаний в Р, отстпиалз относительно фазы в Ря на ляп(т). Согласно (7.3.7) олставаььис ф.зы нз величину "и соответствует смещению интерференционной ка пппь и направлении, параллельном Ряря! на величину а)(ь(, где ь( — расстояние между Р, ц Ря, а и†расстоягпе между экранами »Г и Я.
Слсловательно, пзл.сы, поьумннги с каазимиыохромити ссыим слетом, гмеья(еыья отыосьяльельыо полос, ягоьлз ьые обрагсаалигв бы при сиыфазыом тзгирьыии аючек Рь и Р, моыохромтпи»ет,игл сзетои ыа аеличиыу ,( ага(т) х а (6) а направлении, параллельном линии, соединлятщ".Й о верстая. Мы видим, что из измерений видности и положения интсрференционных полос ььз,к;ьо определит„амплитуду и фазу комплексной степени когереитности каззимопохроматических пучков света. Меток пх определения тесно связан с огьисаььныяь в и. 7.5.8 методом Майкельсона дла апре;ьелспия распределения интенсивности в сясктральных линиях и- измерений крн .ых ьяидьяьььти. Из уравнений (10.3. 1О) и (10.3.30) следует, что П (») вхр ( — зягмв) ц» в Т (т)= ~ а(»)а» в где 6(») — спектральная плотность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
