Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной точке потока через „вЂ” р'. Скалярную величину р будем называть давлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равновесия, выделяется спепиально, чтобы подчеркнуть противоположность направления вектора нормального напряжения р„ направлению орта нормали к положительной стороне площадки. Таким образом, напряжение, 124 )гл. ш динАмикл идеАльнОЙ жидкости и ГАЗА приложенное к положительной стороне любым образом наклоненной элементарной площадки в идеальной жидкости, определяется формулой !3) р„= р„п = — рп. Вспоминая предыдущую глзву, видим что полученные только что формулы, верные лишь в случае движения идеальной жидкости или газа, совпадают с соответствующими формулами равновесия любой реальмой сплошной среды.
Совокупность. равенств (3) эквивалентна тензорному равенству р= — рй, (4) которое также совпадает с аналогичным равенством (53) гл. !! для находящейся в равновесии неидеальной сплошной среды. При отсутствии касательных сил трения, два параллельно движущихся слоя идеальной жидкости могли бы иметь совершенно произвольные скорости, свободно скользить друг относительно друга. Этот факт находится в явном противоречии с принципом непрерывности поля скоростей, положенным ранее в основу кинематики и динамики жидкости и газа.
Можно было бы ожидать при этом, что схема идеальной жидкости должна привести к результатам, далеким от реальности, бесполезным для практики. Однако это не так. Теория идеальной жидкости в большинстве случаев с достаточной для практики точностью описывает обтекание тел, оценивает распределение давлений по поверхности обтекаемых тел, дает суммарную силу давления потока ма тело и мн. др.
Причиной достаточного совпадения с опытом столь, на первый взгляд, отвлеченной, „идеализированной" схемы служит дополнительное допущение о сохранении и для идеальной жидкости принципа непрерывности распределения механических и термодинамических величин в движущейся среде.
В этом фундаментальном принципе механики сплошной среды заложена главмая качественная сторона физического механизма молекулярного обмена в жидкостях н газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей физических величин и, с другой, к наличию трения и теплопроводности. Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от количественной стороны влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся в виде трения н теплопроводности, сохраняют в силе главную, качественную сторону явления — непрерывность распределения физических величин.
Принцип непрерывности движения среды приходится нарушать лишь в некоторых особых случаях: на границах двух идеальных жидкостей разной плотности (поверхности раздела), на поверхности твердого тела, обтекаемого идеальной жидкостью, а также на некоторых специальных поверхностях, где физические величины или нх производные могут претерпевать разрывы непрерывности (поверхности разрыва). В первых двух из указанных случаев допускается свободное скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение жидкости по поверхмости твердого тела, причем ставится условие $20) гвавнвния движения идеальной жидкости 125 отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жид- кости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости).
Как далее будет показано, в наиболее важных для практики случаях эти нарушения основного принципа непрерывности обычно сосредото- чиваются в тонких слоях (пограничный слой, граница струи, ударная волна или скачок уплотнения и др.), принимаемых за поверхность или, в случае плоского движения, за линию.
Вне этих поверхностей или линий все величины считаются непрерывными, что позволяет при- менять обычные приемы составления и решения уравнений динамики идеальной жидкости или газа. Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности элементов ни внутри движущегося потока, ни на границах его с твердым телом. В действительности жидкость илн газ не могут сколь- зить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой стенкой, равны нулю, жидкость, как бы „прили- пает' к поверхности тела. Однако эта скорость резко возрастает при удалении от поверхности тела и на внешней границе весьма шинного, по сравнению с размерами тела, пограничного слоя достигает зна- чений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной жидкости.
В этом вторая причина возможности применения схемы идеальной жидкости для расчета обтекания важных для практики тел плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса турбоиашины и др.). В случае плохо обтекаемого тела пограничный слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину обтекания тела идеальной жидкостью. Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жид- кости получаются путем упрощения согласно равенствам (1), (2), (3) или (4) общих уравнений движения, выведенных в гл. П. Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений, сохра- нит ту же форму: (16), (17) или (17') гл. 11 при лагранжевом спо- собе определения движения и (18), (21), (22) или (23) той же главы— при эйлеровом представлении движения. Уравнения в напряжениях (28), (29) или (30) гл.
11 также упростятся и приведут к одному из следующих двух векторных уравнений: — = à — — ягаб р, й1Г 1 лг (5) дг +(У ° 11) У вЂ” Р— — дгаб р, дУ 1 (5') нли в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат: ли ди ди ди ди 1 др — = — +и — +о — +те =Р Лг дг дх ду+ йг и р дх' ~ — = — +и — +о — +те — = гт — — —, Ло до до де до 1 др Лг дг дх ду дг в р ду ' (6) дге дге дге дге дге 1 др — = — +и +о — +ш — =с — —— лг дг ех ду дг * р дг' (гл. п! динамика идеальной жидкости и глзл !26 Уравнения (5), (5') или (6) представляют различные формы уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости или газа.
! Вектор ( — — цгабр), стоящий в правой части (5) и равный !пп — ) — рп йо, ьт.ьо Рая ) согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный к единице массы главный вектор сил давления или иначе силу обаеж- ного действия давлений в данной тачке. Вектор г дает, как обычно, отнесенную к единице массы собственно объемну!о силу. Движение идеальной жидкости можно нсследовагь также в лагранжееих переменных Г, а, Ь, с ($ 8). Лля этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение на его лагранжеао выражение: Н/ дт — = — г(Г;п,Ь, с), т дсз ва дтх ао дзу йш дзг й( др' йт дсз ' т дтз от сложной функции: др дг др дг да да ' др дг др дг дЬ дЬ ' др дг др дг дс дс ' производной + др ду и замечая, что по формулам др дх дх да др дх дх дЬ др дх дх дс ду да ,др др + — — + ду дЬ вЂ” ° — + др ду ду дс и перепишем уравнения так: дгх ! др — =Р др а р дх' дту ! др — =г др а р ду' дзг 1 др дгз ' р дг' Будем предполагать, что Р, Рш Рс так же как н р, рассматриваются как сложные функции Г, а, Ь, с через х, у, г.
Умножнм обе части первого уравдх ду дг пеняя на —, второго на —, третьего на — н сложим между собою. Тогда, да ' да ' да вводя обозначения: дх ду дг (Г; а,Ь, с)=Р— +Р— +à —, а ' ' ' г да Я да ' да ' ал« 'Ь С)ь Рг —,а+Ряд,+'дЬ Ос(Г; а, Ь, с) = Р.— + Рг — + Рл —, дх ду дг х дс " дс с дс ' уиьенении движения иделльиой жидкости 127 ъч ю) получим, повторяя указанную операцию умножения уравнений Эйлера на ,...
и —,... с последующим сложением левых и правых частей уравд дь ' ''' дс ' ''' пений, уравнения динамики идеальной жидкости в лазранжевой форме: — = ()а — — —, де 1 др да а Еда'~ дя 1 др — =1)ь — — —, ~ дЬ р дЬ' д'х дх дту ду дъх — — + —.— +— дг" да двз да двт дзх дх дзу ду дте — ' — + — — +— двз дЬ д1з дЬ двз дзх дх дту ду дтв —.— + — — +— дтв дс двт дс дсз (7) Рассматривая переменные Лаграыжа а, Ь, с, как криволинейные коорди><аты точки М (х, у, я), ма>кем придать величинам (га, ()ь, Ц смысл приве- 1 др денных к единице массы обобщенных объемных сил, величннвм — — —, Р да 1 др 1 др — — †, — — — — приведенных к единице массы обобщенных сил объем- Р дЬ ' р дс ного действия давлений; выраженыя, стоящие в левых частях уравнений, д"г представят, с этой точки зрения, проекции ускорения Ф = — на оси криводгз линейных координат а, Ь, с в точке М(.г, у, л), умноженные ыа соответствую- щие параметры Ляме Н„= и др.
Поскольку в уравнениях (7) ыеизвестными являются функции: х(Г; а, Ь, с), у(й а, Ь, с), з(Г; а, Ь, с) и р (Г; а, Ь, с), то направления криволинейных осей наперед ие известыы, поэтому дальнейшие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике производят при составлении уравнений Лагранжа второго рода, ые представляют интереса. Отметим, что при наличии потенциала объемных сил 11(Г; х, у, х) = =- П (Г; а, Ь, с) и функции давления (<у(Г; а, Ь, с) уравнения (7) полезно еще преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам и замечая, что: дП () = —— де ' дП ()ь =— дЬ ' 1 др дм' Р дЬ дЬ ' дП () = —— а да' 1 др двр 1 др дв> Р да да ' р дс дс ' 128 [гл. ш ДИНАМИКА ИцвАЛЬНОй ЖИДКОСТИ И ГЛЗА будем иметь: + о — + ое — ) = — ( — — ф — 11~ ду дз ч д е(сз да да ) да (, 2 ду дзц д /Из + о — + ю — ) = — ~ — — ос — 11) дЬ дЬ) дЬ(,2 (7') Выражение Е, стоящее в скобках справа, представляет разность приведенных к единице массы кыыетической энергии движущейся среды ы суммы потеициальыых энергий силовых полей объемного действия сил давления и внешних обьемных снл.
Это выражение может быть названо ириоеденной к единице масси лазрпнжеоой функцией ыли кинетическим потенциалом, а интеграл этой величины за некоторый интервал времени (Го, Г) — прнзедеыным к единице массы дейстеием. Уразыення (7'), после интегрирования нх по времени в интервале (го, Г) могут быть приведены к виду: дх ду де дхо дуо дсо и — +о — +те — — ио оо ™о да да да да да да дх ду дх дх, ду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
