Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще в середине ХНП! в. Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндрические башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии набегающего ветра перпеш1икулярную к направлению ветра силу, движущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях.
Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляцнонном обтекании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и, в частности, задача об обтекании крыла. 95!О плоскоБ БезнихРезос ДВижение жидкости [!'л, в Уравнение (с — действительная постоянная) в=сей !' (51') дает переход от декартовых координат х, у к вллиилтичесхии координатам 1, е. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную и мнимую части, будем иметь: х [- су =- с с Л (с+ (а() = с сй с сов т(+ вс зй Е в[ и и, х= сей ссовть у = с вй ( в(п й. Полагая здесь с =- а = сонэ!, получим семейство эллипсов (рис.
69) х ! у~ с!сйв а + свай! а с полуосями а=сей а, й=свй а и фокусным расстоянием с= Раз — Ьв; по,чагая и = р = сопв(, получим семейство хв ув с' сова В св в(пв В софокусных с предыдущими эллипсами аилербол, имеющих полуоси с сов [в и с жп р. Рассмотрим теперь комплексный потенциал )( = А СЬ (" — (), (52') Рнс. 69. где А и ( = а+ вр — действи- тельная н комплексная постоянные. Переписывая этот комплексный потенциал в форме 9+ !ф = А СЬ [(1 — а)+в(й — Р)[, сразу видим, что ф=О, если ."=а или т[='Р, т. с. нулевая линия тока состоит из эллипса с = а и гиперболы В =[в (на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение постоянной А, составим выражение сопряженной скорости — ЛХ ид Ле А ей (" — т) Ле Ль ' ач свйч н вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса с = а, Будем иметь (З вЂ” угол между вектором Ъ' и осью Ох): Р— !ваа А вй(г — т) А .
е ! А = [(г [е = — Пт ' = — Вп! —,= — е й 4О) овтзклние эллипса, нллстинки и дг. откуда получаем !е '' = — е —" е — 'Ь. с Из последнего равенства вытекает: 0 =Р, А=с! Ь' !е", причем постоянная а может быть, по предыдушему, выражена через полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул: сйа= — =, зйа= — =, 1йа и а Ь Ь Ь с )гиа — ЬЯ с Ь' а~ — Ьг а гак что е" = с'и а + ай а = —, А = (а + Ь) ! Ь' Итак, совокупность равенств у = (а+ Ь) ( И ! сп !г — "), е = с с'и "., 7ЬЗ) где, напоминаем, Ь Т=а+юР=агГй — +гй, с=Уаз — Ьз, две г параметрическое выражение кол|плексного потенциала у (г) обтекания эллиптического иилиидрас полуосями а и Ь У плоским безвихревым потоком несжимаемой жидкости, имеющим скорость на бесконечности, равную по величи- Ь не ~ !г ~ и направленную под углом 6, к большой оси эллипса; угол Р =9 принято 4 называть углом атаки.
Картина линий тока показана на рис. 70. Для построения линий Рнс. 70. тока и изопотенциальных линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей, ~вторые получатся исключением г и и из системы уравнений: в = (а + Ь) ~ Ъ' ( ей (! — и) соз (и — р), ф = (а + Ь) ~ Ъ' ~ ай (Š— а) з!и !и — Р), к=сев|совий у = с зп с з!и тн (гл.
ч плоское всзвих! квоа движьниь жидкооти сйг= — зй"= г, / ге тогда будем иметь / =- (а+ Ь)! 1/„1~ ' сй 7 — Р/,—: — 1 зй т (54) или, заменяя: с 5 7 = с 5 (и + ф) = — (е" ь 1В + е - ~ - !Ь), 1 2 ай у=ай(а+ ф) = — (е" ь'З вЂ” е-"-1Ь), 1 2 а~-Ь е" = —, с с е-" = —, а+Ь' получим еще такое выражение для /: / = — (а+ Ь)~ 1/ ~ !Г, ега(е — )/ез — са) + 1 Г а+Ь ! — з! 1— + — е-га(е+ )/еа — сз) ~ = — 1/ !е+ )/ аа — сз)-! а+а 2 + — ., Г' (е — )/ав — с'). (о5) 1 (а -~- Ь]з Из последнего выражения легко вновь получить комплексный потенпиал обтекания круга (45).
Для этого достаточно заметить, гго в случае круга а = Ь и с =- О и что, кроме того, 1/еа са ~ сз 1е= о 2е' тогда (55) даст ! —,- - 1, а 1 аа ./= — 1/ 2г+-(2а)а!/, ° — = Ь" е+ 1/ Если положить в (55) Ь = О, а = с, то получим потенциал обтекания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегшощему потоку под углом атаки 3= 5 1 — 1 У„= — 1/, (е — )/ез — с')+ — 1/ (е+ )/е" — сз) = 2 2 1 1 — — (1/ +)/ ) — — (1/ — 1/ )1/е' — с = = а з — Го )/ез — сз, (55') где и , о, — проекпии 1/ на оси координат, Можно также исключить ч непосредственно из уравнений (53).!(ля этого перепишем первое иа уравнений (53) в виде у = (а+ Ь) ~ 1/ ~ (сй 7 сЛ г — зй 7 ай 5), а из второго найдем йбй >з 4о) Овтеквния эллипсл, >яде!инки и дя. 11о составу выражения комплексного потенциала 15ог') можно зак.почит>ч что косое обтекание пластинки складывается из двух те >епнй: 1) вдоль пластинки, щ> направлению действительной оси со скоростью и.; комплексный потенциал этого обтекания равен у ! (в) = и в; н 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью >о, направленной вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен уз(в) = — 1о,„ф'аа — сэ, С б") в ем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока по этой простой формуле, Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набегая>щего на пластинку потока; будем иметь (б>6) 1'в' — сз !1риравняв правую часть нулю, найдем координаты критн >ескнт го юк Л и В !Рис.
71)> си в = х = '-->:- 1 =- >" с соя >, гле, пюпм>ипаем, с — половина длины пластинки; пря,'" = — — обе крп- 2 тические то >ки сходятся в пачзле координаг. Э При в=='-с, т. е. на передней и задней кромках Я' п.юстинки, сморосьчь, согласно 1бб), обраи!аюпся в г>ег>сонечнос>пгч что видно и яо щ.ущению линий тока '. ! в в г) на концах пластинки.
На са- 7>- в и >ч деле инертная жидкость пе может безотрывно обтекать острые кромки пла- стинки, так как при обра»у>ощихся бесконечно боль- .Р >пях скоростях должны (со- >пзсно теореме Бернулли) появляться бесконечно боль- Ряс. 71. >пне разрежения, что физи'>ески невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях можно теоретически получить обтекание с отрывом струй. При этом скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обтеи щня чже не будет непрерывным во всей физической плоскости.
((ласков вгзвихтквоп лвнжения жил!(ости 1гл Зг Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной скоростью лишь на одной, например, передней острой кромке н с конечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим приемом теории крыла и будет в дальней(пем подробно изложен (посту.чат Чаплыгина, 2 42). Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркулнционного движения жидкости вокруг эллиптического цилиндра.
Для этого напишем равенство г = с в1п у = с в!и ( р+ !()) = с (ейп ~ сй ф + ! сов й э!( Ф). Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51), легко заключить, что софокусные эллипсы ф = сола! будут линиями тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса. Такое движение и будет чисто циркулнционным движением вокруг эллипса или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы семейства эллипсов (рис. 72). Зададим комплексный потенциал чисто циркуляционного движения вокруг эллипса функцией Г . г .у — агс э!и —, 2я ' с' (57) где постоянная 1' пока не определена.
Выражение это совпадает с выражением комплексного потенциала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние 2с устремить к нулю. Действительно, по известным формулам теории гиперболи~еских функций от комплексного аргумента будем иметь: у = — агс ей и — = —. аг вв ( — ! = —. ! п ! — + гг 1 — — ), 2г с 2я! ' (г) 2гй (с У сч)' или, используя свободу в выборе адаптивной постоянной в выраже- нии комплексного поте(п!на((а, 1' Г) ся — гг — (г) )(= — —.1и( 2я( (, се Переходя в этом выражении к пределу при с-+ О, получим, примеюи обычное правило раскрытия неопределенностей: Г 1 1' = — —.!и —.= —.
!ил+ сонг!, 2л( 2г! 2я! т. е. равенство (42). Чисто циркуляционный поток вокруг пластинки (д = О, а = с) будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический цилиндр, гля которого пластинка служит фокусным расстоянием. '22<5 $40~ огтвклние э<слипся, яльсзнпки и ьо. Оопряжеппая скорость <судет равна — ! 2я )'ея — ес' па поверхности пластинки (у= О, — с ( х (+ с) сопряженная скорость действительна и равна: — Г и,= 7<<ри Р) О, и (0) 2е Р еа — ке с<а верхней поверхности и и = <'при Р)0, и ) 0) Г 2«) е< — ке на нижней. Отвлечемся от того, что отрезок ВВ' представляет некоторую твердую стенку — обтекаемую циркуляцнонным потоком пластинку— и представим себе всю плоскость хОу занятой жидкостью.
Тогда линия ес=' представит линию разрыва скоростей в потоке. В самом деле, по только что доказанному, при переходе через линию г'г' (рис. 72) по перпендикулярному к этой линии бесконечно малому отрезку М М+, концы которого расположены <<о обе стороны <и линии РВ', скорость и претерпевает конечный скачок — Г сс„— и «)' ес — к< Рнс. 72.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
