Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Еше раз подчеркнем, что з общем случае константы эти различны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и той же поверхности тока, являющейся одновременно и вихрегой поверхностью. Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство (54) ье Х Ч = О, "о поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию стапионарности, ,габ13=О, 155) полная механическая энергия сохраняет одно и пго же значение ео всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа. Равенство 154) выполняется в следующих двух случаях: 1) ьс =-= Π— движение безвихревое; подробному рассмотрению этого ажнейшего случая будут посвящены специальные главы курса; 1Оь (гл. п1 148 диньмикА идеАлъной жидкости и ГАВА У==: = — + сопяц Р Рь Р Р Р Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только сил веса и направляя вертикальную ось л вверх, получим: дП П = ив + сопз1. Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид (символ сопз1 обозначает сохранение ветнчины вдоль линии тока или вихревой линии): Е = — Л+ Р +уз = совы, 1 2 Р (55) илн, переходя от плотности р к удельному весу 7 = ои: Е Рг Р й 2й — = Н =- — + — + г = сопзц (57) Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины и рм Р называются соответственно; — — скоростной, — — пьезометрической ' 2е т и е — нивелирной высотами.
Сумма этих высот Н называется гидравлической высотой. Формула (57) приводит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высогпа, равная сумме скоростной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдаль любой линии тока или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике открытых русел (каналов, водосливов и др.). Предположим„что силы веса в рассматриваемом случае движения имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково, например, движение газа по трубе, при котором вес газового столба, 2) Я ~, '1à — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока.
Такое движение называется винтовым. С винтовым движением приходитса иметь дело при рассмотрении так называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха. Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным, простей1пим баротропическим процессам: 1) несжимаемому движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому, а следовательно, по предыдущему, и изэнтропическому движению.
В случае движения несжимаемой жидкости (Р = сопз1) имеем по (9): 149 теоРема ьеРнулли Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезомегприческим напором, второй — скоростньчм илн динамическим напором, сумиу их в полным напором. В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсугпствии обьемных сил полный напор, равный сумме скоростного и пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии тока или вихревой линии.
При изотермическом движении сжимаемого газа ( Т = сопз1, — = сопз1), функция давлений й' по (72) гл. П равна (индекс 0 Р означает некоторую произвольную точку изотермы): и = — 1и-. ре Ре Рь Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим уравнение Бернулли в виде; — + — !п — = сопв1, !ге, рв р (59) Ре Ро нлк !гй +~~!п~— 2 Рв Ро 2 (60) Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического) движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59) нли (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из предположений р = сопя! и Т= сопз1 по уравнению Клапейрона следовало бы и р = сопз1, что привело бы к постоянству скорости движения.
Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно„как было показано в 2 21, и иээнтропическое движение идеального газа (о = — сопя!, рр-а=сопя!). В этом важном для практики случае, если отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет к соотношению: !/т + У = сопз1.
2 (61) определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц газа, преиебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим газ в движение. В этом случае потенциал снл веса может быть опущен и уравнение Бернулли приобретает более простой вид: р + — сопз1. р 1гь 2 динамикА идеАльной жидкости и ГАЭА (ГЛ. и! 160 функцию давления У можно при желании заиенить по формуле (22) на тепловую функцию 1 = зс Т; тогда уравнение (61) перейдет в следующее: $/3 $/з + 1 = 2 + 1срТ= сопя!, (62) аналогичное ранее выведенному из законз сохранения энергии уравнению (20).
Вычисляя, с другой стороны, функцию давления зг по уравнению изэнтропы (63) получим еще следующее выражение теоремы Бернулли: а-1 рч! Гр'ъ А 1! .1~1 () 11 Г Га 1. ( ре1 (64) Ь'1 + Гср Т гср Тз (65) или (66) Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную форму!у Сен-Венана и Вантцеля: Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии тока, где давление, пло!ность н температура принимают значения р, й и Т, скорость движения равна нулю (Ъ'= О); если в действительно происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображаемое аднабатическое движение идеального газа, переводящее его в состояние покоя, адиабатически его заторлалсивлюгиес.
Величины р, рз и Те в этом случае называют соответственно давлением, плотностью и температурой адиабатнчески заторможенного газа. Используя выбранные таким образом постоянные величины ро„рз и Те, можно переписать уравнение (62) в виде: $ 25) 151 твотямь зетнтлли Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе формулы движения несжимаемой жидкости (й = сопз1) нельзя рассматривать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропического движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может происходить при постоянной температуре и энтропии. условие несжимаемости (р = сопзг) при сопоставлении с условием изотермичностн Х= сопз1 ) или изэнтропичности ~ †„ = сопз1 ) приводит к одинакогр Р ~за— ности давления, а следовательно, температуры н скорости во всем потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых формулы изэнтропического дан>кения будут приближаться к формулам движения несжимаемого газа.
Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как ближайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число такого рода примеров. ГЛАВА 1У ОДНОМЕРНЛ!Й ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ $26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости. Лииеаризированные уравнения. Скорость распространения малых возмугдений в жидкости или газе Если в потоке все динамические и термодинамические величины являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной координаты н времени, то такой поток называется одномерным.
Простейшими примерами одномерных потоков могут служить: пространственный, параллельный некоторой оси координат поток, в котором скорость, давление, плотность и температура являются функциями только этой координаты и времени, пространственный радиальный поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температурой, представляющими функции только радиуса-вектора г и г, и др. Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х, а единственная составляющая скорости и, так зке как давление р, плотность р и температура Т, являются функциями х и 1; при этом будем пренебрегать действием объемных снл.
Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных: ди ди 1 др — +и — = — — —, ~ дт дх р дх' др д дт лх' — (ри) = О, с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р, если движение баротропно, или уравнение Клапейрона и уравнение баланса энергии в в общем случае произвочьного движения идеального, совершенного газа.
Интегралы таким образом составленной системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным и граничным условиям. ф 26) одномвгнои твчвнив сжимавмой жидкости 153 а= — и', ) Р— Рв+Р 1 1 Р =Ро-т Р. (2) ((гьлставич згн зпа ~ения возмущенных элементов в снсгему уравпгшш (1) и откинем в пих ороизнедения зшлых величин и их кроны водных по коордгпгатам, как малые высших порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
