Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 42
Текст из файла (страница 42)
О~~М жает среднюю по сечению потока скорость жидкости. Это связано с описанным в 8 9.3 искажением профилей местных скоростей при колебаниях жидкости в трубе ( см. рис. 9.7). Для значений Г > 10 где Т характерное для данного процесса время. Согласно уравнению (12.18), 02(~) — В Т. р1 тр Соотношения (12.23) и (12.24) показывают, что сжимаемость жидкой среды и деформации стенок трубы мало влияют на процесс, если Т»1 Втр (12.25) Так как Втр —— рс~ ~(см. гл, 1), неравенство (12.25) можно представить в виде Т » —. (12.2б) сО 12.2. Примеры аналитических методов расчета неустановившегося движения жидкой среды в трубе Используя модель «несжимаемая жидкость — абсолютно жесткая труба» и принимая, что гидравлическое сопротивление трения трубы подчиняется соотношению (12.20), можно сравнительно просто определить параметры процесса.
С помощью уравнения (12.17) можно рассчитать процесс разгона жидкости в трубе при внезапном открытии клапана на ее конце. Если в начале трубы поддерживается постоянное 329 Условие (12.2б) означает, что сжимаемость жидкой среды, находящейся в упругой трубе, мало влияет на нестационарный процесс, если его характерное время на порядок превышает время распространения возмущения от одного конца трубы до другого.
Кроме уравнения, описывающего касательное напряжение то на стенке трубы, для решения системы уравнений (12.17), (12.18) необходимо иметь начальные и граничные условия, определяющие значения р и ~ в начальный момент времени, и закономерности, которым они должны удовлетворять на концах трубы при рассматриваемом нестационарном процессе. ИУ РЮ Р~ + (тр = Ро~ (12.28) 1 где ~тр = ~кл+Л вЂ” — коэффициент гидравлического сопротив~о ления трубы с установленным на ее конце клапаном.
Уравнение (12.28) описывает неустановившееся движение жидкости в трубе, поэтому при использовании формулы (12.27) вместо з„подставлена мгновенная скорость о и принято, что коэффициент ~„л сопротивления клапана имеет квази- стационарное значение. Разделяя в (12.28) переменные, полу- чаем Й= 2Ию 2дЬо — ~трю~ сйг Ыо + (12.29) ~2д~О /~2дБо — ф,тр'у ~ЛАБО + у~~тр~/ Ро где 6о = —.
Рд Выполнив интегрирование (12.29), найдем (~Л~~~о+ ~(Т р~'1 ~/2дйц~ Р ~,~/2д/юп —,/г Ро) С помощью (12.27) функцию (12.30) приводим к виду (12.31) 330 давление ро, а после клапана давление равно атмосферному, то по окончании процесса в соответствии с уравнением Бернулли рю~ ро= С..+А —, (12.27) "о где ~„л — коэффициент сопротивления открытого клапана; ю — скорость установившегося движения жидкости в трубе; 1, цо = 2то — длина трубы и диаметр ее проходного сечения соответственно. Формулы (12.20) и (12.27) позволяют привести уравнение (12.17) к виду в!в„ 0,В 0,6 0,4 Рис. 12.2. Процесс разгона несжимаемой жидкости в абсолютно жесткой трубе 0,2 0 1 2 3 4 5 иго Из (12.31) следует, что и е$(Т0 иу А~ТО + 1 (12.32) 331 1ия Здесь Т~ = — характерное для процесса время.
2да0 В соответствии с (12.32) процесс разгона несжимаемой жидкости в абсолютно жесткой трубе при мгновенном открытии клапана является апериодическим (рис. 12.2), Продолжительность процесса зависит от значения Т0, на которое, согласно соотношению (12.27), влияет гидравлическое сопротивление открытого клапана и сопротивление трения трубы. При отличии этих сопротивлений от своих квазистационарных значений (принятых выше) продолжительность процесса изменится. Вследствие сжимаемости жидкости и упругих деформаций стенок трубопровода как при быстром открытии, так и при быстром закрытии клапана на конце трубы возникают колебания жидкости.
Такой процесс называют гидравлическим ударом, Впервые задача о гидравлическом ударе была решена Н.Е, Жуковским и Л. Аллиеви. При мгновенном закрытии клапана жидкость, непосредственно натекающая на клапан, останавливается тоже мгновенно. Это вызывает повышение давления в концевом сечении трубы. Из-за сжатия жидкости и увеличения диаметра трубы вблизи концевого сечения увеличивается обьем, который заполняется жидкостью, движущейся по инерции в остальной части трубы. По мере распространения волны сжатия жидкости и увеличения диаметра трубы вверх по течению происходит торможение жидкости.
После того, как волна дойдет до Ро Рис. 12.3. Распространение волны давления вверх по течению (а) и график изменения давления перед клапаном (6) входного сечения трубы, давление в трубе повысится на величину р и станет больше давления р1 на входе в трубу. Под действием возникшей разности давления происходит истечение жидкости из трубы в объем, примыкающий к входному сечению трубы (рис. 12.3, а).
Истечение жидкости сопровождается распространением обратной волны вниз по течению. При прохождении этой волны жидкость расширяется, а трубопровод сжимается до своих первоначальных состояний. В момент прихода обратной волны к клапану давление в трубе достигнет значения, которое было до закрытия клапана, но направление движения жидкости будет противоположным первоначальному. По инерции жидкость стремится оторваться от закрытого клапана, что приводит к падению давления на величину руд и распространению волны пониженного давления вверх по течению. Если не учитывать диссипацию энергии, то рассмотренный процесс будет незатухающим. График изменения давления перед закрытым клапаном изображен на рис. 12.3, б (здесь со — скорость распространения волны).
Величину 21/со называют фазой еидравлическоео удара. Значение ударного давления р в концевом сечении трубопровода без учета вязкости жидкости можно определить с 332 (12.33) Уравнение (12.33) относится к классу гиперболических уравнений. Чтобы привести такое уравнение к каноническому виду, воспользуемся новыми переменными: Отсюда х=с В новых переменных д2 д2 д2 д2 — = — +2 — + дд д~'2 д~д71 дт~~ ' д2р 1 д2р 2 д2р 1 Д2р дх2 с2 дз~~ с~~ д~д9 с2 д~2 После подстановки этих производных уравнение (12.33) принимает вид д р — = О.
д~дц (12.34) Дважды интегрируя уравнение (12.34), определяем ударное давление р = р,д ру =~(6+УЖ) (12.35) где Г(~) и ~(ц) — произвольные функции. В первоначальных переменных решение (12.35) уравнения (12.33) представим следующей суммой двух произвольных функций: р,. =Г ~ — — +~ ~+— (12.36) ЗЗЗ помощью уравнений (12 17) и (12.18) при го = О. Дифференцируя первое из этих уравнений по т, второе по 1 и беря разность полученных после дифференцирования уравнений, находим д2 д2 со2 — = О. дР дж2 Продифференцировав теперь уравнение (12.17) по 1, а уравнение (12.18) по х и взяв разность результатов, получим ~2 д2, (12.37) Решение уравнения (12.37) находим так же, как решение уравнения (12.33).
Это решение имеет вид 1 х 1 х ~= — — Г~ — — + — ~~+— (12.38) рсО сО рсО сО Заметим, что вычисляемые с помощью формул (12.36) и (12.38) значения руд и ю отсчитываются от своих начальных значений ро и ио, которые были в момент времени перед за- крытием клапана. 21 При О < 1 ( —, т.е. в пределах первой фазы гидравличе- сО ского удара, согласно (12.36), а, согласно (12.38), Отсюда (12.39) 'руд = рс0~0 334 Формула (12.39), известная как формула Жуковского, показывает, что повышение давления при мгновенном закрытии клапана пропорционально уменьшению скорости истечения от юо до О . Полезно заметить, что если бы не учитывалась сжимаемость жидкости и деформация стенок трубы, то повышение давления достигло бы бесконечно большого значения.
Рассмотренный гидравлический удар, возникающий при мгновенном изменении открытия клапана называют цр.немым. Уравнения (12.36) и (12.38) позволяют рассчитывать изменения давления перед клапаном, в любом сечении трубы, а также в тех случаях, когда закрытие или открытие клапана происходит за конечное время. 12.3. численные методы расчета нестационарных гидромеханических процессов Гидравлические системы энергетических установок, летательных аппаратов, роботов и других машин обычно состоят из большого числа разнообразных устройств, соединенных между собой трубопроводами, для описания неустановившегося движения жидкости в которых могут потребоваться уравнения (12.17) и (12.18). Математические модели самих устройств, подключенных к трубопроводам, в общем случае представлены нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Поэтому расчет нестационарных гидромеханических процессов в таких системах связан с решением дифференциальных уравнений в частных производных при определении граничных условий из одновременно решаемых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы получить указанные решения, необходимо использовать численные методы. Алгоритм расчета состоит в следующем, Для численного интегрирования уравнений (12.17), (12.18) применяется метод характеристик, который основан на том, что независимые переменные 1 и х связаны между собой уравнением характеристик: (12.40) С помощью характеристик (12.40) уравнения (12.17), (12.18) заменяют двумя уравнениями в полных дифференциалах: Ию+ — др+ й = О.
1 4то (12.41) Рсо Р"о сЬ вЂ” — др+ й = О. 1 4то (12.42) Рсо Рпо При решении применяют прямоугольную сетку с узловыми точк-ми, густота которых определяется числом разбиений т по длине трубопровода. и выбранным шагом Л1 по времени. Выбранный шаг должен удовлетворять критерию Куранта— Леви: Ьх Л1 < —. сд 335 Рис. 12.4. Участок сетки с характеристиками Для обеспечения устойчивости расчетов принимают Ьх Ьг= 1, 05со Участок сетки показан на рис, 12,4. Возьмем точку, которая лежит на пересечении вертикальной линии г и горизонтальной линии 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
