Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 129
Текст из файла (страница 129)
10.15 круг, вне которого Р„- обращается в нуль, обозначен через С. Ясно, что для данных (г', л') и ()", д") вклад в интсграл (47) для вносят лишь тс точки плоскости ), 6, которые лежат внутри области перекрытия кругов С, С' и С" (на рис. 10.15 она заштрихована). 6 10.6. Некоторые теоремы, касающиеся взаимной когереитностн В 66 10.4 и 10.5 мы рассматривали интерференцию и дифракцию квазимонохроматнческого свста и ограничивались случасз» времени задержки т, малом по сравнению с врез1енем когерентности света.
Рйы показали, что при этом с хорошей точностью заввсимость корреляционных функций от « представлена только гармоническим членом, т. е. что Рве. 10.15 Эфф»к»в»»в» область Г (Рб Р», т)»» (Ро Р ) ехр ( — 2я(тт), ввтсгрвроввввв 1ззштрвтовввв) ллв »злв«»»~о»о «орфф»»ввсвтз пропуска- У (Рм Р,) ев Р (Р„Р;) еХР ( — 2Я(тт). «»ш,'У (г Р'- 1'", д") шобр жвмысй системы с «ртс»ыо вылов»им зрвч. Влез»сигарная теория, использующая это при- «ом рва»ус» а.
блин«ение, позволяет учесть уменьшение вид- по л «, в „,т с -«с» ности в «центре» картины (з — — О), обусловленное конечными рвлмсрами источника све- Р» ° »л «:ов с «ло. в, '» в та. Однако она не принпмж т во вннмэиве нз-,",'."'„'„",'о;;„,т"„' "'.,",.'„" ~~„", "„в'„""с'."„т,".у'" менеиня впднастн с увеличением разности:»з; Р»л:т».л =, »и о,»мх, ХОДЗ. 1(ЛЯ ПРаВЯЛЬНОГО ОПИСаина ЯВЛЕПИй О-",".'1".,'в"В.", '„'„"„„',.'„,О„,'»,1', «„'„„", в случае, когда врез енеч задержки т нельзя юл т .. »»А«ЕА, «.»тр»: пРенебРечь по сРавнению с вРеменем коге- ",",'"с»сл»»Я'лт»РР;сл,",".„'т;","„'„".;,",'~,"Рм реятности, необходимо использовать более точныс иыражсиия для корреляционных функций.
Ниже мы рассмотрим соогветствувяцее обобщепие некоторых формул. 10.6.1. Расчет взаимной когерентности для света от некогерентногв источника. Пусть 1', (1) и Ув ((] — возмущения в точках Р, н Р» волнового поля, созданного протяженным (не обязательно квазимонохромагнческнм) псрвичнызт источником о. Вначале будем счнтаттч что среда между о н точками Р, и Р, однородна. Как и в и. 10.4.2, пред ~оложпм, что источник разделен на элементы «(о„ «(о„..., линейные размеры которых малы по сравнению с эффективными длинами воли, а центры находятся близ тачек 5„5„... Если Ум»(() и Ум,(() ВКЛаДЫ В У, И УВ, ВНОСИМЫЕ ЭЛЕМСНЗОМ «)О»о то У» (1) — 1 У„з (1), 490 интегогеекциа и диоглкция частично когхгзятного сззтз (гл.
10 и взаимнаи функция когерентносги определяется выражением Г(ЄЄт) =<)г,(1+т) 1';(1)> =Х<)г„,(1+т))г,(1)>, В правойчасти (2) мы пренебрегли членами типа <)г,(г-, 'т) )г„,(0>(тФл), так как можно полагать, что вклады, вносимые различнымн элементами источника, взаимно некогерентны. Мы поступим далее несколько иначе, чем в 3 10.4. Согласно (10.3.30) каждый член под знаком суммы в (2) можно представить в виде <)гл, ((+т) )г" о(1)>= 4 ) бч (ЄЄт) ехр( — 2гггот) г(э, (3) о (2) где (р р ) 1 ~о г(Р о)о'гро * о)~ г- (4) Величина, стоящая в фигурных скобках в правой части, является спектральной плотностью света, идущего от элечента оо„. источника.
Предположим, как и в и. 10.4.2, что число элемеопов источника настолько велико, что его можно считатьнспрсрывпым.Следовательно,если 1(Я„,т)г)о от=4!ий(о (ч)(027), гт. е. если 7(Я, т) — интенсивность на единицу плошади источника в единице частотного ннтервала, то, согласно (2), (3) и (6), имеем Р(Р., Р., )=У)(Р,)У)(Р,)у(~ „'., )= = ~ о(ч ехр ( — 2ьбч.г) ) У (Я, ч) Р,.
', ' ((Я, (7) а где газ-Гу„ем о~ 10 1'— "~ й) а РРЗ пг„он о-)о о о (8) — интенсивности в точках Р, и Ро, а К, н )7, — расстояния от этих точек до точки Я источника Уравнения (7) служат обобщенной формой формул ВазЦнттерта — Цернике (10.4,20) и (10,4.21), — взаимная спектральная плотность возмущений 1',=)) (Рь 1), (г„о= = 1'„, (Р„(). Здесь 1',„— вклад соответствующей частоты в возмущение, создаваемое элементом Но . Втот вклад распространяется и аиде сферической волны, поскольку предполагается, что среда однородна.
Следовательно, Сэг(" г ° т) ='о г(о) р ехр рьл г) (5) о„г (Р„ч) = и г (т) — ''-(Ы ( '), ) где )<, н )2, — расспшния между точкой Я источника н точками Р, и Р, [предполагается, что эти расстояния велики по сравнению с эффективными длинами волн), а )г =2поти =-2л)л. Амплитуда 1а„,(о)1 величины а,„(т) определяет «силу> компоненты с частотой т от элемента с(о, а агди,„(т) — сс фазу.
Из (4) и (5) следует, что 6„(ЄЄ) =- ( 1ы — '"хт 1 — )( Та„т(о) (о) ехо (гь(К„,— ~„Я (б) 1 г-. 9 10.61 некотогыя твоеемы, копающиеся взаимной когвовнтаости 491 где Г(Ро — — '( —,Ое(о, )/к(о.о„чгоо, Ь /(Р,)=~'~ — ',",'~/(5, )1К(5. Р„)В 5. ~ о о (10) По аналогии с преобрэзосаннями. используемьгмк в 9 10.4, перепишем (9) или (1О) в несколько иной форме. Пусть —,' К(5, Рмч))гг/(5, ч).=У(5, Р„ч), — '; К (5, Р„ч) )/ / (5, ч) =, У (5, Р„ч), Тогда (9) и (1О) примут вид Г(ЄЄт) =И (Р) Ь~/(Р ) у(ЄЄт).- =) лчехр( — 2п/чт) ) У(5, Р„ч)(/" (Я, Рм ч)'с(5, (12) о о где / (Р ) = ~ бч ~ ~ У (5, Р„ ч))"г(5, / (Р ) = ~ бч ) ( У (Я, Р„ ч))' г(5. (13) о о о В формуле (12), которая является обобщением формулы Гопкинса (10.4.05), взаимная функция когерентпастн н комплексная степень когерентцостн выражены через распределенно санга, создаваемое ассоцшцюванныи воображасл(ым источником.
В саном деле, согласно (11) пелнчпну У(5, Р, ч) можно рассматривать как возмущение в точке Р, обусловленное находящимся в точке Я мопохроматическим точечным источником с частотой ч, нулевой фазой и «силой», пропорциональной У /(5, ч). 10.6.2. Распространение взаимной когерентнасти. Как и в п. 10.4 4, вообразим,что поверхность,й пересекает пучок света от протяженного первгчного иста шика и (см. рнс. 10.6). Л(ы покажем, как, зная пзаимнюо когерснтногоь для нсех пар точек на поверхности, /, можно определять ее значение на любой яру~ой поверхности ."В, освещаемой светом гт,./.
Для простоты предположим, что между 4 и Я находится среда с показателем преломления, равным единице. Взаимную когерентность лля любой пары точек (4, и ()о на л)можно рассчитать с помощью (12). В этой формуле У представляст собой оюнохроматпческое виэм) щенне, и слг/к1вательно, его можно определить на основе принципа Гюйгеиса — Френеля при условии, что известны возмущения во всех точках поверхности А; имеем и(ЯД„ч)=~У(5, Р„)'— "г(,гооп)Л, ИР,.
(14) ч/ Если среда между источником и точками Р, и Р, неоднородна, мы можем поступить так же, как в 4 1Огй а именно заменить множители (ехр//г/4,)//гт на /сК(5, Рп ч)/ч, где К вЂ” соответствующая функция пропускання среды. Тогда вместо (7) мы получим Г(ЄЄт) =)'/(Р,) )' /((Ро) у(ЄЄт) = =с") — „ехр( — 2я/ът)~/(5, ч)К(5, Р,. ч)К'(5, Р„ч)НЯ, (9) о о 492 внтаечегыцнн и лнчеькция частично нвгегхитного свата (гл. !О Здесь з, означает расстояние между произвольной точкой Р, на ! и точкой 0г, а Л, — обычный коэффициент наклона.
Совершснио аналогичное соотношение справедливо и для (7(3, ()н т). Подставляя «ги формулы в (12) и изменяя порядок интегрирования, получим для взаимной когерентности следующее выражение: ГФ„!2м т)= =Д ', '~у(ЄЄт)Л,(т)Л,"(т)ехр( — 2п!т(т — — '- — т~~бт, (15) АА где У(Р. Р., т0=1 (7(5, Р„.)У (3, Р„.)~П.
(16) т т1тт й !0.7. Строган теория частичной когсрснтности т) !0.7.!. Волновые уравнения для взаимной когерентности. 11скоторые теоремы, ньюсдснные выше и огвосящиеся к корреляппоппьгя функцияи, во многих чертах поггобны ~ео!эеыам, относящимся к самону комонексночу возмущению. Например, формула Вап-Цнггерта — Цернике (10.4.21) для комплексной ") Матерчат„наложенный в мои параграфе, в основном базируйся н исследованиях вольфа !!5, 7!1. Цвойное интегрирование в (15) означает, что точки Р, и Р, пробегают поверхность М независимо. Здесь коэффициенты наклона Л,(т) я Л,(т) зависят от частоты и медленяо изменннггся с т по сраниенюо с изменением остальных членов.
Вели ширина эффективного спектрального интервала света достаточно цала, этн коэфф~шиенпл можно заъшнить на Л, =-Л~(т), Л, =-Л,(т), где т средняя частота света. Согласно (12) интеграл по т равен Г(Р„Рм т — (з,— зз)(с). '!'аким образом, окончательно получим ррг(р„р„т — н:"') Г(!2о !2м т) = )~ ' Л,Л;г(Р,г(Р (.1 7) АА Это я есть искомая формула, в которой взаимная функция когерентности точек О, н О, поверхности 50 выражена черна взвил~кую интенсивность всех пар точек поверхности .4.
Особый интерес представляет случал совпадения точек !), и О, и т =-0 (общую точку обозначим через !2). Тогда левая часть соотношения (17) преврапгаегся в интенсивность 7(Г2). Если, кроме того, мы подставим в праву!о часть функцию Г, выраженную через интенсивности и коэффициент корреляции у, то формула (!7) примет нпд юр>-.~~~ '"'' 'ггь(т„г..~)ктигнг,.
ач тгтт В этом соотнгнпенин интешианогть в произвольной точке !2 выражена в виде суммы вкладов, вносимых всеми параличи элементов произвольной поверхности .4 Каждый вклад пропорцконален среднему геометрическому нз интснснвпос~ей н двух элементах, обратно пропорционален произведению расстояний этих элеменпэн до О н входит с несом, раиным соотаетглву!ощему значению коэффициента корреляции 7. Соотношения (17) н (18), предложенные Вольфом, обобщают закон распространения, найдснвьп! Цернике (10 4 45), и формулу (10.4.46) для интенсивности в частично когерептпом волновом поле. $10.71 ствогдя теории ччстичной когвгентностм степени когерептности в плоскости, освещаемой протяженным квазимонохроматическпм первпчныч источником, оказывается идентичной формуле для комплексного возмущения в дифракциопной картине, возникающей при дифракпин на отверстии, размеры и форма которого совпадают с рачмерзмп и формой источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
