Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 15
Текст из файла (страница 15)
а а (66') Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный интеграл от дифференциального оператора б!ч а векторного поля через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд кажется странным, что при любом виде векторной функции а (подчиненной лишь ограничени!о непрерывности и существования первых производных по координатам) объемный интеграл, вычисление которого требует знания функции во всех точках внутри объема, выражается общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый значениями вектора-функции лишь на поверхности объема.
Дело здесь в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функция, а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря определенный интеграл от производной функции, получают разность 8 и) интагРАльныв ФОРмулы 67 значений функции на краях интервала, независимо от того, каков был непрерывный закон изменения функции внутри интервала. Формула (66) в декартовой системе координат принимает обычный вид формулы Остроградского: ~ [а соз (п, х) + ая сов (ц, у) + аа соя (п, з)) сЬ = (а) (66") ~п агЬ= ) т ° аЖ, а а (67) как будто орту внешней нормали в поверхностном интеграле соответствует дифференциальный оператор в объемном.
Из формулы (66) можно вывести одно, необходимое для дальнейшего равенство, если применить ее к произвольному, но однородному векторному полю постоянного по величине и направлению вектора а. Тогда получим и аае =О, или, вынося постоянный вектор а за знак интеграла, и ) пЫа=О, а откуда, в силу произвольности вектора а, сразу следует, что для всякой замкнутой поверхности можно написать: п пас = О.
(68) Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти, например, в ранее указанном руководстве по векторному исчислению Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади граней замкнутого многогранника.
Если положить а= у', т. е. применить формулу (66') к скорост ному полю, то левая часть представит секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность е, а правая часть определит скорость увеличения объема т жидкости со временем; естественно, что скорость увеличения объема равна секундному объемному расходу жидкости сквозь поверхность, окружающую этот объем.
Для облегчения запоминания формулы Остроградского, заметим, что равенство (66) можно представить символически так: элементы теовии поля. кинематика овады (гл. 1 Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные только что выведенным формулам (62) и (66).
Рассмотрим в поле скалярной функции а произвольный малый объем Лт (рис. 11) с поверхностью Ьа и рассечем его двумя смежными поверхностями уровня а и а+ — йп находящимися друг отно- йп сительно друга на расстоянии йп, отсчитанном по внешней нормали и, проведенной через точку М первой поверхности уровня. Рассмотрим поверхностный интеграл ) и'(йа', распространенный на поверхность, окружающую объем йт, заключенный между проведенными поверхностями уровня и равный, в силу малости всех величин, произведению площади основания на высоту йп; под знаком интеграла п' — внешняя нормаль к поверхРнс. 11. ности интегрирования, йа' — эле- мент площади поверхности.
Этот интеграл может быть представлен как сумма своих элементов, рассчитанных по площадкам у' и ) + йб, и, кроме того, интеграла по боковой поверхности, являющейся частью (пояском) поверхности Ьа. Будем иметь: и', '= — „~+и~,+"„—" )и+Ф)+ ) и'9 (бок) — т и)ойп+ко (и йу+ ~ и'йа), (бок) так как можно считать, что по боковой поверхности рассматриваемого объема а сохраняется постоянным; с другой стороны, применяя к той же поверхности формулу (68), получим — иг" +и(г+й)')+ ~ и'йа=0, (бок) откуда сразу следует, что выражение в скобках в правой части предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет внд: и'(о йа' = йгай о~ йп = я)ай оо йт.
ф 11) 69 интнгвальные ФОРмулы Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых объемов, образованных нз объема Ьт сечением его поверхностями уровня функции в, и просуммируем эти равенства по всему объему Ьт; тогда в сумме ~з Г п'>у»ч' останутся лишь слагаемые, относя>циеся к боковым поискам поверх.
ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем ЛЪ т. е. не что иное, как поверхностный интеграл ~ и'всЬ'. Справа будем иметь объемный интеграл ~ пгабег1т, который в силу малости объема Ат будет равен ~ втаб у Ж = кгаб р Ьт+ е Ь-,, прячем е -+ О, когда Ьт — О. Отек>ла сразу получим (опусшш пенужпь>н уже сей ~ас индекс >птрих) искомое интегральное представле> =; гы к пие градиента атабн= Ыш — 1 пес>а (69) а-.+ е Ьа н путем, совершенно аналогичным примененному для операции дивергенции, выведем вторую интегральную формулу: ~ пм»а= ~ ятабч»1т.
(70) Ф Аналогичного типа формулы можно установить н для операции вихря. Рассмотрим в поле квази- твердого вращения жидкости с аз угловой скоростью ы, равной по предыдущему [формула (51) 9 10) 1 -~ го1 \>, малый цилиндр с осью, параллельной оси вращения, Радиусом г, высотой 7>, объемом и поверхностью, соответственно равными Ьт и Ье (рис. 12), Составим поверхностный интеграл от 70 эламанты таовии поля. кинямьтикь сввды )гл. г ~пХЧд.= 1 (пХЧ)йдв, Ьа (бок! так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно сократятся. Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор пХЧ параллелен вектору ю и равен по величине (г= оьг, будем иметь с точностью до малых высших порядков: пХЧде =юг ) (1 де =2пге7(ю= го!Чдт.
Ьа (бок! Отсюда следует точное равенство: го!Ч = !пп — ~ пХЧде, 1 ь -ооак Ьа 171) обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и произвольный закон стягивания поверхности Ае, окружающей элементарный объем ь1т, к данной точке пространства, получим следующее инвьегрилвное определение вихря вектора: го1а = !!в — ~ пХа Й.
1 (72) ьа-об а" ° Ьа Пользуясь этим определением, легко получить выриэкение вихря в декартовых координатах. Для этого воспользуемся тем же приемом, что и для выражения дивергенции в декартовых координатах. Применим формулу 172) к координатному параллелепипеду с малыми сторонами бх, Ау, йх (рис, 13). Тогда, проводя непосредственное интегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу малости граней: (( п Х а И = ~ — (! Х а)+1 Х (а+ д-- ахи йз+ Ьа + ~ — 11 Х а)+1Х (а+ — йу)1бх йв+ + ~ — (кХа)+ йХ(а+ — ое)~бх йу+ б. м. выс. пор. = = ~(1 Х д — ) + (1 Х д ) + (!г Х Д бх ду бв +... вектоРного произведения орта внешней нормали п к поверхности этого цилиндра на вектор вращательной скорости Ч.
Тогда, выбирая, как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра полоску, ограниченную двумя образуюп(ими на расстоянии дв друг от друге, а в плоскостях оснований — симметричные элементы, убедимся, что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему: 121 Внхяазые линии и тяувки 71 Отсюда по формуле (72), переходя к пределу, будем иметь го1а=1Х вЂ” +1 Х вЂ” +1сХ вЂ” ° да .
да да дх . ду дх' Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования векторного произведения, найдем: даь даа (го1а) ду дх' (го1 а)у - дд* -Ь, (72') дак да„ (го1а) = — — —. д х д Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих формул при а =и, аа —— и, а,=ел. Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе интегральных формул для дивергенции и градиента, из равенства (?2) получим а ) и )( а сЬ = ~ го1 а г(т. (73) Здесь, согласно правилу (51), вновь оправдывается символический прием для запоминания интегральных формул: орт ц в поверхностном интеграле заменяется оператором т в объемном ) пХас1е= ) тХа~1т. (74) Ряс.
13 й 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревой трубки Как было ранее (э 1О) уже выяснено, элементарный объем жидкости нли газа, совершая свое поступательное движение в пространстве, непрерывно при этом деформируется и поворачивается, как одно целое, вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем скорости; угловая скорость мгновенного поворота равна половине величины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную Интегральные формулы (66), (70) и (73) будут играть важную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости н газа, а также и в некоторых кинематическнх вопросах. 72 [гл.
элзменты тзояии поля. кинемлгикн сш.ды совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жидкости, введем в рассмотрение векторные линии паля угловых скоростей вращения я) или, что все равно, векторные линии поля вихря скорости го1 Ч = 2ю. Этн векторные линии назовем вихревыми линиями или вихревыми нитями. Напомниы общий способ построения векторных линий, особо поучительный в данном конкретном случае. Рассмотрим в данный момент 1 вблизи точки М (рис. 14) вращающийся элементарный объем чт и отметим вектор угловой скорости ю его вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
