Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности раздела. Равновесие вращающейся жидкости Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости (Р = сопз1) в потенциальном поле объемных сил. Уравнение равновесия по (57) будет — р дгао1 П = йгаб р Р + рП = соп з1. нли (77) Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности р, и оя находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела где а — радиус Земли, С вЂ” ускорение па уровне моря.
Г!и (71) будем имегь — 1и — 1- пол ( — — ~ = О. Ро Р 1 (76) Ео Ро ' (Я+го «+х! Ф 181 гьвноввсиз нвсжимьвмой жидкости 113 этих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давленме р и потенциал 11 непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения независимо от того, со стороны какой жидкости подойти к данной точке поверхности раздела. Производная от левой части равенства (77) по любому направлению в, лежащему в касательной плоскости к поверхности раздела, должна удовлетворять одновременно следующим двум равенствам: йр ап — +о — =0 дв '' ав откуда вычитанием получим дП (р,— р,) — =о; последнее равенство при принятом условии р, ф рв приводит к постоянству потенциала объемных сил П на поверхности раздела, По (77) при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела.
Отсюда вывод: при равновесии двух несмешиваюшихсн несжимаемых жидкостей равной плотности в потенциальном поле обьемных сил граница раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой. Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось л направить по вертикали вниз, равенство (77) дает р — раз = сопз1 или, заменяя произведение ра на удельный вес 7, р — Тл = сопзг. Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости (обычно, атмосферное), через р; тогда, помещая начало координат з точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем Р = Ра+Рбе=рв+Тв.
(78) Давление в данной точке на глубине в, за вычетом дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление р' = р — р„ будем называть давлением жидкости. Тогда, для расчетов давления жидкости на тело можно, опуская штрих, пользоваться формулой (78') Р= те, понимая под р превышение давления в жидкости нзд атмосферным давлением на свободной поверхности. Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости— служит горизонтальная плоскость е = — сопз1; на всей втой пло- СКОСТИ Р = Сопзь, 8 зак. Ииь л.
г. лоьывнскьь. основныг ягьвнвния движения н гьвновасия (гл. и Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг некоторой оси, сохраняющей в пространстве постоянное направление. Чтобы написать условие относительного равновесия вращающейся жидкости, как известно, следует к непосредственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще отнесенную к единице массы центробежную силу Г1ч1, равную Г1Ю = оРгч и имеющую потенциал П1ч> = — — еРггп 2 (79) (79') в то время как вектор-радиус г по величине равен г = )/ ха +уз+ ая. Уравнение относительного равновесия вращающейся жидкости будет иметь по (77) внд р+РП вЂ” — роРгь'=сопли (80) 2' Уравнение свободной поверхности (р = сопз1) будет РП вЂ” — оеРгчп = сопз1. (81) 2' Рис.
27. Так, например,.свободная поверхность тяжелой жидкости, вращаю- щейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси Ол, направленной вверх, будет иметь уравнение 1 рьга — — роР(хз+уЯ = сопз1, или, обозначая через л координату точки пересечения поверхности с осью Оа (х = О, у = О), — = — (х'+уз). 2д Это — параболоид вращения с параметром 81мэ, аависящии от угловой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости где ги — вектор, направленный по иратчайшену рассглоянию от оси вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине этому расстоянию; атот вектор гч не следует смешивать с вектор- радиусом точки г относительно начала координа|. Испи ось х совпадает с осью вращения, то г» = )/"ха+уз 18) олвновасие несжимекмой жидкости 115 вращения параметр убывает и ветви параболы в меридиональном сечении параболоида сближаются. Легко найти связь между высотой воды Ьо в сосуде при отсутствии вращения и величинами Ь„,„ и Ь„в, при вращении с угловой скоростью т.
Простое определение обьемон дает (а — рздиус цилиндрического сосуда) ндаг нгаг Ь =Ьо — —. агв 4й Таким образом, измеряя по шкале, помещенной на внешней поверхности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в жидкости агав Ь вЂ” Ь. =— наг мю Р— — — — выггв = сопвг,(82) Са 2 а уравнение свободной поверх- Рнс. 28. ности, ограничивающей вращаю игнй объем жидкости от окружающей его среды другой плотности, будет но (81) С штгв — + — = сонз1. г 2 (83) можно определить угловую скорость врщцения цилиндра, т. е. использовать прибор, как тахометр.
В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия равновесия, рассмотрни вопрос о фигуре равновесия вращающегоел объема однородноа жидкости, тяготеющей к неподвижно.ну центру силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до'центра. Примем (рнс. 28) ось г за ось вращения и начало координат О за центр притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости, С1 будет равен( — — ), где С вЂ” некоторая константа, г= Геле+уз ь ее рас. г стояние частицы жидкости М Ф от центра тяготения — начала координат О. Потенциал центробежных сил, отнесенных к единице массы жндкостн, будет по предыдущему равен ( г — — аггв ), где к — угловая 2 скорость вращения жидкого объема, ге =- Гехт+ )Ь вЂ” расстояние жидкой частицы от 3 оси вращения Ог.
Условие равновесия вращающейся жилкостн, если отвлечься от снл взаимного тяготения между части- цами, будет по (80) !16 ОснОВные уРАВнения дВижения и РАВнОВесия [гл. и Это уравнение н дает искомую форму поверхности фигуры равновесия, тяготеющей к центру жидкости при вращении ее вокруг неподвижной осн. Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим ускорение яо тяготения масс нз полюсе, находящемся на расстоянии го от центра Земли, тогда будем иметь: С я =ко го С= ,'йю и уравнение поверхности фигуры равновесия будет кого —,'+ 2 сопя!, причем сопя! онределястся нз условия, что на полюсе: г = го, г .=.
О, откуда следует лого = со11зг. Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь зил з т яо ' оЛ вЂ” + — = бог г 2 (84) яли, вводя полярный угол б, Рого ы гоз1п Š— + 2 2 = аого (85) Если бы Земля ие вращалась (н =-О), уравнение свободной поверхности свелось к равенству приближенно представлено так: 1 маго г = го(1 + — — 3!Яз 0) . 2 Ро Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли (86) гю — г;, ! чтго. 1 2 ло 600 гвио Геодезические измерения приводят к величине в доя раза большей. Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого приближения об однородности Земли и, что самое главное, неучетом взаимного притяжения частиц, изменяющего в корне самый закон притяжения к центру. При г == г'о н фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращении, 1 совершаемого Землей (ы =- !/сок), фигурой равновесия служит тело вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфопопд, уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости безразмерной величины 9 19! ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НЛ ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 117 9 19.
Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой жидкости. Случай вращающейся жидкости Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на некоторую твердую поверхность о определяются интегралаыи (и — орт нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости) К вЂ” — — ) прбо, 1.= — ) гХпрба, а (87) причем поверхность о, вообще говоря, незамкнута.
В частном случае тяжелой жидкости, заменяя давление р его выражением (78'), получим: м= — 7 ~ пгбо, 1.= — 7 ') гХпгбо. (88) а а Если поверхность о представляет как угодно наклоненную гглогкую стенку, то и= сопэ1 и первая нз формул (88) дает (89) Й= — 7пг о, Я=ул ° о, где л, (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С плошади о. Равенство (89) показывает, что главный вектор сил давления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно наклоненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой — глубину центра тяжести площадки под свободной поверхностью жидкости.
этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы относительного равновесия вращающейся жидкошви, что делает строгое решение задачи весьма сложным. Наряду с решением задачи о разыскании равновесных фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в действительности. Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и механики, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости движений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
