Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(123) д~ дт т дх "дт 'дх Уравнения (12.1) — (12,2) можно предварительно упростить, проведя оценку малости одних членов по сравнению с другими. Масштабами для такой оценки выбирают длину 1 трубы, среднюю по сечению трубы скорость и и скорость звука с0 в жидкой среде. При выбранных масштабах получаются следующие значения порядка первых двух членов в левой части уравнения (12.1): О = и О и~— где Π— порядок величины. 322 расчетов и экспериментов могут быть значительными. Тогда приходится применять модели, в которых учитывается нестационарность коэффициентов.
Отмеченные особенности математического моделирования нестационарных процессов достаточно наглядно можно показать на примере неустановившегося движения вязкой сжимаемой среды в упругой цилиндрической круглой трубе. Для осесимметричного движения среды три уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах (х, т, 0) сводятся к двум уравнениям: Сравнение полученных порядков двух членов дает (~,д~,/д~~ '~ д.,/д (-„ Ясно, что при и (( сО второй слева член в уравнении (12.1) допустимо считать малым. Аналогично определяется малость третьего слева члена в том же уравнении, Члены, находящиеся в квадратных скобках в правой части уравнения (12.1), при т/1 = Й имеют порядки 3 дх2 3~2' дт2 ~с2~2' т дт ~2~2 Первый из записанных здесь членов является пренебрежимо малым по сравнению со вторым и третьим членами, поскольку обычно 1с «1.
При и~ >> и„уравнение (12.2) можно исключить и давления считать одинаковыми во всех точках поперечного сечения трубы. Кроме того, в уравнении (12.3) малым будет член итдр/дт, а в случае и « сО допустимо также пренебречь членом и,др/дх. После отбрасывания членов высших порядков малости система уравнений (12.1) — (12.3) заменяется усеченными уравнениями движения среды и неразрывности: д и~ 1дих 1 д дит ит + — + — — + дт2 т дт Здх дт т ди 1 др — — — + ~/ д~ р дх (12.4) др ди, ит ди . — +р '+р — '+р — '=О.
д~ дт т дх (12.5) Пля перехода к усредненным по сечению трубы величинам все члены уравнений (12.4) и (12.5) следует умножить на 2тстйт и затем проинтегрировать в пределах от О до т = тО.. 323 11" то то то д 1 д Г Г д их 1дих — / 2хти йт = — — — ~ 2хтрйт+ и ~ 2хт * + — йт+ а1 рд / дтг т дт О О О 70 у д ди, + — — 2~гт + — Йт; (12.6) 3дх дт т то то д ( / ди, и, — ~ 2ктрйт+ р / 2кт — + — Ыт+ д1 „/ дт т о о д + р — / 2к ти~ йт = О. (12.7) дх,/ После вычисления интегралов уравнение (12.6) принимает вид дЯ кто др ди, 2 дито — = — — — + 2кто и + — к тою " .
(12.8) д~ р дх дт „„, 3 дх (ди, 1 Здесь ~ — ~ = О, и, = и„о при т = то (то — радиус про- ~ д.1„, ~0 Р~ (12.9) где то — касательное напряжение в среде на стенке трубы. Величина и„в случае упругой трубы определяется соот- ношением дто и7 т0 д (12.10) При малых деформапиях сечения трубы без учета инерции стенки скорость изменения тО равна дто 'О дг д1 Ест й д~т то (12,12) д1 б д1 (12.11) где о — напряжение в стенке трубы; Е, — модуль упругости материала стенки; б — толщина стенки. 324 ходного сечения трубы). Если неустановившееся движение рассматривается при ламинарном режиме, то дополнительно к уравнению (12.8) можно использовать закон вязкого трения Ньютона, согласно которому (12.15) причем (см.
гл. 1) др Р др В' (12.16) где  — модуль объемной упругости жидкой среды. Пренебрегая в уравнении (12.14) малым членом и исключая с помощью соотношения (12.16) плотность р среды, из уравнения (12.15) получаем следующее математическое описание неустановившегося движения сжимаемой среды в упругой трубе: д~ 2тО др р — + — = —— д1 ТО дх' Вт дю др Рдх д~ ' (12.17) (12.18) В где Втр — — приведенный модуль упругости жидкой 2тОВ б Ест среды в упругой трубе. В уравнения (12.17) и (12.18) кроме давления р и скорости ю входит касательное напряжение тО на стенке трубы.
Эту зависимую переменную необходимо описать дополнительным 325 Согласно соотношениям (12.10) — (12.12), имеем О др ""ю бЕ„д1 В результате подстановки величин из формул (12.9), (12.13) и деления на ттОг уравнение (12.8) принимает вид д~ 1 д ~ 2ритО др~ 2тО р — —, и = —. (12.14) д8 р дХ ~ ЗбЕ, д~ / ртО ' т~тОг Сравнение порядков членов, стоящих в круглых скобках, показывает, что второй из них мал по сравнению с первым. Уравнение (12.7) после вычисления интегралов и деления на хтО можно записать так: г др 2ртО др д~ — + — +р — =О, д~ бЕст дй дх 4ри тО кс— ТО (12.19) Если движение турбулентное, то имеем , 2 тОкс = 8 (12.20) Подстановка то„„согласно соотношению (12.20), в уравнение (12.17) делает его нелинейным.
Чтобы излишне не усложнять расчет, зависимость ток от и линеаризуют, представляя в виде Арюо тОкс = 4 О, где оо — усредненная по сечению трубы скорость жидкой среды при установившемся движении; и' и т „— отклонения скорости о и касательного напряжения ту„, от своих установившихся значений. Третий из перечисленных выше случаев ближе всего к реальному неустановившемуся движению жидкой среды в трубе. Закономерности изменения трения в нестационарных потоках, как впервые показал И.С.
Громека, отличаются от квазистационарных. Вид этих закономерностей зависит от вида самого процесса, что не позволяет в общем случае представлять нестационарное касательное напряжение тс „соотношениями уравнением, вид которого определяется условиями, принятыми при дальнейших расчетах. Используют одно из следующих трех условий: вязкость среды пренебрежимо мало влияет на процесс; допустимо использовать квазистационарпые значения то„, необходимо учитывать нестационарный характер изменения то „.
В первом случае то = О, соответственно из уравнения (12.17) исключается член, учитывающий гидравлическое сопротивление трения трубы. При этом математическое описание неустановившегося движения сжимаемой жидкой среды в упругой трубе принимает форму, предложенную Н.Е. Жуковским и Л.
Аллиеви. Во втором случае то = то„,. Квазистационарное касатпельное напряжение ток, на стенке трубы при ламинарном неустановившемся движении определяется соотношением типа (12.19) — (12.21). В связи с чем Д.Н. Попов предложил определять то„посредством функции* (12.22) где тон(л) и ~'(л) — изображения по Лапласу отклонений касательного напряжения на стенке и средней по сечению трубы скорости жидкой среды от своих установившихся значений; л — переменная в преобразовании Лапласа;,У1 ~'тр Р и 12 7'то — функции Бесселя первого рода, первого и второго порядков соответственно.
Функция (12.22) связывает изменения касательного напряжения на стенке трубы с изменениями средней по сечению трубы скорости жидкой среды при любых видах нестационарных гидромеханических процессов, при которых неустановившееся движение среды допустимо приближенно описывать линеаризованными уравнениями. После перехода от изображений к оригиналам (функциям времени) с помощью функции (12.22) находятся уравнения, в которых учитывается влияние предыстории («памяти») процесса на значения нестационарного касательного напряжения т0„, т.е. на сопротивление трения трубы. При гармонических колебаниях жидкости л = 7м (ив угловая частота колебаний). В этом случае функция (12.22) принимает вид тон(~~~) ~~ Д(Ьет1~ + ~'Ьеь® ю'(7Р) 4(Ьет2с„+ д'Ьеъ2~) где ~ = 2~2ьз, Г = ыт~б((8и), Ьет1с„, Ьет2с., Ьег1~, Ьег2~ — функции Кельвина (Томсона), которые затабулированы и определяются по таблицам (см., например, Носова Л.Н.
Таблицы Попов Д.Н. Обобщенное уравнение для определения касательных напряжений на стенки трубы при неустановившемся движении вязкой жидкости // Изв. вузов. Сер. Машиностроение, 1967. Мя 5. 327 1,5 0,5 О 1 70 н — ~ат0 кс~ где ю~ = 0,5~~~~+ 0,4; т0 „, можно вычислять по соотношению (12.19) при и = и'. Все три рассмотренных случая определения касательного напряжения будут иметь место также тогда, когда неустановившееся движение жидкой среды рассчитывается без учета ее сжимаемости при абсолютно жестких стенках трубы, При таком расчете уравнение (12.17) движения среды записывается в обыкновенных производных, поскольку уравнение (12.18) исключается.
Для оценки указанного допущения полезно сравнить порядки членов в уравнениях (12.17) и (12.18). При т0 = 0 порядок скорости, согласно уравнению (12.17), составит (12.23) 328 ~~Я'~о 0 ш'11 функций Томсона и их первых производных); В = 11'г0/(8и), о=10 т0 = т0г0~/(32ри~) — безразмерная скорость и касательное напряжение соответственно. Изменение мнимой и ве- 1,0 а=5 щественной частей функции Я=4 И~„„ф) при разных безразмерных частотах Ы показано й=2 на рис. 12.1, в соответствии с которым касательное напряжение на стенке трубы по фазе Я=О 1п1~И~ „(уГ)~ ~р = агс1~ опереящ.(уж)) %~И'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
