Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Другим примером служат законы распространения взаимной интенсивности (см. (1О 4.45)); как мы видим, они похожи па принцип Гюйгенса — Френеля. Теоремы, относящиеся к комплексному возмущению. можно рассматривать кзк приближенные положения, нытекаюп1ие пз некотор 1х строгих теорем, а пченно формул Гельмгольца н Кирхгафа (слт. (8 3 7), (8 3 13)), Последние вытекают нз положения, согласно которому свстовос возмугцение распространяется, как волна.
Указанная аналогия наноднт на мысль, что корреляция также распространяется, кзк ьолна и что яащп теоремы язлякпся прнближеннылгн форму зиронками какпх-то соответствующих теорем типа Гельмгольца — Кнрхгофа. Нетрудно показать, что зто действительно так. Рассмотрим стационарное волновое поле в вакууме. Пусть У(Р,, 1) и )г(Р„() — возмущспия з точках Р, н Р, соответственно Удобно вначале выразить взаимную функцию когерентностн в более симметри щой с)юрме Г(Р„Рю 1„(е) = — <)'(Р„у,+1) 1* (Рю Г,+1)>= =, ))~,— ' ~ Гг(Р„(+У,) Р",ЛУ„( 1„) и. (Н 27 Далее пусть Р)Г (Рм Рю (ю 1,) = 111П -у ) ([77)т~(Ро 1+ 1,)) Рт (Ре, 1 —.1,)) Ж.
(3) Вентественнзя часть р~ келпчнчы Уг представляет истинное физическое полно новое поле (например, декартову компоненту элсктрнческоп вскторчг~й волны) и, следовательно, удовлетворяет волновому уравиенн1о Р(ргг1(Р„(+ Уз) - — „', — 'м Угр (Ро 1+ (т). 11 Мнимая часть Ь т величины )гг, з значит н рт также удовлетворяет волновому * ео урзвиенню; последний результат получается сразу же, если применить преобразование Гильберта к обеим частям (4а) и исщыьзонать следующее утверждение: если каждая из двух функций получается одна пз другой преобразованием Гнльбсртн, то та же зависимость справедлива н для ях производных. Следовательно '), Р()гт ( Ро 1+ Г,) —., —, Р'г (Р„у+ У ) 1 дз (4б) ~з (4а) Отсюда следует, что в правой части (3) у,' можно заменить на дз)сзд(з.
Вновь *) здесь можно врнвестн н другое доказательство. твк нвк ртгт уяовяетворяет волновому урвввевяю, то квжявя нз его спектрзяьнмт компонент от(е)( — ееелт«о) уювлотворяет уревненню Геяьмгоямгв. Ыо согявено уреененвю (10,2.18б) спектр Уг=-. У1О .1о Р1тн ревев зет(т) ПРН т> О В НУЯЮ ОРН Е < О. ГЧЕДОВВтСЛЫШ, Ш жДЗЯ СЕЕКтГЗЯЬГОЯ КаМВОГЮНте <ЬУВКЦНН Рт также бУдет УдовлетвоРЯте УРввнекню Гельзвоньцв, е значит н сама фУвкцва Рт Удовлетворяет волновому урзвненню.
дз дз де (з) зя," зр,' азз — лапласиан по декартовым координатам точкд Рь Действуя этим оператором )та соотиощеиие (Ц н изменяя порядок различных операций, получим изменяя порлдок операций, получим р[Г(Єл, Е„Е») = — — 1»пз -Г ~ Мт(Р„Е-(-Е»))уг(Р„(+ (,)е(Е, 1. Совершенно аналогичным образом находим р[Г (ЄЄńЕ,) = —, где р» — лапласиая по координатам точки Р,. Для стационарного паля Г зависит от Е, и Ез лншь через разность Е» — Е, = е, Поэтому, как и раньше, можно записать Г(ЄЄ(ь Е,) =1'(Рм Р„т). В этом случае д»»д(»»: — д»»д([.=-д'Едт», и вместо (5) ь»ы получим , (,, ) (дуря Рм) =л д» (бб) (5а) (5б) Таким образам, в вакууме взаимная функция когерентноети удовлеи»воняет двум волновым уривненипх» з).
Каждое из пнх описывает»»зь»ентне взаимной когерентностн, когда одна из тачек (Р, или Р,) фиксировзна, а другая тачка и параметр тмеяяютсл. Величина т представляет собой разность времен между моментами, я каторз»е рассматривается корреляция в этих двух точках. Во всех экспериментах т входит толька в комбинации ег-= Л»У) т. е, как разность хада. Таним образом, само время исключено из окончательного описания поля. Эта особенность теории частичной когерентиасти весьма привлекательна, так как в оптических волновых полях истинные временные изменения совершенно навоз»~ажно обнаружить. Основную величину в предложешюй теории, взаимную функцию когереитностп Г(Рь Р„т), можно непосредственно измерит»и например, с памошью иптерференционных экспераментов, описанных в Я 10.3 и 10.4.
10.7.2. Строгая формулировка закона распространения взаимной когерентности. Обратимсл вновь к стационарному волновому полю в вакууме. Пусть О» и ()»-.- любые дпе точки полл и „Е вЂ” любая в<юбрюкаемая поверхность, окружаюШая эти точки. Если »[ в лапласпаи по координатам точки ()„ то, согласно (5а), мм получим р[Г (()„.) .
Е„Е,) = 1 ьмг (й . й„е, е,) (7) Е» Отсюда слелует, что мы вправе использовать для Г интегрзльную формулу Кпрхгофз (8.3.13). Таким образом, функцию Г(С)„()», Еь Ед мозкио выразить через значения [Г(Р„Е)», Еь ЕД[ь где Р, принимает все положения па поверхности А, а квадратные скобки с индексом 1 (!... ),) означают запаздывание относительно Еь т. е. [Г(Р„()„Е„Е»)[» = Г (Р„Е)„Е» ", Ез), (8) *) Когхз т мала по срззззззю с временем кагерентзсстм, тп, спглзс»»о (!О. 4.10), Г (Рь Рм т) м» / (Рь Н,)е»р(- зп»й»). Из (б) схьхус», чтз з рамках ззпрпя, оперяруехпеа с кзззпмазохрпмзтмчьсхиям пучками, «зззмззз пз»зпспзнзс»ь у»з з ззхууме с харппня течипстью ппдзззяьтся урзззьнззм Геиьмгзхьпз Р»У(Єл)я Я»У(Єл)=-О, С»У(Єл)+Д»У(Єл)=О. 494 яитсееегеицня и лиярхкция чхсп»чяо когееантнога светл [гл.
10 % 1О.У) стгогля тхогия члстичиой когггентиости 495 Здесь з,— расстояние между Р, и !2» (рис. ! Гь)6). Выписывая формулу Кирхгофа в явном виде, получим Г (Оо ()„1„1,) = — '~ У, [Г (Р„!)„бм 1,)[, + А +4!» [ — Г(Р„42„1», 1»)~ -)-й» [ — Г(Р„9„1„1»)~ ) дР». (9) Здесь дуди, означает днффереипнрование вдоль внутренней нормали к А в точке Р, и Р оп, 'Хз»у ' сз»оп» ' ' з, ' (10) Согласно (5б) мы получим также 9»Г(Р„(4„1„(в) = —,, ! '," " '1, (11) где У[ — лапиасиан по кооРлинатам точки (св Рис. !Олб. ОбозначениЯ, испольСледовательно, величине Г(Р„()ь !», тв), ко- зУсиие пРи стРогоб г)огь»УлиРоеке торая появляется в правой части (9), можно ззжгиз рвсорос»россию» вязи»мои ксгсрсигиосги.
выразить в форме интеграла Кпрхгофа, содержащего значения (Г(Р», Рв, г„!в)1„»т»е Р. принимает все возможньге положения на поверхности А, а скобкя с индексом 2(1...),) означают запаздывание относительно („т. е. [Г(ЄЄ1„(в)]в=- Г( ЄЄ(„1» — и ) . (12) Здесь з, — расстояние между Р, и 4)в. Соответствующая формула в явном виде запишется слсдуюптим образом: Г(Р», !с» 1» 1») 4. [ )г» [Г (Р» Рв 1» 1 )[»+ив [д Г(Р» Р, 1» 1»)[ + 4 + й, [ — Г(Р.,)., т», гв)~ ) дР,. Пз) Здесь д!дл» означает дифференцирование вдоль ннутреяней нормали в точке Р„, а („бг„!»» — те же величины, что н в (10), но с индексом 2. Продиффереппировав (13) по 1, и ло получим д 1 (Р» !Зв !» !з) 4 ~()в [ ! 1 (Р» Рв !» !в)) + А +йг» [б Д-Г(Р», Р„(», !в)~ +й, [5- Г(ЄЄ(„1»)( )»(Р„(14) у- Г (Р», (св Г» Ев) зи3 (»в [дл Г (Ро Рг ~» !»)1' А 1»1, [ „Г(Ро Рм (м 1,)~ +й, [ „Г(Ро Р„1о 1,)~ )г(Р,.
(15) Подставляя (13), (14) и (15) в (9), найдем следующее выражение дли Г (()» »2в Г», !в)! Г(!2„д„у,. 1,)= — „„', Д((,(,[Г[ь,+р,а,[,—,', Г~ + АА +Нйв [д— Г~ +(йЛ [б —, Г~ +2»а» [,— гб Г1 +а»йв [,—,,„' - Г~ 4-й»1» [д— Г[ +й»5» [б — у! Г[ +й»й, [~ у Г[ )дР»г(Р». (16) 496 интеРееРенцне н лиеРАкпия ЧАстичнО ЕОТВРентипго снетА !Тл.
10 Первыми двуми аргументами функции Г, стоящей в правой части (16), яв- ляются Р, и Ри а скобки !. ° !»,» Означают запаздывание относительно обеих переменных 1, например, [Г)И,=Г(РО Р„(,— П, 1,— ',*). (17) Наконец, используем предположение о стационарпостн, которое означает, что Г зависит лишь от разности временных аргучентов. Запишеп, как и рань- ше, Г(РО Рьч (О 1) =Г (Рп Ри т), г —. Г,— пи Тогда д!01, == — г))дй =д)дт, и выражение (!Б) примет вид") Г(()„0мт)= —,~~~),),(г)-!»д» ~,.-Г~+У, ~ — Г| —, »1») +а,), $Г1 — 8,8, 1,",' Г1+д,~ ~ — ';„Г~+~1, ~,— „„' Г~— — ~й»» ( — Г~ +йтй» ~ Г| ~г(Р г(Р». (18) Первыми двумя аргументзмн функции Г, стоящей О пРавой части (16), яв- ляются Р, и Рю а скобки !...! означают езаг»нздывааь»е» на величину (з,— е»)(с, например, ! !» Г( „., — ',"). (19) Формул> (18) можно считать строгой формулировкой закона распространения взаимной когерентиости (!0.6.17).
Опа выражает значение взаимной функции когерентнасти для любых двух точек Цт и 0» через значения этой фупкпин н некоторых ее прояэиодных для всех пар тачек на произвольной замкнутой поверхности, окрумсающей обе этн точки. Б специальном случае совпадения точек Я» и Я» и е = 0 мы получим из (18), подставляя Г„(г) = !' 7» Р' Х,у„(т), следующее выражение для интенсивности: теи)»дд (~ «)» (7»»»(7)+(»»от»»о») (д»71 ~т~» (дтчр]! г +'Я "й(~7 ! !)-' й( Ы Н+ +)'ЯГ»~» р„' д(Л, (7!) — М вЂ”,', (УТ» ~ДТ~) ~+ +~й»дл тн (Я 7»)'7» (у!)) г)Р» ЙР»: (20) Здесь 1, п 7» — интенсивности в точках Р, и Р» соответственно, (7! = =7(РО Ре (з.— е )ус) и т.д. Формулу(20) пожносчитатьстршояформулнронкой теоремы, выражаемойуравпснием(10.6.18).Онаопределяетпнтенсинностьн про- извольной точке ф через распределение интенсивности и комплексную степень ко»трен»ности (и некоторых пронэподцых от этнл величии) па произвольной поверхности, окружа»оп1ей 0. 10.7.3.
Время когерентиостн и эффективная ширина спектра. Понятие вромснп когсрситностн, которос оказалось полезным при рассмотрении многих проблем, относящихся к полнхроматичсскому' свету, было введено в н. 7.5.8 при кзученни возмущения, нозпнкающего вследствие суперпозицни идептич- пых волновых лугов конечной лдииы.
На простом примере (случзйнан после- довательность пернодяческнх волновых лугов) мы показнли, что время ко- ") Уравнение БЕ) првиенныо н случаю рвснростренеевя отзамкнутой»юв»рхност»»ыь оров»»ольног» формы. для рвслрострвнення от плоскон поверхэоотн формулы эээчитсльно уормчюотев 1721. 497 й !0.7! стгогля ткогия члстичной когкекнтиости герентности *) Лт и эффективная ширина спектра Ле = сЛ)ЛН» получающегося возмущения связаны па порядку величины соотношением Лт Лч 1. (2!) 7»(ы упоминалн также, что подобное соотношение выполняется и прп более общих условцях, сслп под Л г и Лч понимать со»»твстствующие средние величины. В настоящем разделе мы определим эти ндлнчины и строго установим искомое соотношение взаггмност»г.
Предположим, что пучок света в точне Р делится на два пучка, которые сводятся вновь после того, как между го»ьги возникла разность хода ст. Получающиеся ннтерференциониые эффекты характеризуются фупкциеп антоко- герентнасти Г(т) 4 4)г ((+ т) )г'(()> =- 4 1 б (е) ех р ( — 2ц! )»(ч, (22) в где )г(0 — комплексное возмущение в точке Р, а 0(ч) — спрктральная плотность. '! ак как степень когерентностн двух питерферир> юших пучков выражаегся в виде !7(т) ! — !Г(т) ГГ(0), разумно (и с математической точки зрения удобно) определить время кагсренпшостц Лт спета в точке Р как но!.мнрованиую среднеквадратичную сширипу»»е) функ»гни )Г(т) !', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
