Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Принятое допущение об отсутствии завихренностн вместе с допущением о баротропности движенля 1р=р(л)) сводит решение зацачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин о и р. Для этой цели достаточно двух уравнений. В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы + 6!ь (р7) О которое по формуле 61ч(р7)=61ч(рассад!р) =рче9+„гаор Вгай-;, гце символ чг означает оператор Лапласа де де де ся ) + дхе дуг дал ' г15) преобразуется к виду: — + р ч Я!р + Кгад р ° втаб . = О.
! г дг (16) Совокупность уравнений (11) н (16) вместе с уравнением связи '!ежду плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12), я случае безвихревого движения служит главным образом для выражения давления р через кинематические элементы р, 1г и координаты, от которых зависит П. Выражая У через проекции втаб о на оси декартовых координат, будем иметь: плоскОВ Вззэихгезов дВиженив жидкости (гл.
ч 220 систему уравнений движения; пользоваться непосредственно уравнениями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится. Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разделяются; уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей Чт= — -!- — ', + — =О д'ч дтв дгч д ' д в д (17) 1 ( дг 2 Ь(дх) +(ду) +(дг) ~ Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интересными свойствами. Докажем следующую т е ар ему К ел ь в и на: если на границе некоторой односвяэной области вихревое движение совпадает с беэвихревмм, то кинетическая энергия беэвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии соответствующего вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь лишь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, условимся обозначать символом Ь разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следующее выражение для разинцы кинетических энергий: ЬТ= Р [(Н+З\)г — К) бг = р ! Н йрбч+ — ' ) ЬЧ)г бч. (19) 2,~ ,/ 26 Первый интеграл справа равен ') Ч ° ЬЧбч = ! йгаб З ЬЧбч е н по известной, неоднократно уже применявшейся формуле 6(ч'(ва) = гейча+ ягаб т.а (20) может быть преобразован так: Ч ° ЬЧбч = ! Игвб В ° йЧбе = ! 61ч(ЧЬЧ) бг — ! ч бич(йЧ) бч = в г — ! Ч (йЧ)„бч — ! „Д (б(ч Ч) бг, где в — поверхность, ограничивающая односзязный объем,а дивергенция разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функций.
По условию теоремы, движения на поверхности в совпадают, т. е. а давление р найдется после этого из равенства (14), которое ыожно переписать в виде: $ Зб) интеГРАл лАГРАнжА — кОши н теоремА ееРнулли 221 АЧ = 0 па а, кроме того, из условия несжимаемости б)УМ О. Таким образом, первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается равенство Ат= — '! )ИГ!эдт>О, 2,) Р= Р ~ )гги~ = — ~ ягабу ° ягаб Р г(ъ Р 2 2,) т т Применим вновь только что использованную формулу дивергенцпи произведения скаляра на вектор (20), тогда получим; Т =- — ~ б(ч (э егзб Р) бг — -х ~ Р д)ч егаб Т бт = Р (' Р (' 2,! 2,) — Р (ягаб Р) да — — РРэф г(ъ в В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной формуле Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно иметь т= — — ~ Р— дв. Р!. дг 2,! Рдп (2!) Иэ этой формулы сразу саедует, что, если на ограничивающей односвязду иый объем жидкости поверхности е скорость равна нулю, то и И = — О, дп ~~куда по (21) сразу будет следовать, что и Т = О. Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина, нз которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе еще теорему Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении (на „прямом пути' ) по сравнению с любым другим вихревым движением („ окольным путем" ), если только эти движения совпадают па границе области движения.
Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на границе одиосвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением несжимаемой жидкости внутри области ягьтяется покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревоей сколь угодно медленное движение, при котором иа границах скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области.
К тому же результату можно придти и непосредственно, пе пользуясь теоремой Кельвииа. Для этого выведем общую формулу для кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей. Имеем 222 плоское ввзвихкввое движание жидкости [гл.
зг $37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций комплексного переменного. Комплексный потенциал и сопряженная скорость Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости, Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела.
При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу. Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны, будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая, конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости, бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения, толщины. Каждая линия я таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости хОу.
Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндрического тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении оси О». Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа, которое для плоского случая имеет вид: 7 а= — + — =О. дзт, дтч — дхт ) дуа— (22) Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным на бесконечности потоком со скоростью Ч будут состоять из условия нелронииаемоети границ тела: Ч' = — О на контуре тела С да ди (23) Невозмогкиость существования безвихревого движения с однозначным потенциалом в одиосвязиой области, иа границе которой скорости равны нулю, производит иа первый взгляд парадоксальное впечатление.
В дальнейшем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются и происходят зв счет создания внутри объема некоторых „особенностей" вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков или липолей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и важность рассмотрения безвихревых потоков с,особеиностями" для приближения к действительно существующим движениям. 223 плоског. везвикьсяое движение и условий на бесконечносл~и и= д = ч сояйж, о= д = Ъ~зп!0~, (24) где ΄— угол между вектором скорости Ч и осью Ох.
Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана, и решению ее посвящены многочисленные математические исследовапшь В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее мощного метода решения этой задачи —.иелаода теории функций комплексного переменного. Из уравнения неразрывности ди до д!ч Ч = — + — =--.
О дх+ ду (25) дф ду ' дх' (26) действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает его в тождество. Функция ф(х, у) имеет простой гивродинамический смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока (формула (34) гл. 1( и поле ьаяим в пего зла ~ения проекций скорости по (26), тогда будем имеил йх йу д~,'ду — д ь,~дх нли — ах+ — 'йу .= йф = О. д, дф дх дч Из последнего равенства следует, ~го функция ф сохраняет лосльоянное значение вдоль линий тока, иными словами> семейство л"нлй уровня функции (27) ф(х,у).=-С "Редставляет совокупность линий тока. Функция ф(х,у) в связи с э им называется функцией тока. Нроведем в плоскости течения контур МоМ1 (рис. 54) и вычислим секундный объемный расход ь2 (отнесенный, конечно, к единице длины направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это вытекает, что всегда можно найти функцию ф(х,у), тождественно удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями скоросты и и и Равенствами: плоског вазвих1 евое движения жидкости (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
