Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Вспомним принятые з начале % 29 обозначения: 1~, =0, 1;=0 — 1~, (61) рз — р, 2Ф ~'г г 1 ь 2Ф Р , 1 1 2Л р, а+1 Вр,)ь, ~ М' и+1,' Ме и+1 и заменим в нем, согласно (61), з М = — = —; тогда, разрешая предыдущее равенство относительно М„получим искому1о формулу скорости распространения ударной волны: Гй — 1 и+1 р, 0 =-а 1гг — + 2л 2Ф рг ' (62) 1!з эгей формулы вытекают два важные следствия: 1'.
Скоросгь распространения ударной волны в невозмущенном газе тем больше, чем интенсивнее волна, т. е. чем больше устанавливаемое ею сжатие ря/р . я г 2 . 11ри уменыпении нн гснсивносги ударнои волны скорость ее рагп1кшграпения стремигся к скорости звука в певозмущснном гаае: 0= — а, при р =р,. Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как ударную волну очень,калай интенсивности. Отсюда следует, что ударная волна всегда опережает распространение звука в невозмущенном 'ззе1 так, ударная волна, образовавшаяся вследствие взрыва (ее называют обычно взрывной волной), обгоняет звук взрыва. Перейдем к определению скорости спутного движения К Воспользуемся для этого основным соотношением непрерывности (39), котоРое з снлг 161) перепишется так: ,0 = я10 — 1'1 где 0 — скоросп распространения ударнои волны в покоящемся газе, )г — абсолютная скорость частик газа, следующего за ударной волков; зту скорость естественно назвать скоростью саутного движения газа за волной. Воспользуемся первым равенством системы (59), которое предварительно перепишем в виде [гл.
1у одноикяный поток идьлльной жидкости 184 Из этого равенства можно определить (с з функции от известной уже величины О и огне~пения плотностей до и за ударной волной: (с= (1 — ~') О, (63) ЗаменЯЯ отношение Р, Ря, согласно фоРмУле Гюгонио (43), выРа- жением е1 а+ 1+ (а — 1) Рт1Р ~ з, (й+ 1)Р.7Р.
+ л — 1 н используя для О равенство (62), получим: (64) (65) Как легко заключить из полученного выражения скорости спутного движения, в звуковой волне ( — =1) скорост~ спутного потока ни/Рт Рг чтожна, что было показано и ранее. С ростом интенсивности ударной волны скорость снутного потока возрас гает (при очень больших интенсивностях, примерно, пропорционально корню квадратному из сжа- тиЯ Ря1Р,). Приведем табл. 5 численных значений относительных сжатий и уплотнениИ газа ударной волной, распространяющеИся в неподвимсном воздухе (уз=1,4) при 15'С (Т=288') и нормальном атмосферном давлении; в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям значения О, $' и перепада температур. Таблица 5 ~бсек ~Ъ'лбсек О лес сек (с лрл к аРФ~ 340 400 500 1000 1500 0 0,47 о Зо 1,39 0,81 9,20 2,77 22, 20 3,74 0 ЗЗ 87 465 !075 О 93 224 734 1181 2000 3000 4000 5000 1611 2880 3300 4135 92, 165 258 4,58 4,72 4,78 7 750 12 100 Таблица составлена в предположении об адиабатичности (но не изэнтропичности1) процесса.
В действительности, нри столь высоких семпературах, как указанные в конце таблицы, станет заметным рассеяние энергии, в частности теплоотдача путем лучеиспускания, что в корне изменит всю картину явления. Кроме того, расчеты сделаны для распространения плоской ударной волны; в сферической ударной волне интенсивность будет падать еще в связи с увеличением чзц скоРость вьспгостглнвния здлвной волны 185 поверхности волны при удалении ее от центра образования. Все же з тенденции указанные числа представляют интерес.
Обратим внимание, например, на то, что при отсутствии рассеяния энергии и при относительном сжатии — = 10 скорость распространения ударной др Р~ волны должна была бы примерно в три раза превзойти скорость звука, при этом за ударной волной возникало бы мощное спутное движение воздуха со скоростью, более чем вдвое превосходящей скорость распространения звука в невозмущенном воздухе. Надо заметить, что даже при сравнительно неболыпих сжатиях воздуха ударной волной возникает сильный „звуковой ветер". Так, например, легко подсчитать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая относительное сжатие воздуха — = 0,22, распространяясь со скоростью ЛР Рт 870 лг,'сел, могла бы вызвать „звуковой ветер" со скоростью 50м1твк, т. е.
сильный ураган. Отсюда видно, сколь ничтожные сжатия воздуха несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно не смещающие частицы воздуха. Образованием ударных волн, как движущихся в пространстве, так и „сгоячих" скачков уплотнения, сопровождаются многие важные для техники процессы, связанные с большими около- и сверхзвуковыми движениями газа или с распространением местных сжатий (повышений давления) в неподвижном газе. При полете самолета или снаряда дачке с дозвуковыми, но близкими к звуковым, скоростями на поверхности крыла и фюзеляжа образуются зоны сверхзвуковых скоростей, причем обратный переход этих сверхзвуковых скоростей к дозвуковым сопровождается возникновением скачков уплотнения. Сверхзвуковой поток, набегающий на лобовую часть тела, движущегося со скоростью, большей скорости звука, будет тормозиться до нулевой относительной скорости в точке разветвления воздушной струи; переход от сверхзвуковой скорости к дозвуковой будет сопровождаться образованием „головной волны" перед тобовой частью летящего тела.
Такого же рода скачки образуются в соплах, когда сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой, и др. Отметим громадную интенсивность ударных волн в тяжелых жидкостях, например в воде. Примером может служить явление гиоРазлического удара, появляющееся в трубопроводе, если мгновенно ~становить движущуюся по нему воду, закрыв кран. Возникающие при этом резкие повышения давления могут служить причиной серьезных аварий в водопроводных сетях, в подводящих аппаратах гидраВлических турбин и др. Гидравлический удар представляет по своей природе не что иное как Результат возникновения и распространения ударной волны сжатия воде. Значительнаяэффективность гидравлического удара объясняется, "о-первых, значительной плотностью воды (в 800 раз превышающей ""отзость воздуха), а также большими скоростямн распространения 186 [гл. ш одномвгный поток идеальноИ жидкости возмущениИ (скорость звука в воде примерно в 4'~я раза больше чем в воздухе). Теория гидравлического удара аналогична теории ударной волны в газе, но имеет и некоторые специфические особенности„ связанные с существенной деформацией стенок трубы при тех громадных давлениях, которые возникают прн гидравлическом уларе.
Создателем современной теории гидравлического удара по праву может быть назван наш великий ученый Н. Е. Жуковский, который исследовал распространение ударных волн вдоль труб, наполненных водой, и провел замечательные наблюдения гидравлического удара в трубах по заданиям московского водопровода. ' Н. Е.
Жуковским предложена простая формула повышения давления Ьп при гидравлическом ударе: оа~ т Лр = — ' 5' где оа — потерянная скорость воды, Х вЂ” скорость распространения ударной волны, равная Здесь ро и й †плотнос и модуль упругости воды, тсо и с — радиус и толщина стенки трубы, Š†моду упругости материала трубы. В 32. Влияние интенсивности спичка уплотнения на сжатие газа. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых потоках Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение идеального газа я предположим, что где-то вдоль трубки тока или струи газа происходит изэнтропическое (без скачка уплотнения пли других причин для превращения механической энергии в тепловую) торможение газа. приводящее газ к покою.
Установим простые формулы связи параметров изэнтропнческн ааторможенного газа То, ро, 9, аа с текУщими их значеннЯмн Т, Р, 9, а в сечениЯх РассматРнааемой трубки тока. Возьмем основную формулу закона сохранения энергии — +,/сяТ = сов 51 Ра и определим константу из условия: при ь'=О, Т= Та; тогда получим: 1 Н.
Е. Ж у к ов с кп й, О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. Бюлл. Полятехвпч. об-ва № 5, !899, стр. 255 — 290. См. также „Избранныс сочинения", т. П, ОРИЗ, 19ч8. или, замечая, что по (17) гл. 111 и по определению местной адиабатической скорости звука о'ся ао о'с Т= — 7г)сТ=— и~' л — !' найдем искомое выражение температуры иээнгропическн заторможенного газа: Гг — ! !оот ..!', а — 1 То=-Т(! ! 2 аоу=Т ! ! 2 М ), (66) я следовательно, и соответствуюшую скорость звука ао а(1 М | л — ! 2 (67) Из уравнения изэнтропической адиабаты и уравнения Клапейрона Ро Ро Ро яо То сразу следует: л 1 (68) откуда, используя (66), найдем выражения остальных параметров изэнтропическн заторможенного газа: 1 р.
= ! (1+ —, М') (69) Ре=-9(1+ — ', ' М ) (70) '!'ормулы (66), (69) и (70) явлюотся основными во всех расчетах одномерных течениИ газа. Из формулы (70) следуег, шо при значениях шола М, меньших !липины, имеет место разложение я ряд: Мо — =1 —— ео 2 01С!ОДа ИОжио сделать вывод, что, пОлагая в Молели несжимаемОИ кядкости 9= — сопя! =р, делают тем меныпую ошибку, чем меньше чис:1о М в движущемся газе. Так, например, для того чтобы ошибка превосходила 1"', число М должно быть меньше 0,14, а это ~оответствует в случае воадуха при нормальных условиях верхней границе допустимых скоростей 50 м сек. Следует заметить, что даже при скорости в 100 зг,'сек ошибка не превосходит 4о,.'о.
Легко также видеть, что при малых значениях числа М формула (69) иереходнг в обычну1о формулу Бернулли (58) гл. П! для несжимаемого 9 321 Влияния ннтвнсивнопги склока ИА сжАтия ГАзл 187 (гл. гч одномерный поток идеальной жидкости 188 газа. Действи.тельно, разлагая при малых М правую часть (69) в ряд, получим: р = — р ~1+ — м + — — (' — — 1'(. м +- ...1= Д в 1 Л ' Ф т (Л вЂ” 1Р о= 2 2 (г — 1(,/г — 1 ) 4 =р(1+ — м + — м + ...1, и е 2 8 '!' или, замечая еще, что по определению числа М и адиабатической скорости звука 1 в ир гт йр 1' яр я —;(г'=- — — = — —, = — и-, 2' 2 р 2 ат 2 получчм 1 4 + 2 ' При М =-0' буден иметь формулу (58) гл, Ш дл» несжимаемой жидкости: 1 р '- 2 р )гя =-1 е =-- со з(.
Ошибка, которую при этом делают, иринин;и газ несжимаемым, 1 имеет порядок — МЯ, т. е. в два раза меньше ошибки в изменении 4 плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкости в случае воздуха, двигкущегося при нормальных условиях со скоростью 100 к(сек, сделаем ошибку порядка 2о(е. Как известно, в капельных жидкостях скорость звука больше, чем в газах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
