Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 121
Текст из файла (страница 121)
/ (17) Так как каждую такую*обрезанггую функцию мы вправе считать интегрируемой с квадратом, ее можно выразить через интеграл Фурье, например в виде )туго(!) = ! пт(т) ехр ( — 2и!ч!) гЬ. (18а) *) Свойстве знзпкгнчесних сигналов нвн огибсющнх взучзлнсь в рабою !4З!. "') П проблемой знзввзз функция времени, которые не исчезают ори Г, стремящемся к беснонечнссти, столкнулись нз пороге ХХ века физинн.
ззинмгнюиесн изучением природы белого свете н юумв (оса (свис Л. Гун. лорд Рзпеб н А. Шустер). Строгии мзтсчзги испив випзрзт бых развит ~дивным обрзюи Н. пи!еров в его работе па сообщению гврчоинческого анализа (411, где изложенз также истории прсбдемы и оривслеив обювризя библиогрн(жи. з !0.2] комплексное пРРдстаелеиие полихРОмдтических полей 457 Пусть ]г — сопряженная функция, а ]гт — ассоциированный аналитический а> сигнал, т. е. Ут (]) =.Уг '(])+(Рбг'(~) = 2) от (и) ехр ( — 2П(н])«(н. (18б) При этом соотношения (10) будут выполняться, сс.ли ]гл" заменить иа Угэ н т. д, Следователю!о, разделив каждое выражение на ЙТ, получим *) — „.
) (Уг;1(])) б]= —,, ~ (Узгэ(2)) ~]]= 2 2Т где ]а«Ем Р 2Т (20) Казалось бы естественным перейти теперь к ллределу т аа. К сожалению, во многих случаях, представля!ощих практ!шеский интерес, функция С, (»), известная как пери«к]аг]эпллмп, не стремится к пределу, а флнктуируст с увеличснием Т (см., например, (44]; см. также 145]), Однако эту трудность можно преодолеть соответствующей процедурой «сглаживания». Наприьлер, будем считать, как принято в теории случайных пропессов, что фупкш:я Уйл"(]) является произвольным членом ансамбля функций, характеризующего статистические особенности процесса Тогда при соотпсгствуюлцих прс,пюложгипях о природе ансамбля (стационарный ои или эргодический) "] можно показать, что флУктУации сведпего значении Сг(н], взатого по ансамблю фУпкций Уллл(1), стремятся к пулю прн Т вЂ” са.
Таким образом, обозначив среднее по ансамблк» чертой, получим для предста «сглаженной псриодограымы» — ] т(н]]' ог(н) =— 2Т (21) выражение ""*) ы(н) = ]]щ о«(н) =1>ш (22) Если 6 ) означает усреднение по времени, т, е. з~(])) 1]щ 2т .) ~т('э«]( [23) *] Подвергая преабраэаваэию Гильб«рта «абра»»иную» фуа«авю, мы ке абяэатваьзо своза получим «обре«шаата» фуавааю; поэтому в апаши сл> чэс >'л]-Э и Уг ас равны нулю виэ и) яазарв«ла — тшг»п т. Иа этой причаь«, а такжа дла тога чтобы кзб«жатл* апрсдалеввыд мате- маг««ас«««зхэлцраааэ, в кэ ю:гва ар«даша иягегрлраввавл аа арам«эи э (1Я в (231 берется », а н« с Т. *'):Эпл палата« рэссмэзриэшатс«, я«пример, э 144, 46, 471. *"*) Здесь иевазча «аа привести стратас ла«ллзэт«льства существования такого предела и вывести э«катаные саатэаш«эиг., азад«эаыа эврисзичаскя в иагтаялем разделе. асс«альку эта эа«н.ю бы пас слишком дэле«а в эргадичас«ую з«арию (си.
[481, гл. !1; си. также 1461, й 8.4 яли ]471, сгр. 38 — 44). Нм«сза жрэднеии« па ансамблю можно вспоаьзавать и другие операции «сглаживания (см. ]46] или 149], стр. 286 †2], Другой способ определения спектра мощности С(н), не связанный с понятием ансамбля, указал в подстрочном ирвмсчввяи на стр. 462. 458 ннтв кгенцня н дияглкцня частично когвгвнтного светл [гл, 1О то в предельном случае Т вЂ” ьоо получим следующие соотношения, аналогичные (!9): <(Уо>(1))'>.=<(У>о(1))'>= — <У(()Уь(1)>= ') С(т)йч= 2 )С(т)йт. (24) В теории стационарных случайных процессов функция С(и), опредсляемая соотношением (22), называется спектром ион(ностпа сл>чайного процесса, характеризующегося ансамблем функций Р"(1). Поскольку в наших рассуждениях Уо>(1) представляет световое возмущение, величина С(ч) йч пропорциональна вкладу в интенсивность, обусловленночу частотал>и в интервале (ч,ч — гйч).
Мы будем называть С(ч) спекшральной плотностью световых колебаний. Так как Угг> — вешестиеннаЯ часть Ут, во всех Расчетах, в КотоРых пРоизнодятся линейные операции пад Уг", мол>но пользоваться величиной Уг в вы. делать вещественную часть только в конечном результате. Более того, так же как и вслучае монохроматических полей, соотношение <(уо>)'> —,<уу'> позволяет выразить среднее но нре»е~>и зяачснпе квадрата вещественного возмущении >гепосрелственно через комплексное возмущение, которое мы связали с вещественным. й!0.3. Корреляционные функции световых пучков 10.3.1, Интерференция двух частично когереитных пучков, Взаимная функция когерентности и комплексная степень когерентности.
>(ля удовлстворитхньного решении пробэсм, н которых фнгурнруег излучение с конечным набором длин волн, испускаемое конечным источником, нсюбходиио, как мы указывали в й !0.1, установить возмо>иную корреляцию между колебаннячи в двух произвольных точках волнового поля. Подходящую меру этой корреляция можно предложить, исходя из анализа эксперимента по интерференции двух пучков. Рассмотрим волновое поле, образованное протюкенпым полихроматическнм исто ~ником о. Вначале пргнгбрс>цел> эффектамн полярнзашп> к будем считать световое возмущение вещественной скалярной функцией положения н времени Уо'(Р, 1).
Функции Уь>(Р, 0 поставим в соответствие аналнтическии сигнал У (Р, Г). Конечно, невозможно наблкшатгч как эти не.шчины меияюшя со временем, поскольк) любой днгектор регистрирует лишь средние значения за промеж>чкн нременк, в течение которых возмущение очень мин~о раз меняет знак.
Наблюдаемая интенсивность 1(Р) пропорциональна среднему значению (Уш (Р, 1)).", и, следов цельно, с точностью до нссущсстнснной посгоиннои получим, используя (10.2.20), ! (Р) =-2<(Уо>(Р, 1)И>=<У(Р, () Уэ(Р, 1)>. Рассмотрим теперь две точки Р, и Р, в волновом поле. Можно эксперимен.тально определить нс тгн>ько ПР,) и /(Рг], ион ннтерфсрснцнонныс эффекты, возникающие при сунерго>нцн>~ колебаний. исходящих нз этих >очем Представим себе, что в исследуемое поле помещен непрозрачный экран Л с небольши >н> гпверстиями в Р, к Рн и рассмотопн распределение интенсивности па втором зкранс ЖЭ, находящемся на некотором расстоянии ат А в направлении, противоположном направлению на источник (рнс.
10.1). Лля простоты будем считать, что показатслы>релох>пения среды между двумя экранами равен единице. Пусть з, и з, — расстояния от произвольной точки С экрана Ю до Р, и Р,. Точки й 10.8) кОРРеляциОнные Функции ОВВУОВых пучкоВ 469 Р, и Р,можно считать центрами вторичных возмущений, так что комплексное возмущение в точке (й запишется в виде )г Я, У) = К Р (Р„ à — (») + К )г(Р„ ( — Уз). (2) Здесь 1, и 1, — времена распространения свита от Р, до 14 и от Р, до Д соответственно, т. е. (» =з,,1с, уз зз/с, где с — скорость света в Вакууме. Козффициенты К, и К, обратно пропорциональны з, ! и з, н, кроме того, зависят от размера отверстий и геометрии нсего устройства (углов падения в углов днфракцив в точках Р, и Р„).
Так как фаза вторичных волн, распростра- наюшихсЯ от Р, и Рь отличасгсЯ от фазы Рис. 1О.1. РгнтеРфегеиизонный зкспе1»Вичной волны на четверть периода (см. периь снг с па»и.»рочапжсским сае. гам ог протез с»,»»ага источника а. Я 8.2 и 8.3), К, н К, явлнюгся чисто мнимыми величинами, Из (!) и (2) слелует *), что интенсивность в точке Я равна 7Я) КК'<Р (( — Г))'~(1 — 1»-'-КК~<(гз(1 — 1,)(г;(1 — 1»+ +Ко<у»(( — 1») Р:(1 — 1»»+К«К;<Рз(1 — (,) Р;(( — (»». (4) Поскольку предполагается, что поле стационарно "), во всех зтих выражениях ыожно изменить начало отсчета премепи.
Тогда получим, например, <Р,(1 — 1,) Р:(1 — 1,»=<Р, (У)Р;(У»=7. (6) Если использовать также (3) и вспомнить, что К, к К,— чисто мнимые величины, то (4) моукно свести к 7 (1й) = ! К, !' 7» + ! К, !' 1, + 2 ! КК, ! Г»»оз ! ' — '" ) (6) где Г»»о(т) — вещественная часть функции Г.,(т) = <1' ((ч-т))г'*(()>. (7) Понятие, определяемое Выраж~нием (7), служит основным в теории частичной когерентностн. Мы будем яазынагь гго йзпииной «Озйрснп»настаю световых колебаний в точках Р, и Рв, причем колебания в точке Р, рассматривнкгшя з момент прецепи„запаздывающий па псличипу т по сраввеьню с моментом времени колебаи»»й в точке Р,.
Мы будем называть рупии»»»о Гм(т) йайиииой фу«кцией «озере«тнасит з*е) волнового ноля, йогдз обе точки совпадагот (Р,= Р,), получим Гы(т)=<Р,(1+т)) ",(1», (8) н тогда мы говорим об аетакоссреитиасти световых колебаний в Ры При к=0 зто соотношение сводится к выражению для обычной интенсивности Гы(0)=ТЫ Гм(0)Р Тк ) В дальнейшем тзм, где зга улабво, мы будем позюоваться более короткой записью, з имен по 1»1») вместо 1 »Р», 0, Гы (т) амсс» а Г (Р;, Рз, т) и т. д.
**) Нсабладнмое здесь » редположсиве а стадвонариосги равносильно утзер»«денио, чта ) Р( 10) вс зависв» »и выбора начала атсита времени и что карре»»иииоаные функпви Гг 0,1 1 = <рг (1+»') уг 0+»') ) (й /=1, й) заввсзт лпыь т разности 1 — 1*. В тие случае иы ч»сто говорим о зсюацйекарнасю»» з ю»»ракам ельм«с» (см. (йт)1. ""*) В обшей теорви сгзпванзриых случайны«пропсссаз Гы (т) называетса ззиилиай «ар.
Рвыциаииай фйикцисй всеичиа 1»»0) и Уз(0, а Г (0 — аии»о«аРРеллцианиай фУнкцией величины Рз(0. 400 нитктчвтвицня н ляле«кипя чкстично когюкнтного светл !гл. 10 Очевидно, что член (К,(П, в (б) представляет интенсивность, которая наблюдалась бы в Я, если бы открытым было лишь отверстие Р,(К» =-О); аналогичный смысл имеет и член !К»!«1,. Обозначим эти интенсивности соответственно через 1'а(Я) и !"'(((), т.
е. 1о'(())=/К,/'"1,=)К»!»Гтт(0), 1н'(Д)=)К«('1»=)К»('Г»»(0), (9) а также иормируем Г„(т), положив Г, (т) Г (т) (10) (12) и обозначим через )тг(Р, 0 ассоциированный аналитический сигнал, Согласна По причинам, которые вскоре станут ясными, назовем вели»нну у,„(т) ко»нь««ясной степенью когеренглносши световых колебаний. С помощью выражений (9) и (!О) формулу (6) аканчателыю»то»кно переписать в виде 1(Я)::= 1"'(Я)+1"'02)+2Рерт'Я) Р'1а'(О]у",»'(" ~'), (11) где у»т໠— вещественная часть Последнее соотношение выражает общий викин инятербкг»«ниии дяя стоя<юнпрнмх оптп»тчесютх нолей. Оно показывает, чта для определения интенсивности, возникающей при суперпозппин двух пучков света, необходимо знать интенсивность каждого птчка и значение вегцествениои части у«Д комплексной степени когерентностн. Па ~же мы пока»кем, как можно найти у(о», зная характернстики источника и пронускание среды.
Выражение 1!!) остается справедливым прн условии, что з, — з» заменено на разность хола Р»0 — Р»0, если свет от Р, н Р, попадает в 0 не пряча, а через промежуточную оптическую систему, и если можно пренебречь эффектами дисперсии. При таком обобщении форчуда (1!) вынолняшся н в том случае, когда диа ннтсрфсрирующих пучка получаются нз первичного пучка пе пттем «деления волнового фаанта» в Р, н Р», а путем «делення амплитуды» в пспасредственнав близости к одной точке Р„например в интерферометре й!ай«сльсояа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
