Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 33
Текст из файла (страница 33)
35. Звуковые волны, распространяясь в ограниченных стенками каналах, отражаются от стенок и образуют сложные сетки линий возмущения. % 28. Распространение непрерывных возмущений конечной интенсивности. Характеристики. Образование разрывной ударной волны В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными отклонениями давления, плотности и температуры от их равновесного значения и очень малой по сравнению со скоростью распространения звука возмущенной скоростью.
При однородности полей невозмущенных элементов (давления, плотности и т. п.) в неподвижном или квази- твердо поступательно движущемся газе скорость распространения звуковых волн была всюду одинакова и зависела только от физических констант Ф, 7с' н абсолютной температуры газа. Как это следует из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине интенсивности возмущений того нли другого знака (относительного сжатия или разрежения газа) растут или убывают и скорости абсолютного движения частиц в возмущенном газе. Можно предугадать, что распространение возмущений конечной интенсивности вызовет в покоящемся илн движущемся поступательно как одно целое газе появление новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на конечную величину.
Такое конечное изменение поля скоростей, согласно закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению термодинамических элементов потока, а следовательно, и к изменению самой скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить указанную в конпе З 27 тенденцию увеличения скорости распространения звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны и 281 паспгостванвнив конечных возмещений !65 к виду ~Ур др ди йр др 1 дьг ди, 1 дФ ар дс дх йр дх аа ос дх а' дх — — + р — + и — ° — = — р + р — -(- и — р — ' = О, после чего система (1) перейдет в следующую: ди ди дм †+ — = —— де дх дх' 1 даг и дат ди а де+а дх дх'! в. н;..... о~а. а. гари,...
д .~ ~.вй цй- ... -и.~ 1 ~с!'ячпйяпйьие1!е. АЬиаяй!. й. 0еа. й. %1зь. гч ООН!и еп, 1860. (24) сжатия и, наоборот, уменьшения этой скорости при прохождении волны разрежения, то можно себе представить, что последовательно образующиеся слабые волны сжатия должны будут догонягль друг друга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все меньшие и меньшие скорости распространения, т. е.
будут друг от друга отставать. Распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет, таким образом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих ее волн. Это приведет к образованию плоской (в рассматриваемом одномерном случае) волны конечной интенсивности, распространяющейся со скоростью, превышающей скорость звука, и тем ббльшей, чем больше интенсивность волны. Такую движущуюся по отношению к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного скачка скорости, давления, температуры и плотности газа — называют ударной волной.
Изложенные качественные соображения о механизме возникновения ударной волны можно, следуя Риманну,' подтвердить и с количественной стороны. Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1). Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а, равную по предыдущему величине местной скорости распространения звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа в рассматриваемой точке потока (22) Пользуясь функцией давления дг, которую можно рассматривать и как функцию плотности по формуле У Р г (23) У гч м преобразуем второе уравнение системы (1) дь ди др д +Р7 +ид одномагный поток идеальной жидкости [гл.
ш 166 аг новую функцию У» соотношением Введем теперь вместо функции давления связанную с нею простым дифференциальным 1 Ю = — аЮ. и (25) Тогда система (1) может быть переписана ди ди дб' — +и — = — а —, де ' дх дх' в форме: (26) дб» 1 дй» ди — +и — = — а —, де + дх дх' (28) »гх — = 160я=и — а. й (29) откуда сложением и вычитанием легко получить более удобную для последующих выводов систему уравнений: д д — (1З' + и) + (и + а) — „(Ы' + и) = О, 1 (27) дг — ф — и)+ (и — а) — (У вЂ” и) = О.
дх Левые части уравнений (27) представляют одномерные индивидуальные производные: в первом уравнении от величины Ф + и для точки, движущейся со скоростью и+а, и во втором уравненииотвелнчины У вЂ” и И,) / для точки, движу»пелся со / / скоростью и — а. Равенство е, аом 1„,я1 нулю этих индивидуальных / производных говорит о соз, а»=агег91и-а1 хранении величины 6+и ~,аг в точке, движущейся со ско- / ростью и+ а, и величины / У вЂ” и в точке, движущейся 1г 1 со скоростью и — а. Полученный результат О имеет следующий геометриРнс. Зб.
ческий смысл. Рассмотрим в плоскости аргументов (х, ») семейство (С,) (рис. 86) кривых, определяемое дифференциальным уравнением »гх — 166» =и+а, и втоРое семейство (Ся), отвечаюпгее Решенная ДиффеРенциального уравнения 9 28! РАспРостРАнение конечных ВОзмущениЙ 167 Действительный внд этих кривых определится только после решения системы (1), так как справа стоят неиавестные функции и (х, г) и а (х„г); существенно, однако, что в каждой точке плоскости (х, 1) известно направление касательных к этим кривым, если заданы значения и и р в этой точке.
Из уравнений (27) следует, что: 1) на кривых семейства (Сг) ег+ и = сопз1, (ЗО) 2) на кривых семейства (Са) ет — и = сопз1. (31) Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих ееиействам (С,) и (Ся), еушеетвугот определенные соотношения (ЗО) и (31) между функциями и и м, а при заданном характере баротропного процесса, и между основными неизвестными функциями и и р. Семейства (С,) и (Ся), образующие в основной плоскости аргументов (х, 1) сетку кривых, обладаюпгих тем замечательным свойством, что вдоль ннх интегралы уравнений в частных производных удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений (в нашем частном случае уже проинтегрированным конечным соотношениям (30) и (31)), назывшотся характеристиками системы уравнений в частных производных; угловые коэффициенты этих кривых, определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические направления.
Примером характеристик в простейшем случае линеаризированных уравнений распространения звуковых волн (5) служат семейства прямых: х — а1= сопв1 и х+а1= сопв1, вдоль которых сохраняют одинаковое значение скорости возмущений и остальные физические величины. Равенства (30) и (31), при заданном уравнении баротроцного процесса р=-р(р), образуют в плоскости (и, е) также два семейства кривых, которые можно рассматривать, как „изображения" характеристик (С,) н (Ся) в плоскости (и, р) или как характеристики в плоскости (и, р).
Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1), как существование характеристик позволяет свести задачу разыскания интеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего заданным начальным условиям, к простым графа-аналитическим приемам, основанным на использовании системы дифференциальных урав"ений (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (ЗО) и (31).
Предположим, что нам задано начальное условие в виде значений скорости и плотности и (з) н е(з) Рдоль некоторой кривой (о), не совпадшощей ни целиком, ни частью с кривыми характеристической Однемегиый ПОТОК ИДЗАЛЬНОй жИДКОСтн 168 [гл. <ч сетки (рис. 37). В частном случае могут быть заданы значения этих величин в функции от х при Г=О, т. е, начальное аозл<ул<ение пРи г= О, и = ае(х), Р=Ре(х) Определив по (28) и (29) угловые коэффициенты кривой (С!) в точке А и кривой (Ся) в точке В по формулам: ( †)— ах'< !ах т !! ) = а,! 1" а<= ах+а (Рл)1 [ ) = ал ан = ан а(РВ)~ л [а<)В В В проведем соответствующие характеристические направления и построим треугольник АА,В.
Рис. 37. На отрезке АА, характеристики (С,) выполняется, согласно (30), равенство В(Р,)+., В(Р„)+ а„ с другой стороны, на отрезке А,В характеристики (Сз), согласно (31), будет: О (Ра) — а„= В Ь,) — и,. Из полученной сложением и вычитанием системы равенств: Ф(Рл,) 2 !У(Р )+ +Ф(Р ) В1 л 2 1~(РА)+ А ~(' В)+аз1 легко находатса значениа Р н ал. 4 182 Рлспностнлнениз кованных Возмущвний й 28! Повторяя точно такое же рассуждение о треугольнике ВВ,С, построенном по значениям угловых коэффициентов характеристики (С,) в точке В и характеристики (Сз) в точке С, найдем значения ин н Р в точке Вг Но по полученным значениям ид, Р и ин, Рп легко в, наметить дальнейшие направления характеристик, построить, таким образом, треугольник А!А!В, и по предыдущему определить значения и и р в точке Аз.
Аналогичным приемом можно было найти значения и и р в точках Аз, Вз и т. д. Задаваясь достаточно густым делением кривой !Я) в точках А, В, С и т. д., найдем указанным только что графо-аналитическим приемом значения неизвестных функций и и Р в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, !), что и решает поставленную задачу. В этой возможности при помощи характеристик построить полное решение системы уравнений, удовлетворяющее некоторому заданному начальному распределению неизвестных функций, и заключается важное принципиальное значение идеи применения характеристик.' В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа, согласно уравнениям !1) нли (27), характеристики (С,) и (Св) в пространственно-временной плоскости (л, Г) имеют простой физический смысл.
Это — движущиеся вдоль оси Ол со скоростью и+а или и — а и перпендикулярные к этой осн плоскости, причем в плоскости, движущейся вниз по течению со скоростью и +а, сохраняет свое значение сумма У + и, а в плоскости, движущейся вверх по течению со скоростью и — а, сохраняется разность У вЂ” и. Если вместо абсолютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения относительно газа, то эти движения представятся как распространение в противоположные стороны двух волн со скоростями - а, равными по абсолютной величине местной скорости звука. Чтобы составить себе общее впечатление о характере рассматриваемого движения газа, обратимся к изучению одного простого частного решения системы (27).
Будем предполагать движение газа баротропным и закон связи между давлением и плотностью р = р !Р) заданным; тогда, согласно (25) 1 Несколько подробнее метод характеристик в приложениях к сверхзвуковым задачам будет изложен в гл. Ч!. Строгое изложение теории характеристик и доказательство теоремы едннственностн решения уравнений характеристик можно найти в специальных курсах дифференциальных уравненнй в частных производных. См., на"Ример, Р, Курант н д. ! ильберт, Методы математической физики, !! Гостехнздат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
