Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ц. Задаваясь топ или другон координатной формой элементарного обьема ьт, можно по формуле (31) нанти координатное представление вектора О!ч Р. Так, например, примем за ат декартов прямоугольный параллелепипед со сторон ми ах, ау, ав, тогда, поступая аналогично тому, как это улге неоднократно де:щлось н предыдугцей главе (например, в б 11), будем иметь: !р р — аг--!Р~ ауаг+...-)-~ КР+ Ьг- -КР~ ахау д(!Р) ч Г д (КР) ! Ич Р -.=- !! и .
т.+ в ахауаг д (!Р) д ()Р) д (КР) — + — + — ' дх ду дг по по основному равенству (!2), верному для любого наклона плопидки, и, в ~астности, при п = 1, п = ) н и = ри )Р = р, )Р = р„, КР = р„ 'ледовательно, в декартовой системе координат: дра дри др, О(чР = — + — '+— дх ду дг (99) з . ниь л.
г. л в и * а. Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из равенства нулю дивергенции тензора в некоторои области еще не следует постоянство тензора в этой области. Применяя принятую терминологи!о, можем еще сказать, что дивергениия гпензора напрялсвнности определяет вектор интенсивности обьемного действия поверхностных сил в данной точке потока. Произведение вектора Р!ч Р на элемент объема йт дает главный вектор поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограни ~нваюп(еп элемент йт, а интеграл оснозпыз ч лнш:пгнг лвижзния и глвповгсня )гчг. и нли в проекпиягы др„ — + др„ де дрсв де " (33') ор сге ' Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение дивергенции вектора в декартовых координатах (формула (63') гл.
Ц: да„дссч да, Нча = — + — "+=, дх ду де ' однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле ливергенции тензора (ЗЗ) под знаком производных стоят зависящие от выбора системы координат векторы р, р„, р, напряжений, приложенных к площадкам, перпенликулярным осям х, у, з, а сама величина Р!ч Р представляет физический вектор; в формуле же дивергенции вектора дгчи под знаком производных стоят алгебраические величины проекций вектора а, а дгча представляет физический скаляр.
Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для запоминания," в связи с этим можно предложить простое символическое их выражение, основанное на символическом равенстве: РгчР . чР, (34) где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора ч д д д с проекциями —, —, — на тензор Р. Применяя формулы (20) гл.
г дх' ду' де умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (33') РгчР на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34), можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей внешней аналогии с формулой дивергенции вектора. Интегральная формула (32) допускает символическое представление: )' пР аго = 1 ЧР а' . (35) Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем пред- ставить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме р — „= рг + Ргч Р. йЧ (36) Применение к объему; теоремы об изменении момента коли чества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных соотносиений взаимности касательных напряжений или, что всв др гл (Ргч Р) .
=- — "-'+ дх др „ (Рпс Р) + дрх (Рш Р), = — + дх ду драв — + ду дрт —,+ дг 161 овщиз г лвнення динамики сплопшой сееды — ~ гХрУдт= ~ гХргдть- ~ гХря~7з, Ж (37) т где г — вектор-радиус центров элементарных об ьемов ат и площадок 4а, к которым приложены векторы количеств движения, массоных внешних сил и внешних напряжений. Объемный интеграл, стоящий слева, равен ~ лг (' др Л.~ — ! г Х рЧ дт =- — Х рУ дт + ( г Х р — с(т + ~ г Х Ч вЂ” (р ат). Первый интеграл в правой части этого раненства обращается в нуль, дг так как — = У последний интеграл оавсн нулю по условию сохранс|й ния массы элемента жидкости (15), так что будем иметь: д Г лЧ вЂ” ~ г Х рЧдт= ( гХ р — дт.
де.~ де (38) Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37), легко по предыдущему преобразуется в обьемный. По (9) будем иметь: / (гХ р„)Ие= ( гХ(п„р +п„ря+пр) да= == ~ (п„(гХ р,.)+па(г Хр„)-ч п. (гХ р.11да, откуда по формулам (26) следует; ~'~д(гХ р ) д(гХ р„) д(гХ р.,)1 +~~(~~ХРл)+~дЗХРВ)+(ляХР*)1 или, замечая еще, что дг д — =- — (х1-, 'у)+г'к) =.,1, дх дх дг — =А ду дг дг — = 1с равно, к самметричн<>сипи тензора напрпженносгпа.
Денс гвительно, теорема об изменении главного моменга количеств движения можег бьгп, записана так: 166 основныв тглвнзния движения и влвноввсия !1л. н будем иметь: /( Х .) ч-==- Ц Х( — "+ — "'"+' — ')/.+ + / ((1 Х р,,) + (1 Х р, ) + (1с Х р,)) а1т. (39) Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение моментов (37) в виде: ') = дт' дрм дрв др,, г Х ( з — — рр — — — — — — ) г7т = дт ' дх ду дг 7 ч =- / ((1Хр.)+(1Хря)+(йХрь)) 7т (40) Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно пулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда, в силу произвольности объема интегрирования в правой части, по- лучиап (1 Х р.)+(1 Х р„)+(йХр,)-о, 9 16. Тепловые явления в жидкостих и газах. Закон сохранения энергии и уравнение баланса энергии Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны, н приложенными к жидкости илн газу поверхностными и массовыми силами — с другой.
Для решения вопросов движения жидкости или газа этих динамических уравнений оказывается недостаточно, так как рассматриваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными взаимными превращениями механической энергии в тепловую. Так, например, после ~его проекгированием на оси координат нетрудно вновь получить равенства (14), выражаю цие симметричность гензора напряженности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только по изложенное доказательство является не зависящим от приведенного в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного вида объема — элементарного тетраздра.
Если же принять предыдущее доказательство и считать теорему о взаимности касательных напряжений уже доказанной, то прил1енение теоремы моментов к конечному объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения динамики не дает. 16) эвлвнение БАлАнсА энкэгии хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разо- ~ ревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа расширения происходит за счет тепла газа.
Аналогичные, только гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидкостях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разогревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутреннего трения. Снарял, летящий с большой скоростью в воздушной атлюсфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом и температура воздуха вблизи поверхности снаряда. Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо присоединить еще уравнение баланса энергии в потоке.
Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости или газе„вспомним общий закон сохранения энергии, который в применении к движущемуся индивидуальному объему можно формулировать так: изменение полной энергии обьема жидкости или газа за бесконечно малый про.иежуток времени равно сумме элементарных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенньгх к выделенному обьему и его поверхности, сложенной с элементарным количеством тепла, подведенным извне к обьс,иу за тот же промежуток времени. В дальнейшем булем считать движущиеся жидкость илн газ совершенными, т. е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное движение в них сводится к свободному соударению абсолютно упругих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом предположении можно считать внутреннюю энергию равной произвелению абсолютной температуры Т на коэффициент теплоемкости при постоянном объеме с,— для сжимаемого газа или на коэффициент теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости.
Уравнению баланса энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме ". с поверхностью о можно придать следующую интегральную форму: а ) й(Лс»Т+ — ) ат = ~ рг ° Ч ит+ Г р» ° у ии+эгь (4\) Г Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по времени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа— сумма мощностей массовых сил, приложенных к объему (первый интеграл), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в механн|еских единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу времени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводностн или лучеиспускания; множитель э' в левой и правой частях обозначает механический эквивалент тепла (/ = 427 кг ° м,'кал), позволяющий ясе члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических единицах мощноети, ОСНОВНЫЕ УЕЛВНВНИЯ ДВИЖЕНИЯ Н ВЗВНОВ!гСНЯ [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
