Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если предположить,что интегрирование уравнений на 1-м временном уровне выполнено для всех точек вдоль оси трубопровода, то для определения давления и скорости жидкости в точке (з,~ + 1) следует через эту точку провести прямую и обратную характеристики. Они пересекут линию 1-го временного уровня в точках с и ~. Значения давления, скорости и касательного напряжения, соответствующих точкам с и ~, вычисляются путем линейной интерполяции между значениями этих величин в узлах М, О и Л~, О.
Затем можно найти давление р, +1 и скорость ю, +1, решая уравнения (12.41) и (12.42), которые предварительно представлены в конечных разностях: 1 4Ь~ (1~1,~+1 — 1~с) + — (ра,~-~-1 — рс) + — гос = О; (12.43) д Рсо ' р10 1 4Ь~; (о, 1+1 — оу) — — (р, +1 — ру) + го~ = О. (12,44) Р о, Р~о В приведенной последователйности по известным р, а и то во всех узлах сетки на временном уровне 1 вычисляют значения давлений и скоростей для узлов на временном уровне 1„+1. Такие вычисления не могут быть выполнены для граничных точек (О, 1+ 1) и (т, 1'+ 1), в которых значения р и и находятся при решении уравнения (12.43) или (12.44) совместно с уравнениями, описывающими процессы в подключенных по концам 336 трубопровода устройствах, Поскольку последние уравнения являются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, для их интегрирования применяют численные методы Рунге — Кутта — Фельберга 4 — 5-го порядков или, в случае жесткой системы дифференциальных уравнений, метод Гира и др.
Рассмотренный алгоритм расчета нестационарного гидромеханического процесса приведен на рис. 12.5. Начало Ввод параметров элементов, рабочей жидкости и решения, соединение узлов Определение шага Лг интегрирования систем уравнений трубопроводов Интегрирование систем уравнений трубопроводов на шаге Л( во всех сечениях, кроме граничных Передача дифференциальных соотношений в математические модели граничащих с трубопроводами устройств и интегрирование общей системы обыкновенных дифференциальных уравнений на шаге Ж Расчет то„на новом временном уровне е =г+Лг Печать результатов нет Конец Рис, 12Л.
Алгоритм расчета нестационарного процесса 337 В алгоритме на каждом временном уровне предусмотрен расчет касательного напряжения то. Этот расчет проводится соответственно выбранной закономерности изменения то в зависимости от и. Если учитывается нестационарность тО, то такую зависимость позволяет получить функция (12.22). Согласно предложению автора данной функции, нестационарное касательное напряжение можно приближенно определять, используя уравнение "г Ойто„8ри й~ с1 — — + тон = — у + 261 рг16в 4и й Ыо ~й (12.45) Зилке В.
Трение, зависящее от частоты, при нестационарном течении в трубопроводе // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Сер. Теоретические основы инженерных расчетов. 1968. Хв1). Холмбоу Е.П., Руло В.Т. Влияние вязкого трения на распространение сигнала в гидравлических линиях // Тр, Амер. о-ва ннж.-мех. Сер. Теоретические основы инженерных расчетов.
1967. Мя 1. 338 Коэффипиенты с1 и д1 уравнения (12.45) целесообразно предва,- рительно найти из условия минимального расхождения амплитудно-фазовых частотных характеристик, рассчитанных с помощью (12.45) и (12.22). Путем перехода в функции (12.22) от изображений по Лапласу к оригиналам (обратного преобразования) выводится также уравнение*, опубликованное В.Зилке в 1968 г. Сравнение процессов, вычисленных при использовании различных моделей трения, дано на рис. 12.6. Для расчета выбрана труба длиной 1 = 36,1 м, диаметром Ыв = 25,4 мм, в которой гидравлический удар возникает вследствие быстрого закрытия клапана в концевом сечении, кинематическая вязкость жидкости и = 0,4см /с. Кривая 1 — расчет при то — — ток„кри- 2 вая 2 расчет то = тон по уравнению (12.45) при с1 = О, 0125, 4 = 0,05; кривая 3 — расчет то = тон по приведенному в названной выше статье уравнению; кривая ~ экспериментальная**.
Наиболее близки к реальному процессу (кривая 4) процессы, рассчитанные с учетом нестационарности касательного напряжения (кривые 2 и У), причем алгоритм, в котором использовано уравнение (12.45), проще алгоритма, по которому Р-Ро репо 0,4 -0,4 -0,8 Рис. 12.6. Вычисленные (1, 2, 3) и экспериментальные Д) колебательные процессы в трубе получен процесс Ж Уравнения (12.17) и (12.18) можно также интегрировать с помощью метода конечных разностей, но в этом случае не исключена опасность неустойчивости решения.
12.4. Энергетические особенности неустановившихся течений В рассмотренных ранее расчетах нестационарных гидромеханических процессов применялись уравнения движения жидкой среды. Неустановившиеся течения в трубах и других каналах можно также описать с помощью уравнения баланса мгновенных значений мощностей. Если не учитывать сжимаемость жидкой среды и ограничивающие поток стенки считать абсолютно жесткими, то уравнение будет иметь вид (12.46) У1 = У2+У~+У~ где _#_1 и Л12 — мгновенные мощности потока в контрольных сечениях 1 и 2 (см. рис. 11.2) соответственно; ̄— мгновенная мощность потерь вследствие диссипации энергии; .У» — мгновенная мощность, связанная с проявлением инерции жидкости. Условившись, что закон распределения давления 339 во всех точках живого сечения потока близок к гидростатиче- скому, определим сначала мгновенную мощность для каждого из контрольных сечений: Л~; = ю;+ — ' рди;сБ+ — и;сБ, 5~ Я~ (12.47) где ~ = 1 или 2 в зависимости от выбранного контрольного сечения.
А чтобы далее получить уравнение, члены которого выражены измеренными высотой столба жидкости напорами, мгновенную мощность Х„представим соотношением (12.48) ~~ и = РдЮ нпп.н > где ߄— значение нестационарного расхода жидкости, протекающей в трубе (канале); Ь„„— мгновенное значение потерь напора при неустановившемся течении. Согласно условию неразрывности течения несжимаемой жидкости, имеем ~~~н — — и~05 = игдир.
(12.49) Мгновенную мощность М„находим интегрированием по живому сечению 5 потока и длине 1 участка между контрольными сечениями мощности, необходимой в данный момент времени для ускорения или замедления жидкости массои РНИКА, т.е. Х„= р иЙНЯ. (12.50) 2 г ~~ + — + ~ = я2 + — + + Йд.н + Йи. (12.51) рд 2д рд 2д 340 5 О Делением равенств (12.47), (12.48) и (12.50) на рдЯ„с учетом (12.49), мгновенные мощности приводим к единице весового расхода жидкости. После подстановки таких удельных мощностей в (12.46) и применения формул (11.6) и (11.7) полу- чаем В гидравлике уравнение (12.51) обычно называется уравнением Бернулли для неустановившегося потока вязкой несжимаемой жидкости, хотя в действительности оно имеет только общие черты с выведенным Д.
Бернулли уравнением (см. 5.1). Потери напора Ь„н, как и при установившемся течении, можно выразить соотношением „г Ьнн=~,н — ', 2=1 ИЛИ 2, .Н 2Нф~ (12.52) где 2',;и — коэффициент нестационарного гидравлического сопротивления участка трубы или другого канала, ограниченного сечениями 1 и 2; выбранный в формуле индекс показывает по какой скорости вычисляются потери напора. Величина Ьн является инерционным напором, при выводе уравнения (12.51) этой величиной был заменен интеграл: (12.53) 341 где,дн — нестационарный коэффициент количества движения, вычисляемый с помощью формулы (11.6), в которую здесь должны подставляться мгновенные значения и и и. Нестационарные коэффициенты а1, а~, 2,;н и 9н в большинстве случаев крайне сложно определять как экспериментальным путем, так и теоретическими методами.
Вследствие этого в расчетах часто используют квазистационарные значения перечисленных коэффициентов, которые проще найти по результатам экспериментов, выполненных при установившемся движении жидкости. Нестационарные гидромеханические процессы, рассчитанные таким способом, во многих случаях с достаточной для практики точностью подтверждаются процессами, зарегистрированными при испытаниях устройств и систем. В свою очередь теоретические и экспериментальные исследования показывают, что распределение местных скоростей в потоке и гидравлические сопротивления труб, а также других каналов, при неустановившихся течениях могут существенно изменяться во времени. Эти изменения вполне закономерны и могут быть причиной значительных различий между процессами, полученными при расчетах с использованием квазистационарных значений коэффициентов, и реальными процессами (см.
2 12.3). Энергетические особенности неустановившихся течений по сравнению с установившимися проще всего выяснить на примере движения жидкости в цилиндрической круглой трубе. Для той части трубы, где влияние начального участка мало, допустимо принять а1ю1 —— а2и2 и записать уравнение (12.46) 2 2 в виде (12.54) Р1 Р2=Кл . +И" . Лля принятого в данном случае равномерного движения жидкости (сохраняется значение скорости ~ и распределение местных скоростей по живому сечению вдоль оси трубы) в результате вычисления интеграла (12.53) находим инерционный напор Щди ЬЩ, н н д д~ 2д й (12.55) После подстановки выражения (12.55) уравнение (12.54) приводим к виду сЬ рЬ ~Ц„ Р1 Р2 — Рп.н + днР + > (12.56) 21тон р~с~~ Р1 Р2 — + го (12.57) Вычитая из уравнения (12.56) уравнение (12.57), легко по- лучить Р .
го Рго(0н — 1) ~ о 4~к тан= ' + 2Р 2 й 4 Й вЂ” + (12.58) 342 где рн „= рдйн н — потери давления вследствие диссипации энергии неустановившимся потоком жидкости. Разность давлений р1 — р2 при несжимаемой жидкости и абсолютно жесткой трубе можно определить также с помощью уравнения движения (12.17) в виде Формула (12.58) показывает, что нестационарное касательное напряжение на стенке трубы связано с потерей давления р„.н, с ускорением жидкости и нестационарным коэффициентом ~3н количества движения. При,Вн =.1 Рп.н ~'О Он— (12.59) 343 В соответствии с формулой (12.59) при неустановившемся течении касательное напряжение на стенке трубы определяется только диссипацией энергии в потоке, если местные скорости равномерно распределяются по сечению трубы (прямоугольный профиль скоростей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
