Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 27
Текст из файла (страница 27)
=-. Рч. Р =Рв — в некоторой точке аднабаты. Действительно, переписывая (22) в внлс л 7с lсл Р Р йр 1с. Т=- — 1сТ=-.— ° — = ~ — +сопя! А' ' г =. Р(Р) (22') и замечая, что о (17), Л'л л' а — !' будем иметгч дифференцируя (22') по давлению Р: откуда следует дифференциальное равенство ЛР Лг — =а— Р З которое после интегрирования и приводит к (23). Наряду с функциями состояния г и зт введем в рассмотрение еще одну функггию состояния — отнесенную к единице массы газа энтропию 5, определяемую известным дифференциальным соогношепием г15 =У вЂ”, Т' (24) справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовоп поле действующих на движущийся газ объемных сил.
Докажем, что уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из курса термодинамики адиабаты й 21) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ где, в общем случае, под бесконечно малой величиной йд будем понимать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся обратимым путем за время Ж в элементарном объеме газа. Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство ао = О, т, е.
энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину, то такое движение называется иээнтроиичеснигс. Как известно, возрастание энтропии в изолированной 1адиабатической) системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, связанные с „потерями" механической энергии. Примером образования таких механических гютерь могут служить потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.
Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтролического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при отсутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему- либо возникает необратимым образом тепло.
Движение может быть, наоборот„ неадиабатическим, но изэнтропическим, если тепловыделения, связанные с превращением механической энергии в тепло, колгпенсируются путем теплопроводности или лучеиспускания. Само собою разумеется, что реальные движения являются неадиабатическими и неизэнтропическими и могут рассматриваться в качестве гдиабатических или изэнтропических лишь в известном приближении. В идеальном газе непрерывное адиабатическое движение является вместе с тем и изэнтропическим, так как при отсутствии внутреннего трения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.
Можно вывести общую формулу для энтропии совершенного газа, если в правую часть равенства 124) подставить выражение э'с)д из уравнения первого начала термодинамики уйс)= —.Ус„йТ+рив=)с йТ+ра') — 1= ус,аТ вЂ” —, др Ю Р и разделить обе части таким образом полученного равенства па Т; согда получим й8 = у — = ус — — —" ° — = Т ° т рт = Ус„— — гс — = )т ~ — 'й 1п1 — )' — й!п с1 (р) йя г lс„'р' и ш, замечая ещс, что па основании (17) э'сч 1 й — 1' 1гл.
ш 136 динлмикь идвьльной жидкости н гьзл найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения энтропии (25) откуда интегрированием получим 5 = — 1и ~ — ~+ сопзь Р Гр> Г (26) 2 22, Эйлерово представлемне конвектнвного изменения объемного интеграла. Перенос величины сквозь контрольную поверхность 1'ассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого ооьема т с поверхностью а. К такому объему, представляющему систему магернальпых жидких частиц, ь>ажно применять общие законы сохранения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения, моментон количеств движения, кинетической энергии и др.
11рн составлении выражений изменения со временем соответствующих величии приходится вычислять индивидуальную производную от объемного интеграла, нредставгинощего эту величину. 11о предыдущему, индивидуальная производная может быть представлена как сумма локалыюй производной, учитывающей нестационарность поля днфференцируемой величины, и конвективной произнодной, характеризующей неоднородность поля. Эйлеру принадлежит общепринятый в настоящее время прием выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже упоминалось в э 11). Условимся в дальнейшем называть, контрольной поверхностью", соответствующей некоторому движущемуся н>шнвидуальному жидкому объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую рассматриваемый движущийся обьем в данный момент времени. Контрольная поверхност~ представляет зафиксированную мгновенную форму поверхности тела в пространстве.
Перемещаясь в пространсгве, дсформирующийся жидкий об.ьем в каждый данный мол>ент времени протекаегп сквозь собственную конгпрольную поаерхносгпьч соответствующую рассматриваемому моменту времени. Эначение константы здесь не существенно, так как приходится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями. Иа уравнения 126) вытекает вновь, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтропическим.
Соотношение (23) можно было оы назвать изэнгпропической адаибатой или, короче, изэнтропой. ЭЙЛЕРОВО ИЗМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 187 5 221 Введелд ддонятие о переносе физической величины сквозь замкнутую или разомкнутую поверхность а. Возьмем в пространстве, заполнен- нолт движущейся средой, элементарную плошадку йа с ортом нормали п, направленным в положительную сторону площадки. Произведение й уг„да физической величины Ф, безразлично скалярной, векторной или тензорной, на секундный расход среды сквозь площздку. да определяет перенос величины Ф сквозь площадку йа, а интеграл ~ Ф Ии дав а перенос той же величины скозь поверхность а.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема векГору количества движения Г117, получим вектор переноса количества движения сквозь поверхность а, равный интегралу ) рд11гя йа. Протекающую сквозь поверхность а секундную массу среды ) руг„да можно рассматривать как перенос плотности р через поверхность а; 1. лад величину ! а — уг„да†как перенос кинетической энергии и т. и. а Докажем теперь, что кснвективное изменение ингпеграла одп некоторой ве.дичины, взятого по движущемуся обьему, равно переносу той зке величины сквозь „контрольную" поверхность, оградгичгдваюигую этот сбаем в данный момент времени.
Для доказательства поступим так же, как в в 11 нри выводе формулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный обьем на большое число элементарных трубок тока и для каждой из них 1слг. рис. 9) подсчитаем секундное конвективное изменение об.ьемного интеграла от рассматриваемой неличины Ф. Для этого, отвлекаясь ог локал1 ного д 1 изченения — ~ Ф дт, составим разность интегралов по смещенному дг.! к моменту 1+аг1 и первоначальному в момент 1 об.ьемам: ФЖ вЂ” ~ ФЮ. лвсв гпсв Эта разность интегралов, в силу непрерывности Ф, может быть с точностью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух величин: Фя ° объем СС'В'7У вЂ” Ф, ° объем АА'В'В, 128) '"ш как при вычислении конвективного изменения следует отвлечься "' пестационарности и сократить интеграл по общему для уменыпаемого " в~~читаедгого в разности (27) объема А'7уСВ'.
Искомое секундное конвективное изменение интеграла, распространенного по об ьему злсведгтарной трубки, будет равно: ФдяЪ'видав — Фд1гдп дад = Фа)l идея-1-Фд1гд„да . 138 1гл. щ ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ жидиоетИ И ГАЗА Суммируя эти секундные конвективные изменения по всему объему т с поверхностью о, получим полное секундное конвективное изменение обвемного интеграла в виде (29) что и доказывает предложение. Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только что проведенном доказательстве определялась индинидуальная конвективная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение во времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся объем, состоящий все время из одних и тех же чистик жидкосапи или газа.
Это означает, что внутри обьема не могло быть исапочников притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие— „особые' — точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их следует дополнительно выделять контрольными поверхностями, например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер в обпдую совокупность поверхностей, ограничивающих объем интегрирования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при рассмотрении движения жидкости. Итак, полная индивидуальная производная от рассматриваемого объемного интеграла может быть представлена следующей суммой: вг,) дг.) — ) Ф ГГт = — — ) Ф аГт )- ~ Ф Г/ аГа, д Р д аа а Гйо) Полагая в этой формуле последовательно: 1/т а Ф = р, р(ЯсяТ+ —, аале, г Х ЬЧ, р —, получим выражения индивидуального изменения во времени: массы, энергии, количества движения, момента количес.гва движения н кинетической энергии жидкости в рассматриваемом объеме. П риме чан не.
Непрерывность распределения в пространстве величины ф была использована при выводе формулы Г29) лишь в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока. аГто же касается объема трубки А'РСВ', общего для начального и смещенного положений движущегося объема АРСВ и выпадающего при вычислении приращения объемного интеграла, то внутри этого объема величина Ф может изменяться произвольным, непрерывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл сохранял определенный смысл.
Г1редпояожиак что внутри об.ьема, ограниченного „контрольной" поверхностью, имеются поверхности разрыва непрерывности интегрируемой величины, причем на этих поверхностях величина $23) ВйлЕРОВА ФОРьгА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ 139 претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую конечный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта поверхность разрыва ни целиком, ни частью не совпадает с контрольной поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю 1часть контрольной поверхности совпадает с поверхностью тока). Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29) непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
