Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 34
Текст из файла (страница 34)
!945, стр. 66. зздач !!Рнложение метода характеристик к нелинейным газодинамическим ., гео дз"зм достаточно подробно н полно изложено во втором томе курса ' еоретнческой гндромеханнкн" И. А. К н б е л я, Н. Е. К о ч н н а н р о з е. 170 ОднОмеРный поток идеальной жидкОсти [ГЛ. 1У (33) а по (28) ар= а (34) Построим частное решение системы (27), положив во всей плоскости (х, С) Ь вЂ” 1 ррр-г т[( 1 '1 (35) где ае и ре — значения скорости звука и плотности в покоящемся невозмущснном газе.
При р)ре будем иметь сжатие газа и возмущенное движение вдоль положительного направления оси х, при р ( рр — разрежение газа и движение з противоположном направлении. Второе уравнение системы (27) в силу (35) тождественно удовлетворяется, а первое переходит в следуюрцее: ди ди — + (и + а) — = О. дс дх Зто уравнение можно, по предыдущему, трактовать, как условие сохранения скорости и, а по (35), следовательно, и плотности р в перпендикулярной к оси Ох плоскости, движущейся с абсолютной скоростью и+а, а по отношению к газу — с местной скоростью звука а. По (33) и (35) местная скорость звука равна В-1 lр1 а в — 1 а=ао1 ) =аз+ и. '~ро 2 (37) и (23), функция У определится как функция р из соотношения е'(р) = ~ а —, р (32) Ро где по (22) а является также заданной функцией р. Примем, например, рассматриваемое одномерное движение за адиабааическое и изэнтро- пическое; тогда будем иметь Р (р)" а следовательно, по (22) получим: Ь вЂ” 1 =р "7(-'1 ="( Г $231 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕИИй 17( Полученное решение будем называть простой волной.
Скорость и + а распространения простой волны в неподвижном пространстве, которую, напоминаем, не следует смешивать с абсолютной скоростью и самих частиц газа, будет равна по (37): е 4- 1 и+ а = ае+ — и. 2 (38) Кзк относительная скорость распространения простой волны по отношению к газу (37), так и абсолютная скорость распространения простой волны (38) в неподвижном пространстве растут с увеличением сжатия газа (р ) ре) и убывают при его разрежении (р ч., рв). Таким образом, подтверждается указанное ранее из качественных соображений важное свойство нелинейных (конечных) возмущений в одномерно текущем газе: если в покоящемся (или в квазитвердо поступательно движущемся газе) создать в начальный момент вдоль оси трубы некоторое непрерывное конечное неравномерное распределение возмущений определенной формы, то возмущения большей интенсивности будут перемещаться быспгрес, а менее интенсивные — медленнее. Отсюда вытекает основное отличие нелинейного распространения конечных по величине возмущений от линейного: при распространении конечных возмущений форма их начального распределения изменяется.
Если, например, неподвижный вначале поршень (рис. 38) придет в двигкение и с некоторого момента времени булет двигаться равномерно со скоростью и, то передача этого движения покоящемуся газу, заполняющему цилиндрическую трубу, в которой движется поршень, произойдет не мгновенно.
Вызванные поршнем давление р и плотность р будут распространяться в невозмущенном газе, имеющем давление ро и плотность йш Процесс этого распространения показан на рис. 38. Скорость поршня равна и, скорость точки С равна скоРости звУка ао в невозмУщенном покоЯщемсЯ газе, точка В имеет скорость и+а, превышающую скорость звука а, и нагоняет точку С. Наклон кривой ВС при перемещении возмущения увеличивается (Рис.
38 б). При приближении этого уклона к вертикали производные и, р, р по х становятся бесконечно большими, и предыдущие фоРмулы теряют свою силу. Можно, однако, утверждать, что тенденпия к увеличению крутизны склона кривой возмупьений имеет место, а это приводит к образованию (рис. 38 в) малой по протяжен"ости движущейся области, на границах которой значения р, р и и бУЕУт: слева — Р, Р, и, спРава — Р„, ьо, ие. Эта область стРемитсЯ стать бесконечно тонкой и превратиться в плоскость разрыва давлений, плотности и скорости. Такая движущаяся поверхность (плоскость) Разрыва Физических величин в газе называется, как уже упоминалось, ударной волной или, иногла, движущимся скачком уплотнения.
одномввный поток идеальной жидкости ~гл. гт 172 Последнее наименование станет понятным, если вместо абсолютного возмущенного движения газа рассмотреть его движение относительно распространяющейся ударной волны. Из графиков на рис. 38 легко сделать заключение, что газ, проходя сквозь ударную волну, уплотняется. Действительно (рис. 38а), невозмущенный, менее плотный газ (ро, рв) входит сквозь ударную а Рис.
38. волну ВлС" в область возмущенного ~р, р), более плотного газа; вот почему ударная волна называется движущимся скачком уплотнения. Предположим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слева направо с некоторой скоростью и и гнавший перед собой газ с давлением р и плотностью р, мгновенно узгеяьтил свою скорость или остановился. Тогда перед поршнем образовалось бы разрежение, которое также стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко сообразить, что в этом случае разрыв непрерывности элементов не может осуществиться и ударной волна разрежения не образуется, В самом деле, в непосредственной близости от поршня (рис.
89) 9 291 стоячья удАРНАя волин или скнчок уплотявпия 173 плотность газа меньше, чем впеРеди от него, поэтому фронт области „озмущеяия (точка О) будет опережать распространение волна разрежения, соответствующей участку кривой АО. При этом склон 19А (рис. 39 б, в) будет становиться все более и более полозили Область перехода газа от ббльших плотностей к меньшим будет растягиваться, расплываться; разрыва непрерывности — „ударной волны разрежения"— Ряс.
39. при этом пе образуется. Невозможность обрззоззиия ударной волны Разрежения будет далее подтверждена общими термодинамическими соображениями. Перейдем к более детальному изучению явления распространения ударной волны сжатия. 5 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения. Ударная адиабата «ак уже указывалось в копие предыдущего параграфа, ударная волка является иекоторым предельным образованием, соответствующим Р~зрыву непрерывности основных физических величии„ характеризующих движущийся газ, и обращению в бесконечность производных ОДНОМЗРНЫЙ ПОТОК ИДЯАг!Ызой ЖИДКОСТИ 174 !Гл.
гзг от этих величин. По этой причине исследовать явления распространения ударной волны при помощи дифференциальных уравнений динамики газа нельзя, приходится искать обходные пути и в первую очередь пытаться использовать общие теоремы динамики газа в их интегральном представлении. Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой может перемепзаться поршень. Пусть вначале газ неподвижен, а затем внезапно поршень получает мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости У, продолжает двигаться равномерно с этой скоростью.
Возникает вопрос, как произойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу. В Созданное непосредственно перед поршнем возмущение — сжатие газа— ! у: Ч начнет распространяться влево, причем, в силу вне! запности перехода парша=з ! а=у ня от покоя к движению со скоростью 1", протяженность начального учаРяс. 40. стка возмущения по оси трубы будет очень мала. В результате известного уже вам явления обгона проходящими через участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее плотном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40 пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу (на рис.
40 влево) с некоторой скоростью 0, оставляя за собою (на рис. 40 справа) возмущенный газ, выведенный из состояния покоя и приведенный к скорости и =- 'г', одинаковой со скоростью поршня. Замечая, что бегущая по газу ударная волна встречает перед собой газ с одними и теми же значениями давления, плотности и температуры и, точно так же, оставляет за собою газ с новыми, но также зсе время одними и теми же термодинамическиь!и параметрами возмущенного состояния газа, можем утверждать, что скорость распространения ударной волны ч будет величиной постоянной. Из приведенного ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение поршня, т.
е. всегда !! ) 'г'. Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, так как при прохождении ударной волны скорости и основные термодинамические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего расчета удобнее иметь дело со стационарным явлением, Поэтому обратим рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целом, вместе с движущимся в ней газом, поступательное движение слева ~ '2ч1 отоячля главная волил или склчок тплотиапяя 175 направо со скоростью О. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы координат, движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной волной, Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а движение газа в стационарным.
Такую „стоячую" ударную волну по предыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку уплотнения слева направо (рис. 41) со скоростью 1г, = 9, а за скачком двюкется со скоростью Уз = в — У. Давление„плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения; Ряс. 41. условимся обозначать индексом „1" вели ~ипы перед скачком, индексом „2" — после скачка. Чтобы найти связь мея.ду И„р„Р„Т, и И, рго р, Т, воспользуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера.
Согласно соображениям, приведенныы в конце й 23, эйлеровы формы этих теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке поверхностей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать „контрольную поверхность" так, чтобы те ее части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, пе совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади ноРмальных сечений о, и оя (Рис. 41). ПовеРхность РазРыва пеРесекает только ту часть контрольной поверхности, где ~"„= О. В силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях о, н оз поля скорости и других величин однородны. Закон сохранения массы, согласно (32) гл. Ш, дает после сокращения на о1 = ое: (30) о,Уг = Ре1'з Теорема об изменении количеств движения в форме (42) гл. Ш приводит, аналогично, к равенству р~+Р11г =-рв+РзРз (40) 176 Одномзгный поток иделльной жидкости (гл. пг и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. П! позволяет написать третье соотношение: 1"., (41) !1+ — = гя+ — ' 2 2 К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равенство (17) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
