Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда, заме ~а», по в силу баротроппости движения др ар дг Гл'ар ', Ратр, ) д гл дй дх ~ЬаЛо ' 'аае о ' ' ' ' ' ! дх полу чньг вместо нелинейной системы 11) следующую линейную систему дчуч уравнений с двумя неизвестными и' н р', д;.', ди' дл тРОдх =о. ди' дл ' нс~емз (д) может быть названа аинеаризироеаннои по сравненню "- нелинейной системой 11), так как она получена из нее путем лннеарнзации, заключающейся в откндыванин малых вгорого и высших "орванов. 3адача о разыскании решений нелинейной системы уравнений 11) даже для простейших баротропных пропессов очень сложна.
Случай движения неслсимаемод жидкости ( = сопв1) исследуется просто, но пе представляет интереса, так как прн р = сопв1 уравнение неразрывности приводится к условию независимости скорости от гди координаты (ь — = 0), что соответствует нвазитвердому поступатель'чдх ному движению жидкости вдоль оси х. Начыем с решения следующей математически не сложной, но приппипвальпо важной зада~и: в находящемся в равновесии, покоящемся идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлепвй и плотности так, гго ноаннкающее при этом движение является олночерны:е, параллельным оси х баротропным движением, зависящим лапь ог координаты х и нремени т; требуется разыскан элементы возчУшепиого движениЯ.
Ооозначим чеРез и, Р и Р скоРостгн давление и плогпосгь возмУщепного дви>кенив, чеРез Ро и йо — давление и плотность прн равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действии об.ьемных сич; тогда, вводя еше обозначения и', р', р' для малых возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь; 154 [гл. Иг ОднОмерный поток идеАльнОЙ жидкости На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная система (1) стала Определенной, хотя связь между р и р явно не задана. Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений Р и р от невозмущенных, равновесных ро и р, любая аналитическая связь между р и р вполне определяется заданием равновесного значения производной /дРА от плотности газа по давлению или обратной величины( — ) .
Замечая, др о Л~Р что величина — всегда существенно положительна, введем обозначение (4) и перепишем систему (3) в форме: ди' о др' ди' др' ро д = дг ) (5) Аналогично найдем уравнение для определения р'. дтр' о дор' — — ао —., =О, дГо дхо (6') а замечая, что Р =Р Ро=(д ) (Р Ро)=пой (ирл (, Ьр), найдем и уравнение для Р". д'Р' о д'Р' — — а,— О. дто дхт (6") Одномерные волновые уравнения (6), (6') или (6") являются классическими уравнениями математической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др.
Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций: .у, (х — пот)+Л (х+аог)~ вид которых зависит от начальных условий задачи. В системе уравнений (5) переменные и' и р' могут быть легко разделены. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5) по времени г, а второго по х, умножая после этого обе части второго уравнения на ао и вычитая его почленно нз первого, получим: дои' з д'и' — — а,—., =О. дм дхо (6) $ 26! ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМЬЕМОй ЖИДКОСТИ Введем новые координаты е' и е', связанные со старыми при помощи равенств; ~'= х — азу, с = — х+аоГ. Новая ось координат О'с' движется поступательно в сторону положительного направления старой оси Ох со скоростью а„, точно так же ось О"Г движется поступательно в сторону отрицательного направления оси Ох с той же скоростью ао.
ФУнкциЯ Уг(Г) в подвижной системе О'е' пРедставлЯет некотоРое, не зависящее от времени распределение возмущений скорости, плотности или давление. Эта фиксированная фариа одномерного возмущения (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная кривая) перемешается, согласно полученному решению волнового уравнения, как одно целое, вдоль положнчельного направления неподвижной оси Ох со скоростью ар. Аналогично этому, функция ге(с"), характеризуюшая определенное, не зависящее от времени распределение возмущений в подвижной системе Олс", представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрицательную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью ао. Общая для обеих форм юсорость распространения одномерных малых возмущений в неподвижной сжимаемой среде ао определяется, согласно (4), формулой (7) С такой скоросгью будет, например, распространяться вдоль цилиндрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим двигаться поршнем малое сжатие газа (малый перепад давления).
Перемепгаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться старое давление, как буд~о движение поршня не возяикало. С той же скоростью будут распространяться малые колебания давления в жидкости или газе, создающие звук, если считать явле"яе распространения звука баротропным; величина ао, заданная равенством (7), называется поэтому скоростью распространения звука или, короче, скоростью звуки. Согласно общему принципу классической механики, приведенное рассуждение остается верным и в случае жидкости или газа, равновесным состоянием которых является квазитвердое поступательное и равномерное движение.
В галилеевой системе координат, связанной этой квазитвердо движущейся средой, уравнения гидроаэродинамики ~окраняют свой вцд и все предыдущие выводы остаются справедливыми, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать одномвэный поток идвьльной жидкости [гл. пг 156 "=л(.— .), получим уравнение з др' — рвам (х — авт) = — аь —, дх ' где точкой над буквой у', обозначена производная по всему аргументу (х — ает).
Интегрируя это уравнение по х, полу ~им: гт( — ьг)= '= — а, г Рь (8) или в дифференциальной форме еще такое соотношение: йи=ао— йр Ро (8') Из условия баротропности процесса распространения малых возмущений (звуковых колебаний) легко вывести соотношение з р =аьр вместе с (8), приводянтее к следующему выражению скорости и': и = — °вЂ” Ро Р' Р.ио Рь (9) нли з дифференциальной форме: йи Рь йр Рьаа Ра (9') скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному пространству, в котором среда совершает свое движение.
Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому поступательному и равномерному движению, соответствуют одни и те же термодинамические характеристики ро„ре и То, то скорости распространения звука по отношению к газу в том и другом случае будут одинаковыми. Если же жидкость или газ движутся не квазитвердым образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные термодинамические состояния и разные скорости звука, которые з этом случае придется рассматривать, как некоторые местные скорости звука, представляющие функции координат и времени. Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой волны в среде не следует смешивать со скоростью движения самой среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью порядка 330 м[сек), в то время как сам газ при этом остается почти неподзижныи.
Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения скорости и' в форме „волны", бегущей в положительном направлении оси Ох: 9 26) одномввное твчвине сжимьвмой жидкости 157 Из равенств (8) и (9) можно заключить, что при данных вначениях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости движения газа по отношению к неподвижной системе координат Ох после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше относительное уплотнение газа Р Р Ра Ра Ра или относительное его сжатие РР— Ра Ра Ра т. е. чем больше интенсивность возмущения. Если звуковая волна несет с собой сжатие (уплотнение) газа, то р'.ь0 и и' ь 0; следовательно, проходящая сквозь газ звуковая волна сжатия увлекает (с очень малой скоростью!) газ за собой, звуковая волна разрежения (р' ч. О), наоборот, дает дополнительную малую скорость и'(О, направленную в сторону, противоположную распространению звуковой волны, т.
е. звуковая волна разрежения вызывает встречное малое движение газа. Это явление легко себе представить, если вообразить поршень, имеющий возможность двигаться вдоль открытой в обе стороны длинной цилиндрической трубы, заполненной газом. Приведем поршень в слабое движение, например, слева направо. Газ сожмется справа от поршня, и вправо побежит звуковая волна, несколько уплотняющая газ. При этом образуется слабое движение газа вместе с поршнем слева направо.
Наоборот, влево от поршня появится некоторое разрежение, которое будет распространяться со скоростью звука влево от поршня, увлекая гач за поршнем вправо. Конечно, описанное только что явление, так же как и формулы (8), (8'), (9) и (9'), относится лишь к случаю распространения слабых возмущений в газе. Однако для дальнейшего не столько существенны изложенные факты нли формулы, как сама текденяия возрастания абсолютной скорости погпока газа при прохождении вниз по его течению звуковой волны сжатия или вверх по течению волны Разрежения и, наоборот, убывания той же скорости при прохождекии вверх по течению волны сжатия или вниз по течению волны разрежения.
Так, при колебаниях звучащего тела в воздухе образуются попеРеменно то сжатия, то разрежения, вследствие чего в пространство уходят как волны сжатия, так и разрежения. распространяясь сквозь окружающий источник звука воздух, эти волны не только создают колебания плотности и давления в воздухе, но и приводят в состояние малых перемещений и сами частицы воздуха. Обратим внимание на еще одну, представляющую интерес для дальнейшего тенденцию. Пусть после прохождения звуковой волны вместо ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. тч равновесных значений давления и плотности ро н ро установились значения рр+р' и рв+р', тогда изменится и скорость распространения звука, которая станет равной 2 (ар) Отсюда следует, что приращение скорости распространения звука в газе за счет прохождения сквозь него звуковой волны представляет малую величину того же порядка, что и относительное уплотнение газа в волне р', а ниенна: Вели предположить, что в рассматриваемом баротропном процессе, вместе с ранее сделанным естественным допущением — ) О, выполир ар пер няется еще неравенство — 2-0 (это имеет место, например, для т изотермнческого и адиабатического процессов), то можно придти к существенному для дальнейшего выводу о наличии тенденции к возрастанию скорости распространения звука после уплотнении среды звуковой волной сжатия и, наоборот, убыванию скорости распространения звуло после прохождения волны разрежения.
ф 27. Изотермическая и аднабатическая скорости звука. „Конус возмущений" при сверхзвуковом движении источника возмущения. Число М и его связь с углом конуса возмущений Скорость звука, согласно формуле (9), зависит от характера баротропности процесса. Если предположить, что жидкость несжимаема, т. е. р = сопя~, то по (7) ао — — со. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости, с которой в дальнейшем придется неоднократно иметь дело, возмущения давления должны были бы распространяться с бесконечной скоростью, т. е.
всякое изменение в данном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев, такое отличающееся от действительности предположение может с достаточным для практики приближением приниматься д,чя расчетов, в других, как далее будет показано, от него приходится отказываться и пользоваться скОРОсть 3ВукА. Число М 159 получим скорость звука, соответствующую изотермическому процессу, или, короче, изотермаческую скорость звука а= ~гà —. Р' (10) Если предположить, что процесс распространения звука происходит без отвода тепла, т. е. адиабатически, то будем иметь: р = ~рь, — = йСРВ- г = й —, йр йР Р следовательно, адиабатическая скорость звука равна а= '~/ й —. (11) Формула (10) была впервые выведена Ньютоном, а формула (11)— Лапласом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
