Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 39
Текст из файла (страница 39)
бам можно отвлечься от весьма сложных деталей этого движения (об этом будет сказано в заключительных главах) и удовольствоваться следующей упрощенной схемой. Примем поток за одномерный, т. е. будем пренебрегать изменением величины и направления ско. рости, а также изменениями других элементов потока (давления, плотности, температуры и др.) по сечению, перпендикулярному к оси потока; будем лишь учитывать изменение средних по сечениям величин и, р, р, Т и др. в зависимости от координаты х, определяющей положение сечения вдоль оси трубы. Плошадь сечения А будем считать заданной функцией х. Отвлечемся от сил трения внутри жидкости и жидкости о стенку, а также от теплопроводности; иными словами, как повсюду в настоящей главе, будем считать жидкость идеальной.
Начнем с простейшего случая — движения неежилгаелвой жидкости. В этом случае из уравнения неразрывности сразу следует а 33] движение гьзь по грязе пвраманного сечения 199 Вспоминая определение местной скорости звука аз=в др Р перепи1пем уравнение Эйлера (83) в виде: иди= — — — ° до= — а —. р. 2 Р р йр ' р (85) Составляя логарифмический дифференциал от обеих частей равенства (84), получим: йр ди вА — + — -+ — = О. р и А (86) Исключая — Р из уравнений (85) и (86), найдем: Р йА А йр йи и йи ли бич '1йи р и а' и чав т' и или, вводя местное число М = —: и а йи 1 дА (87) и Мь — 1 А Из этого простого уравнения вытекают важные следствия: 1. Если М < 1, знак с7и противоположен знаку аА, т. е.
при дозвуковал движении газа сохраняется то же свойство движения, что и з случзе несжимаемой жидкости: с возрастанием площади сечения трубы скорость в одномерном движении уменьшается и, наоборот, при уменьшении сечения — скорость увеличивается. 2. Если М ) 1, знак йи одинаков со знаком НА, т.
е. при сверхзвуковом движении ааза в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе — ускоряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно уменыпается, что произведение РА в Равенстве (84), несмотря на увеличение площади А, все же уменьшается и приводит к возрастанию скорости и. 3. Если К= 1, йА =-О. Сечение трубы, в котором число М достигает значения единицы, называется критическим сечением, так как в нем скорость движения и равна местной скорости звука а.
Из Равенства (87) следует, что критическое сечение может быть как максимальным, так и минимальным по сравнению со смеж"ыаш сечениями. Легко сообразить, что критическое сечение будет минилсальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не чоают привести к течению со скоростью звука в критическом сечении. Если йА =О и сечение экстремально (макснмально или мини""'" но), то по (87) либо М = 1 и, следовательно, это сечение— 2ОО 1гл, !ч одномьвный поток идеальной жидкости дМ с1и Ыа М и а ' 188) получаемое логарифмическим дифференцированием равенства и М= —, а' и уравнение Ьернулли в форме 147): и2 из — + 2 Ф вЂ” 1 = сопя!, которое после дифференцирования дает и с!и+ а !7а = О, 2 !1 — 1 и или после деления обеих частей на аа и замены а= —, М' — = — — Мз —.
си й — 1 !1и а 2 Иа Подставляя это значение — в (88), получим М =(!+ —. М') —. !тМ, й — 1 ' с1и Сравнивая это уравнение с уравнением (87), будем иметь: М! — 1 дА а — ! А М(1+ ' ' М"-) критическое, либо М=и! и а!и=О. В последнем случае, каково бы ни было движение — дозвуковое или сверхзвуковое — скорость в экстремальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозвуковом течении газа †минимальн в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном †минимальна.
Переходя к более детальному изучению одномерного адиабатичесного и иээнтропичесного движения газа, заметим, что к нему применимы все ранее выведенные соотношения, связывающие между собою термодинамические параметры гааа и скорость движения или число М. Необходимо только установить связь между одним каким- нибудь из этих параметров и сечением трубы А. Примем за основную, например, связь между М и А. Чтобы вывести уравнение этой связи возьмем уравнение 9 ЗЗ) движение ГАЭА по тРуБе неРеменноГО сечения 20! Уравнение это нетрудно проинтегрировать и получить искомое уравнение связи между числом М и площадью сечения А: лч-л (89) А+Л ( 1~;:Мт Л вЂ” 1 аз!А — 0 А ! ' 2 А" М~ Л-!-! 2 (90) !!а рис. 47 приведен график этой важной зависимости для воздуха (з = 1,4).
График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозвуковом потоке (М ч., 1) для увеличения числа М сечение А следует уменьшать, в сверхзвуковом потоке (М . 1), наоборот, увели- чивагГИ вместе с тем гра- !00 ЦО~ /О фик показывает количественное соотношение между изменениями чисел М и А. Так, например, из рис. 47 следует, что для повышения числа М от 0,2 до 0,8 газ должен пройти через участок суживающейся трубы — конфузора — с сече- ОА 0 нием, уменьшающимся в три Раза; чтобы величить число 0 У О от значения 1 в критическом сечении до 3,2, необходимо построить расшиРяющуюся трубу — диффузор — с и:ющадью превышающей площадь критического сечения. Присоединим к формуле (90) известные уже мт пч (69), (70), (66) изэнтропической связи "температтры с числом М, которые, в силу ! 7 3 4 и Рпс. 47.
на выходе, в пять раз по предыдущему фордавления, плогности (61) и (52) полезно где А, — произвольное начальное сечение трубы н М, — число М в этом сечении. Предположим, что роль начального сечения играет критическое сечение А, = А", т. е. такое сечение, в котором М, = 1, тогда равенство (89) приводится к более простому виду: (гл. пг 202 одномврнь|й ноток идвллыгой жидкости переписать в виде (91) ь 1 ~1 гг — ! 1 ' Мя)~ Совокупность равенств (90) и (91) представляет полное решение задачи об одномерном стационарном адиабатическом и иззнтропиче. ском движении газа по трубе переменного сечения; решение это пред.
ставлено в удобном параметрическом виде, причем роль параметра играет число М. Задавшись законом изменения площади сечения трубы А(х), определим М(х) по (90), а затем и искомые р(х), р(х) и Т(х) по (91). Из уравнения неразрывности илн сохранения массы (84) следует, что при наличии в одномерном потоке критического сечения А» будет существовать соотношение А рчи» 1 А" ри 0' (92) где величина о р" ич р"а'.
у~идар» предсгавляет ошошенне массового расхода газа через единицу площади сечения трубы к его критическому значению. Этот безразмерный массовый расход данного г»за является функцией только числа М н, согласно (90), равен: л+1 !!+1 Х2!! — г! гт =-- — =- М Ль Л ~--1 1+, М' (93) График зависимости 4) от М для воздуха (ге=1,4) приведен на том же рис. 47. В качестве первого примера приложения выведенных формул рассмотрим классическую задачу об изэнтропическом истечении газа из резервуара (котла) очень большой вместимости.
Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истечение, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающимся вниз пп потоку сечением. Обозначим через рз, рш То термодинамические пара« метры газа в котле, где газ, в силу болыпой вместимости котла, может рассматриваться как покоящийся (и=О, М= О), через р, р, Т, М соответствующие !юраметры в выходном сечении, плопгадь которого пусть будет А, и через р' — давление в среде, куда происходит ноте;ение; это давление р' в теории истечения называют лротиводавлениен. Определим прежде всего основную характеристику одномерного погона в целом — секундный массовый расход газа и, одинаковый для всех сечений потока и равный лг = риА = реиБАЙ = о*аеАГТ = — 'у' йр~р*АИ иля, на основании формул (52); А+1 ги =- (~ ) р йроооА14.
(94) Прн заданных параметрах газа в котле и геометрической форме сопла секундный массовый расход газа лг является функцией только числа М в выходном сечении, определяемой выражением 1У(М) в формуле (93). Что касается выходного числа М, то оно, в силу принятой наперед адиабатичности и изэнтропичности потока, определяется заданием давления на выходе р, согласно известной формуле (69): юпределяя отсюда М в функции от — и подставляя это зпачср ро пне М в выражение 14, получим после простых приведений формулу: ° г представляюгдую, очевидно, простое приложение ранее указанной формулы Сен-Венана и Ванцеля 1(67) гл. 111).
Пользуясь одновременно формулами (94) и (95), легко исследовать изменение секундного массового расхода истечения Ав в функции от противодавления р', которое при р' ~ ре совпадает практически с р, яли числа М в выходном сечении. Составив логарифмическую производную 1 с~т 1 — Мг гг М 1'1+ — Мг) 2 .Тегко ззключитьь что величина лг достигает своего максимального значепюг при Я=1, т. е. з тот момент, когда выходное сегение станет ьрп нг Неким и давление примет свое критическое значение р' =- р =- р'; я 331 движение ГА3А по тРуБВ пеРеменнОГО сечения 203 204 1гл.
1ч ОднОмеРный пОтОк идеАльнОЙ жидкости и 40 0 0 02 44 Яб 00 , /0 р/в Рнс. 18. при любых других противодавлеииях секундный расход не может превзойти своего критического и вместе с тем максимального значения К+1 2 1 ~ — 11 т': = 1 „, = ( —,, ) )' УгрвЬ48 (1) = 1 -'~-1 = — ) ф' йрврвА. (96) Этот результат производит на первый взгляд несколько парадоксальное впечатление. В самом деле, пусть вначале противодавление р' было равно давлению в котле рв, тогда, согласно (95) и (69), т = — О, М =О; будем теперь уменьшать противо- давление, тогда расход т / будет увеличиваться, стре- I 1гясь к своему максималь/ ному значению, число М при этом будет стремиться к еди- 04 нице, противодавление— к критическому давлению рч. Если давление будет пров,г должать уменьшаться, то, сор)В =0110 гпаСНО (96), раСХОД, ПЕрЕНДН е через свой максимум, должен начать уменьшаться, и число М продолжать возрастать.
Такое явление физически невозможно; совершенно очевидно, что с ростом разрежения на выходе и сохранении давления в котле расход не мо1кет уменьшаться. На самом деле расход т, число М и давление р в выходном сечении сохранят свои критические значения тг = т ео М" = 1 и р = р', хотя противодавление р' в среде, куда происходит истечение, продолжает убынатгь становясь все меньше и меньше критического. Этот факт имеет простое физическое объяснение: поскольку в выходном сечении сопла установилась критическая скорость, равная местной скорости звука, внешнее возмущение давления (возрастание разрежения!) не может проникнуть сквозь критическое сечение, так как скорость распространения разрежения не превосходит скорости движения.
еаза в критическом сечении. На рис. 48 приводится график отношения одноызкнок течение В сопля льваля 905 в зависимости от безразмерного противодавления р'~р . Из предыду. щего ясно, что физический смысл имеет лишь правая часть графика, относящаяся к давлениям, большим критического, левая часть, показанная пунктиром, при 1Р ( р ь должна быть заменена горизонтальиым отрезком прямой †„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
