Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Итак, сделаем допущение огпсутствии завихрвнности потока и обратимся к рассмотренна осн слезных свойств безвихревого потока. 214 плосков ввзвихгввое движвнив жидкости (гл. чг В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока существует некоторая функция координат о(х, у, е) — при стационарном движении или функция координат и времени о (х, у, е; Г) — при не стационарном движении — такая, что (4) 7 = ягас1 сч нли в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы коор.
динат: я (5) Ф ункцию е назовем потенциалом скоростей и будем предполагать, что опа непрерывна вместе со своими первыми двумя производными по времени и координатам. Потенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал скоростного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется с точностью до аддитивной постоянной, как это видно из равенств (4) или (5). Равным значениям потенпиала скоростей в различных точках пространства соответствуют поверхности уровня потенциала или изопотенциольные поверхности.
Уравнение семейства изопотенциальных поверхностей будет (х, у, е; г) = соп51, причем время 1 рассматривается как параметр в случае нестационарного движения и отсутствует †п стационарном движении. Из опреРис. 51. деления потенциала скоростей (4) следует, что линии, нормальные к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями гока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответствуют нормал ные поверхности — изопо пенциольные поверхности- Имея заданным потенпиальпое скоростное поле, легко найти его потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах (4) или (5). В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвязной области' течения кривую линию С (рис.
51), выходящую ив точки Яо и окан иваюшуюся в некоторой точке М. Умножив скалярно 0 влиянии ,.связности" обчеств будет сказано в конце настоящего параграфа, 216 плоског. вззвихгввок движвнив жидкости (гл, тг н, согласно (7), потенциал в точке М после обхода вихревой трубки окажется равным л (Мэ) + ~' Выйдя из точки Мв и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку Мз со значением потенпиала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Р: Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), определяется, как многозначная функция точек поля.
Значение потенциала скоростей в точке М будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование: р(М,)+ ~'Ч й~~ р(М,)+ ~Ч йю Жг лгл го,') (и') К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с изолированными трубками можно подойти н иначе. Выделим нз области течения жидкости чисто безвнхревую часть, рассматривая боковые поверхности изолированных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. 11ри таком рассмотрении движения в жидкости уже не будет изолированных вихревых трубок, но зато сама область течения станет многосвязной.
Действительно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (б 12), вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются на граничные поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый кокгпур, опоясывающий трубку, оставаясь в области безвихревого течения, ке может бьппь непрерывным преобразованием сведен в пьзчку (рис. 52); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения прн наличии изолированных вихревых трубок не односвлзна.
Для многосвязных областей в ранее проформулированную (й !3) теорему Стокса должно быть внесено исправление. Как видно нз ~олька что приведенного на примере вихревых трубок рассузпгения, циркуляция скорости по замкнутому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность, паругиающчю одкоевязность области течения, может быть отлична от куля. Зта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур охватывает трубчатую поверхность, и не зависит от формы контура интегрирования. Значения циркуляций прн однократном охвате поверхностей, нарушающих связность области, называют циклическилги постоянными многосвязной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интенсивностями вихревых трубок.
В обшем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом потоке жидкости в многосвязной области теорема Стокса должна быть сформулирована так: циркулация скорости по . амкпутолсу контуру, проведенному произвольнылг образом в многосвязной обгасти, отличается от суз)мы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок па еум чу целых кратных циклических постоянных области.
ф 35) сохплнннив ципкхляцнн. потенцнлл скопостнй 217 Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно превратить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 53а), двусвязную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если дополнительно провести поверхность э, закрывающую отверстие кольца.
При наличии Рис. 52. поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведения а двусвязной области была отлвчнз от нуля, то значение потенциала скорости чь (М) на одной, скажем передней, с~проне поверхности с будет отличаться от значения у (М) на задней стороне поверхности а на величину циялической постоянной хотя значение потенциала взято в одной и той же точке М (рис.
53б). В этом случае говорят, что потенциал скоро. отей т(М) при прохождении через поверхность а претерпевает конечный скачок 5 т+ — т , а поверхность а называют поверхностью раз- о рыва потенциала. Рассматри- ..Р- о зая поверхность а вместе и +гм с поверхностью 3 как гра- Р "ицу области, можно считать потенциал .;. непрерывным во всей области. Изложенные здесь уточ- 6 пения представлений об Рис. 53.
одиозиачиости и многозначиост осио ости потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют идеал иоз"ую роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел Рази лезльиой жидкостью и, з частности, теории крыла бесконечного и конечного силы амата. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной много крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в вих ез госзязной области при помощи введения .присоединенной" изолированной ревзи ~рубки илп вихревой поверхности.
218 плоское ввзвихгевов движение жидкости (гл. и $ 36, Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвязной области В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека (13) гл. П1: дг + Ягаб ( 2 + а1' -1- П) + го1 У Х У = О (9) и положим в нем, согласно (4), У = Кгзд о, го1 У =- О.
Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного нли д' локального дифференцирования по времени — и пространственноге „дг „вагаб": — = — дгаб е = йтас1 ( — ), дЧ д сдтт дг дг (дд' будем иметь вместо (9) равенство: сдт ассад(д + 2 +а+И)=0, (10) которое приводит к выражению первого интеграла уравнений движения д + +У+ П Р(г) дт дг (11) — = О, Р(Г) =сопз1, дз дг н равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли ~7ь — +й+П= !, (12) причем, как уже указывалось в 9 25 гл. П1, ири безвихревом движении константа, стоящая в правой части, оудет иметь одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механн" ческой энергии, где Р(Г) — произвольная функция времени„ определяемая из граничных условий.
Полученное соотношение (11) называют интегралом Лагранжа — Коти. Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли при стационарном движении. В последнем случае 36) нптвгглл ллгглнжл — коши и твогвмл вввиулли 219 Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и объем,гых сил нет, то уравнение 112) принимает простой внд: р !ге р+ — = сопя!.
2 (12') В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил получим: д+2 + ® дт ! я л дт 2 р при наличии сил веса добавляется еще член П =да: — + — ут+ — + г =- гг(Г). дв 1 р дт 2 р (14) При безвихрезом движении жидкости или газа три неизвестные величины — проекции скорости и, о, си — выражаются через одну неизвестную функцию — потенциал скоростей р (х, у, г; г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
