Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 45
Текст из файла (страница 45)
56) концов векторов скорости частиц жидкости. й 38. Построение полей течения по заданной характеристической функции. Простейшие плоские потоки и их наложение Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для ком „ очплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым д"ижениям такое зздание будет соответствовать. 1е .
Линейная функция у(е) =ах+ д, где а и д — комплексныс постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивнвя пост остоянная 5 без ущерба для дела может быть просто опущена, плоскОе Бсзвихиевов движение жидкости 1гл, т Составлги~ сопряженную скорость Р =- —;; = а =- сои з1 = ио — гоо = — ~ Я асов йо — г з1 и йо), видим, что комплексная константа представляет одинакову~о ио вели- ~иггс и направлению во исси потоке соиряжеииук1 скорость.
Олина- ковои будсг и комплекпгая скорость 1 Ьо гго+-го — — ( 1го(е Следоватслыю, линейная функция оирелегаег комплексный потенциал однородиоги потока со скоростью ! Ь'о~, наклоненного к действительной оси физической плоскости Ч иод углом йо= а (рис. 57): у=(ао 'оо) г=! 17о!г =-) 17о~(сиза — Хз1иа)г. (40) Отделги~ действительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей 9 = аох+ иоу = = ~ 1го(хсоза+у гйи л) и функцию тока Ф = оох+ аоу = =- ~ $го[( — хьбиа+усова). Рис. 57.
В частных случаях а = О и а = — получим: 2 ' ири а=О о= — ~ Ъ'1х, ф=11" 1У, иРи = 2 Р=!~о1У Ф= ! о1х. Это будут потенциалы скоростей и функции тока однородных потоков, направленных вдоль осей х и у. 2'. Степенная функция у(г)=аг" (и — действительная величина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость Р= — =- паг"-' — дт дг будет стремиться к бесконечности при г-+ со, если и ) 1, и к нулю при п (1; случай и=1 уже рассмотрен в 1'. Введем полярные координаты, положив постгояпня и осюй<ннх п<шгй тяпы<на й 381 тоглш у (з) = — а<и (соя лв -,' й я и гш), <1(г, е) = аг" созна, ф(г, е):=. агияп ггз. ,||пи<<<< тока оулут <йрелстаз:Иться ссмейстзоз! < и яп <и .=: СС | |<<нагая злесь е=-О, с =. '.
— = а, нилин, и по при этом С'=-О, т. е. роль нулевой зинин тока играет совокупность лучей„ выхоляйцих из начала координат. Областью течения являются части плоскости, заключенные в углах и= —. и' Рассмотрим простейшие случаи. При и=1, 2, 3 по гоки булут иметь внл, изображенный на рнс. 58. При лальнейшем возрастании л угол я будет уменьшаться, количество ячеек возрастать. Изопотенциальные :<ипии имеют уравне- нием =3 тг =у ги соя ле = Сч или, что все равно, г" з!и (не+ — ~ — — С'. 2/ Рпс. 68 гв'=0 Это уравнение— того же семейства кривых, что и линии тока, а и но повернутого на угол — = —. Изопогенциальные линии показаны 2 2и' на том же рис. 58 пунктиром.
При а=1 оба семейства — прямые, прн л = 2 — гиперболы, 232 плоское ввзвихгквое движения жидкости (гл. г Ьбльший интерес для дальнейшего представляет случай и.= — — 1. Уравнеиие линий тока булат — ==- С. ми а Это, как легко сообразить, семейство окружностей, прохо!1юцих через начало коорлинат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке с осью Ох. Физический смысл констаиты а в выражении комплексного потенциала а Х= и более глубокое представление о самом движении будет дано в следующем пункте. Скорость течения обращается х в бесконечность в начале коорлинат и в пуль при з-+ со.
Изопотенциальные линии, по предыдущему, представятся той же сеткой окружностей (на рис. 59 показанных пунктиром), но пог вернутой по предыдушему на —. Оба 2 ' Рис 50 семейства окружностей взаимно ортогональны. 1 Отметим еще случай п = — с характеристической функцией 2 у,='г'с и углом а=2я.
Чтобы найти линии тока, в этом случае лучше всего поступить так. Перепишем уравнеиие, определя1ощее характеристическую функцию, в виле х+ гу = уа = оэ — йа+ 2луф; тогла, сравнивая лействительиые и мнимые части и полагая в полученных при этом равенствах ф = с, найлем уравнение семейства линий тока в параметрическом виде х =оя — ся, у= 2счь Рис. 60. Исключая параметр а, получим семейство парабол 1 х= — у — с 2 я 4с" с вершинами на отрицательной части оси х, являюшейся для парабол осью симметрии (рис.
60), 234 плосков вьзвих~квов движения жидкости ггл. т рзсход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпендикулярном к плоскости течения направлении. Имеем: ~у ==-'?яг( 1г~ =- 2яг ~ — ~ =- 2вгЛ ~ — ~ = 2кгЛ ° — = 2гЛ, сИ ( г откуда слсдус~ Условимся парялу с исгочникоьг рассматривать сток, отличающийся лино направлением стрелок на линиях тока 1рис. 61б). Тогда в общем случае будем иметь характеристическую функцию для расположенного в начале координат источника или стока мощности и в виде у (в) = ч-.
— 1и в, и ' йч (41) причем верхний знак относится к источнику, нижний в к стоку; при желании знак можно включать в определение величины гу, считая гу положительным в случае источника и отрицательным — в случае стока. 2 р=~~ гг~ггв= ~ ~ — 1ггге= 1 — ггЬ=2гВ ив~, г в 1 откула вытекает Г в =- —. 2л ' Пусть теперь А — чисто мнимая величина, равная В1, где  †у действительная величина. Комплекс! ному потенциалу у = В11пг, как уже ранее было указано, будет соответствовать та же сетка кривых линиИ, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами 1рис.
62). Картина линий тока соответствует так называемому ииркулядионному движению жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити совпадающей с осью Ол. Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим циркуляцию !' скорости по некоторой окружности радиуса г. Будегт иметь: й Зб! посыпании пвоптвйших полай течюпгя В зависимости от направления движения частиц будем нметгс Г! 1' — 1пл= — —.1пз, 2я 2гн Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае вихря распределение скоростей по абсолютной вели ~ипе отвечает формуле ~„,! ! !ч! !Г! т. е. величина скорости обратно лроаорцоонольни расстояния~ оог лавочника или вихря.
В начале координат, где источник или вихрь расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или вихря называют гидролинамическими особелностязги потока. В дальнейшем нам придется иметь дело и с другими „особенностями' потока: диполем, вихреисточником. Рассмотренные только что течения являются безвихревыми движениями несжимаемой жидкости, т. е.
во всех точках области течения, исключая начало координат, которое является особой точкой, выполняются соотношения: ди до — + — =О дх ду ди до — — — =О„ ду дх в чем легко убелиться непосредственным дифференцированием. В начале координат производные приобретают бесконечные значения. Если источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат, а в некоторой точке Мз с комплексной координатой зо, то выражения характеристических функций будут: источник (сток): у(з) = — 1и (з — ло) (41') вихрь Х(з) = — 1п(з ) Г (42') Рассмотрим наконец случай комплексного коэффициента при Логарифме, а именно.' )г(з) = (А+В1)1п л, причем верхний знак, как легко сообразить, будет соответсгновагь вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению.
Можно знак включить в опреде.ление величины Г и считать циркуляцию положительной тогда, когда нри обходе частицей жидкости окружности площадь круга осгаегся слева; этому соответствует комплексный потенциал цяркуляционного потока Гг Г у = — — 1п з = —.- ! и з. 2я 2.и' (42) плоское ввзвихггвов движение жидкости )гл. ч где А и  — действигельные величины. Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения друг на друга двух потоков с комплексными потенциалами: », (е) =- А !п г, »э !г) = — Вг' ! и т.
е. наложение на источник (с1ок) вихря. Сложное движение, составленное из этих двух лвижений, орелставляет те~ение жидкости вокруг вихреисточника !вихрестока) со спиралевидными линиями тока (логарифмическими спиралями), показанными на рис. 64. Если, вообще, » (г) = » !з) + » !г) ьФ, то в составном потоке комплексный вектор скорости будет равен сумме комплексных векторов скоростей слагаемых потоков !г, и !гя. действительно, в, ° ь йХ 'гХ1 и»э иг йг иг = ьг+ кя а следовательно, перехоля от сопрянгенных комплексов к основным, получим: Ряс. 63. На этом основан простой графический прием построения линий тока сложного потока но линиям глана слагаемых иотокое.
Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока лвух слагаемых потоков: фо ф,+дфг и ф, ф +офг, пересекающихся под некоторым углом, причем прелположим, что эти линии тока проведены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были одинаковы, т. е. аф, = — Ьфя; отсюда, конечно, не следует, что расстояния межлу линиями тока в каждой из двух пар должны быть равны межлу собою. Можно лишь утверждать, что, если МЛ', ) 1' и Мг1г" ! !гг, то ~ 661 посте огнив пвостзйших полай течения 237 С другой стороны, площадь малого параллелограма ММ М~М, равна одному из следующих равных между собою выражений: А4Л', ММ' = Мй1' ° ММп Деля обе части этого равенства соответственно на обе части предыдущего, получим ММ': ~ 'к',~= ММ,: ~ )г ~, откуда следует, что отрезки ММ' и ММ, в некотором масштабе выражают скорости или элементарные прремещения частиц слагаемых дввкений.
Проведя диагональ ММг параллелограма ММ МтМп получим в том же масштабе величину и направление скорости к, или элементарного перемещения сложного движения. Отрезок ММт вместе с тем дает элемент дуги линии тока ф = сопз! сложного движения. Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока сложного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
