Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дейстнительно, умножнм обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно па Ч де и проинтегрируем по объему т; получим: а Г рг — ~ р — де= ~ рр ° Чс(т — ~Ч ° лгад р. иг ~ 2 с Вычтем почленно обе части последнего ураннения из уравнения (45), тогда найдем ~ рМт„дт = ~ !д)ч(рЧ) — Ч дгад р) г7т= ~ р 51ч Чдс. (46) т Отсюда л силу произвольности выбранного обьема -, следует: Мг„— — — 51ч Ч, р (47) иля по уравнению неразрывности (18) гл. П: раз аГ15 дп 1Ч = — — — =р — ~( — ~~.=р— вг аг аг(,р) (47') — выражение, и котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы и вРемени работу расширения газа, входящую в уравнение первого начала термодинамики (о — удельный о5ъем): УГГГ( = — УсчдТ+рдп=Ус,дТ+рд( — )) Результат этот можно было ожидать заранее, так как уранне"не (45) легко выводится как следплвие уравнения сохранения энер- (16) и уравнения первого начала.
действительно, переписав Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального жидкого обьема должна, как известно из теоретической механики, формулиронаться так: „производная по нремени от кинетической энергии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних (объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует [гл. щ динАмикл идеАльной жидкости и глзА уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем несколько преобразованном виде: — ~ Р(ЗсьТ+ — ) йт = ~ Рг . Чйт — ( д!ч (РЧ) аРт+ ~ РУЧ с!т, Г Г Г йг!Т вЂ” ~ р3с. Т йт = ~ 87ру йт — ~ ор — ! — ) и'с йг ~ ~ ~ йг1,р! и вычтя одно из другого, получим: — — й = 1 рг ° Чйт — ~ д!чгрЧ) !т+ ~ „— ! — )й т 2 йг р, рР Чйт — ~ рп ° Чйо+ ~ рй!КЧйт — ~ р — $'„Но=О, (48) р откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и лющностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с переносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна нулю.
Г!рименим эту теорему к объему элементарной трубки тока между двумя произвольными ортогональными сечениями йо, и йоо. Будем иметь, из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения: !рг ! рр ° рр:~ ~ре рр ч-(р,р,ьр, — ')р,— 1;В 2 — р„!Гя+ о, — ! йо = 9. 2 / (49) В том случае, когда линии тока допускают проведение ортогональных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной т.
е., согласно (47'), ни что имое, как уравнение 145). Можно было бы и наоборот вывести уравнение баланса энергии (16) из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом смысле закон сохранения энергии представляет первое начало термодинамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение изменения кинетической энергии является простым следствием уравнений динамики газа. В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении кинетической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В случае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде 145 тзоятма Бягпулли толщины: рг Ч с~. + ~ р бш Ч 1т )- + ) (Рк+Р 2)пс ) (Р1'+Р 2)По=0, (50) а, где ч, и оя — два неплоских сечения трубки, ортогональные зо всех своих точках линиям тока, т — ограниченный ими и боковой поверхностью трубки объем трубки тока.
Заметим, что, в отличие от теоремы количеств движения и момента количеств движения, в формулах (49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений, приложенных к боковой поверхности трубки тока; это и естественно, так как сила давления на боковой поверхности направлена перпендикулярно к скорости частиц. Формулы типа (49) н (50) практически могут применяться лишь в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом интеграл, представляющий секундную работу (мощность) расширения, обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложными для применения. й 25.
Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии при стационарном баротропном движении идеальной жидкости и газа Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баротропное движение с функцией давлений э. Тогда, опуская з уравнении Громека (13) первый член, равный при стационарном движении нулю, и умножая обе части (13) скалярно на вектор скорости Ч, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору Ч: Ч йтабЕ У( —, йгабЕ)=0, /Ч или, что все равно (вспомнить определение конвективной части индизидуальной производной в конце 5 9 гл.
1): — =О, я'Е (51) где символ л1фз означает производную, взятую вдоль траектории или линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенстза (51) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока величина Е сохраняет одно и то же значение: Е = — + зт + П = сопз1 (вдоль линии тока). (52) 'г'т 1О звч. Пнп л.
г. лаачячевиа. 146 дянлмикь идзьльной жидкости н гьзь 1гл. п~ Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к единице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную энергию поля объемного дейппэия сил давления в данной точке потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма Е этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось, отнесенную к единице массы полную механическую энергию потока в данной точке.
Равенство (52) дает следующую формулировку теоремы Бернулли: при стационарном, баротропном деижекии идеальной жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил приведенная к единице массы полная механическая энергия потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории или линии тока.
Из уравнения Громека (13) в случае стационарного движения сразу следует постоянство полной механической энергии Е также и вдоль любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае стационарного движения первый член н умножая обе части (13) скалярно на Я, получим: Я ° дгадЕ=- 121т — ° атад Е~= 2 — „=О, сЫ т йБ ~а ' где Ж вЂ” дифференциал дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует, что вдоль вихревой линии величина Е имеет одно и то же значение: 1сй Е= — +У+ П=сопзг (вдоль вихревой линии). (53) 2 При стационарном движении вектор, равный произведению ъгХ7, образует потенциальное векторное поле, так как по (13) го1(Я Х ч) = — го1цгай Е О; при этом, как известно, через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей через эту точку. Эти ортогональные 3=сеть поверхности будут поверхностями уровня полной механической энергии, так как градиент энергии направлен по нормали к нии.
Иными словами, полная механическая энергия сохраняет одинаковые значения на всех поверхностях, ортогональных к вектору ы Х Ч в данной точке, или, что все равно, на поверхностях, касательРнс. 32. пые плоскости к которым в любой точке пространства содержат векторы 12 и ч'. Этн поверхности уровня полной механической энергии можно получить, взяв (рнс. 32) какую-нибудь линию тока и проведя через все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую ч 25) 147 т'еоРемь БЯРнулли поверхность †поверхнос уровня энергии, проходящую через данную линию тока.
Можно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и через все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока образуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию. Следовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии тока, или поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут поверхностями уровня приведенной к единице массы полной механической энергии стационарного, баротропного потока идеальной жидкости, находящейся под действием потенциального поля объемных сил. Резюмируем предыдущие положения так: если в стационарном баротропном потоке идеальной жидкости, находясцемся под действием потенциального поля объемных сил, поверхность тока совпадает с вихревой поверхностью, то эта поверхность слузкит поверхностью уровня приведенной к единице массы полной механической энергии потока.
Таким образом, все пространство, заполненное стационарно движущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическая энергия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе от одной поверхности к другой.
Точно так же константы, стоя~дне в правых частях равенств (52) и 153), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те линии тока, которые проходят через точки одной и той же вихревой линии, нли вихревые линии, проведенные через точки одной н той же линии тока. Значения констант в равенствах 152) и (53) определяются величиной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
