Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 21
Текст из файла (страница 21)
н (.ледуя приемам нредыдущего нараграфа, выразим оое час!и уравнения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин. Леву!О часть уравнения (41), используя закон сохранения элементарной мзссы (151, нреобразуем так: — ~ й (,lс, Т+ — )г1с =-- ~ р — (Угар+ —,) г1с-(- + ~ (УЕ,У-1 — Л) г,(раас) =- 1 р ~С(,УС!Т+- —.,)а1т (4~) 11овсрьностный интеграл в нравон чзсги (41) можно на основании фориул (й) преобразовать к виду: ) Р„° Чп'э =- / (лхРа ° Ч+ п„РВ ° Ч +паР„° Ч( гл=-. /лх(РЧ1„. 1- л„1РЧ)ад- и.
16ОЧ)4 !!э ==- ~ н . (РЧ1 !1т, а н.н!, !юсно. !,!овавннгс! форчулон 11сгроградского (66) гл. 1, рн ° Ч г1э — - ) 6 1у (ТэЧ) ггт, а а Введем обозначеннс: й!1 Чт (4.1) д (', Чз! Р— ( ус ! Т+ — ( = (аР ° Ч вЂ” ' 61У (РЧ) + У1ад. )=- (45) В декартовой системе координат, если вьннсать явно зна!ения индивидуальной нроизнодной и дивергеннии, уравнение (45) приме! внд: р ( — + Л вЂ” + Π— + тв — ц! 1Са Т+ — (иэ — -Р -; твз) ! = (,дт дх д! дг!'~ ' 2 = ! 1лрх+ вся+ тлР) + д . (Р В+Рхав ! Р.
аах) + + — (Ра,и -1-Ру„о+ Р„аж) 4- д (Р, и+ да!О +Раатэ)+ гИ. (46!) д д где под !Т условимся понимать секундный нригок тепла к бесконечно малому обьему в данной то!ке, отнесенный к массе этого обьема. Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных интегралов через объемные и используя произвол в выборе об.ьема -., получим уравнение баланса энергии В дифференннальной форме: )6) ч]лвнюпп ьл]мюл >]п.м нн Вели]ина ]7 секу]шпого притока тепла. огнсссппого к единице массы, моя<от бь]гь определю]а, если известен сам процесс притока ] ]]пл;]. 1)сповп]яь] механизмом распросгр,п]ения тепла н мощности или гя,]с является ппллог]р]лп]днг]сп]ь.
Заме]ая, что количество тепла с](>, прпхг]дяп]его п единицу времени ]срез пгп]пппгку г)э. Равно по известной формуле Фурье "д дТ где л — коэффициент ген.юнровп>ыюсгн. а прон,шолшш жрется по ка ]рлвлению нормали к площадке ])т, бу>дел] нмепп . дТ вЂ” (л . ' а'1 7 )ч и " ' д] птк],ш ]н] ]!ь]рмуле 1)строгр,]лс!.0].о (66) ].]. ]))ч () Мгас) '! '] и и (17) н:]и, сравнивая с равенством (44), опрглс,ьпо]пим 1.]7 = ]))ч (Х гад Т). 1лоэффнциенг теплопрозодности в газах,]заисит о] .]емперагуры, так ]то в общем случае величину ).
за знак дифференпиалююго опера]ора г))ч выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл. ]]Ш. Заметим, что прн малых разностях тел]иератур в потоке можно я первом приближении положить )..-= сопз1; в этом слу ]ае будем иметь (49) ,э]7 .= 2 6)ч гад Т = Д таТ, де , дт , да где ла=-=ч ] == —. 4- — ',,—,' — „---снмво.] операм ]ра Лапласа. дхэ дуе ' дее 1)риток (положитель,ный или отрипате>п,пый) тепла может проислодигь также б:шгодаря лу]еиспусканию (например, в топках котлов, в металлурги ~вских пе']ах, в атл]оса]ерс пол влиянием солне ]ной радиации и др.) и по другим физн еским (конденсация.
парообразовапне и др.) н химическим (горение и др.) причинял]. Г!олучснная система динамических — (22) и (30) — и энергетического (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду, крайне сложна, кроме того, число входящих в сис]ему уравнений на много меньше числа неизвестных, так что система является незамкнутой, неопределенно)). Для доопределения системы и возможного ее упрощения приходится делать р]щ дополнительных допущений, приводящих к более или менее отвлеченным схемам движения жидкости 104 основныв л'лвнвния лвнжания и глвновксия (гл. и илн газа. Таковы, например, схемы идеальной, т.
е. пе обладающей внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жилкости и идеального сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей и мн. лр. Основные из этих схем булуг рассмотрены я лальнейшем па протяжении настоящего курса. Остановимся сначала на одном практически важном и интересном случае применения вынеленных общих уравнений в на у ьении о равновесии жидкости и газов. В этом случае, как будет показано, составленных уравнений достаточно лля любой жидкой или газообразной среды, удовлетворяьопьей лиьпь двум основным принпипам, изложенным во введении: непрерывности и легкой подвижности.
Согласно основному свойству яьнлкостей и газов — легкой подвижности, — при равновесии отеутеьпвуьопг иасательние силы сопротивления взаимному скольжению жилких объемов друг по отношению к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь нормальные к этим площадкам силы. Таким образом, при равновесии жилкости или газа векторы напряжений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним площадке (й 14), будут равны: (50) Ре Риг(~ Рв Рьье1~ Ре Рве1с Рч Реи а касательные компоненты напряжений равны нулю: Реь=рех=рв =Р в = Рье=рт=0 (50') Подставляя аначения напряжений в основную систему равенств (10), найлем: Р„п = п„Р „Р„п„= п„ргш Р„п, = п,Р„, откуда сразу следует Р =Рвг=Р~*=Рч' (51) Общее значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке жидкости к площадке любого направления, назовем д ьвлепиель в данной точке жидкости или газа и обозначим через „вЂ” Р" в знак того, что вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к площадке: (52) Р„= — Рп, что соответствует сжатию выделенного объема.
Давление Р— такой же физический скаляр, как плотность, температура и др. % 1У. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа. Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические формулы. Стандартная атмосфера 171 ОБщие унлнняния гяпноззсного с<)стояния 105 Тензор напряженности Р при равновесии среды имеет таблицу.
— р, о, о о, о~ О, — 1, О =--1 О, 1, 0)= — р5. 15:1) О, О, — 1> о, о, Симметричный тепзор й, компоненты которого огне >ают условиям: 5.„=-.~я„=,".„=1, 5„,=5,„=~е,=О, нлзыяаюг единичным тензором или тензорной единицей. Последнии раиенства должны выполняться, оченидно, независимо от выбора системы координат, т. е. единичный тензор должен останагься единичным при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей координат; это можно было бы показать и непосредственно на основании формул преобразования компонент тензора при изменении направления осей координат (см., например, ранее цитированный курс зекторного н тензорного исчисления Н.
Е. Кочина). Формула 112) вместе с !52) н (53) дает очевидную систему равенств: р„= пР = — рп$ = — — рп, 154) из которых, между г>рочим, видно, что пб=п, (55) тзк >то умножение орта и на тензорну>о единицу приводит к тому же пектору, — общее свойство умножения любого вектора на тензорную единипу, и чем легко убедиться, проделав операцию умножения по ранее установленному и гл.
! правилу 120). Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относительного покоя, рассмотрим урапнения движения, частным случаем которых при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равновесия. Уравнение неразрыпности (22) сведется при этом к первому условию равновесия др — =О, дг т. е. к стационарности поля плотное>пей среды. Уравнения в напряжениях 129) на основании таблицы (53) дают гчедующую систему основных уравнений равновесия среды: 156) 166 основные тплвпвння двнжигия и Равновесия ~!э!.
и называемых уравнениями Эилери (швновесия жидносгии или газа, Система (56), о !евидпо, эквивалентна одному векторному уравнению (57) ВГ = дг!!й р, ко!орос можно было и сразу вывести из (37), заметив, по по (53), (51), (55) и интегральной формуле (70) гл, 1: Р1ч Р = Р1ч ( — р6) --- 1пп — ~( — пйр Нс = 1 Г ат.+о а 1 ==. — 11щ — ~ прда = — тай р.
ь .+е а которое, при наличии .!.олько теплопроводносги приводится по (46) к уравнени!о: рсе —.— =- 51т (1 втаб Т), дТ (59) а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоянным 1св!. формулу (49)) — к уравнению: дТ вЂ” = а тЯТ, дг (6 О) гле постоянный коэффициент а называют коэффициентом те.ипсратуроароводности. Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной форме (57). 11ростыми операциями из него можно исключить плотность и давление.
Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного равенства (57) операцию вихря го1, тогда р пропадет, так каь гог афтаб р = О; будем иметь го1(рГ) = О или, раскрывая скобки по изнестному правилу векторного анализа, получаем рго1Г+пгад р Х Г = О. (61) Умножим теперь обе части этого равенства скалярно на Г; ~огда, заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно своему сомножителю Г, найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равновесие жидкости или газа: Г ° го1Г= О, (62) 11!скопец, уравнение баланса энергии (45) лает тепловое условие равновесна жидкости или газа дТ с,.— = 7, ' дг 107 17] овщнь уилннкния Гзицовьсно! 0 сос>оянка нли, н проекциях на осн декартовых координат: дР дР,, дмм др.
д>; д>', и(д д )+ в(.д д-) ! (д д ) К !пслу объемных сил, удовлетворяющих услови>о (62), относятся прежде всего силы, имеющие потенциал П, так как для них Г= — нгаб П, го(Р=О. В ятом случае, как легко усмотреть нз равенства (61), а!ядр х', нгаб П = — О, (63) нгаг( р к, нгай р = О Р Х лгад р = О, или по (57) отсюда, на основании (61), вытекаег го! Г = О, Г = — ага 4 П. Если в движущемся или покоящемся газе плотность является Яун>синей только давления, то такой процесс движения или равновесия называется баротропным.
Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии о = р(р) изобары н изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что былс показано, силовое поле должно быть потенциальным. Более общее условие (62) имеет смысл требования существования в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям," причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать с нзостерами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
