Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в котором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями, вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др. Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции п(х, у, »; 1) з данный момент времени, если поле не стационарно, и в любой момент, если поле стационарно, будет и (х, у, »; г) = С, где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений. Гели задано знзчение величины !Р в некотоРой точке Ма(хе, У, »„) и в данный момент времени Гв, то уравнение поверхности уровня, проходящей через точку М„ в момент Г>, будет, очевидно, !у (х у»~ г) = Се = 9 ~хо~ уе»з' го) = !Р Жо' ге) !,Б) Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приведении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве к более простому †изменен ее при переходе с одной поверхности уровня иа другую.
Возьмем какую-нибудь одну поверхность уровня, например (3). Эта поверхность делит все пространство на две области. "внешнюю, где !Р(х, У, »; Г) ) Се, и внутреннюю, где т (х, у, »; 1) ~ Сгг Термины эти, конечно, условны, так как, например, если поверхность уровня представляет сферу радиуса и с центром в начале координат, то при выборе функции в (х, у, ») =- ха+ уз +»Р — пз ! Буква М символически представляет здесь совокупность коордпяат точки м; есап поле стационарно, то время г з характеристяке функции отсутствует. поле Физической Величины внешняя область по только что введенному определению совпадает с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же положить м(х,у, е)=-ая — хз — уз гз го предыду!дее определенно с гсомегричсским не совпадет.
условимся положительное наг!ранление нормали, проведенной через некоторую точку данной поверхности уровня, выбир!пь в сторону виг шней области и называть =с =г' такую ось внешней норлгалью; у=с р= (е-!. противоположно направленную ее ! ось — внутренней нормалью. И, Проведем (рис.
1) две смеж- гг! пые поверхности уровня ю== С ы н о = С' и через точку М с ио и одной из них — внешнюю норязль с единичным вектором-ор- и том и и какую-нибудь наклонную ось с ортом 1; от- о' резки ММ' и ММ! обозначим через ап н !ЕЕ. Нзпомним, что и" йе !эис. !. производной — от скалярной а! функции ъ по кзкому-нибудь направлению ! назывюог предел отнои!ения ч (ЛЕ,) — Ч (ЛЕ! ит 1'пп м, -+м Л,И, и! Замечая что, по определению поверхности уровня,(М,) —.= м(М') и что, кроме того, йп = — гЕЕ ° сов(1, п), будем иметь ггт ие ип ие — — — — — сов(1, п).
и! Дп а! ип (б) Отсюда сразу следует„что, в силу положительности — „(вспом- ат пить определение внешней нормали): ив ав — > — ' ил аЕ' т. е. направление внешней нормали к поверхношпи уровня прсдюпаеляет направление наибольисего изменения скалярной функции по сравнению с любым другим направлением. Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровни; ';=С, э=С', в=С" и т. д.
Проведем через точку М внешнюю 42 элементы твояии поля. кннвматнка спады [гл. г нормаль и, через точку М' пересечения ее со смежной поверхностью уровня — нормаль и', через точку М" пересечения этой нормали со следующей поверхностью уровня — нормаль и" и т. л. В пределе получим кривую гг, нормальную ко всем поверхностям уровня в точках их пересечения с нею.
Зная закон изменения скалярной величины ндо:и. такого рода линии, тем самым по формуле рб) определим н общую картину изменения рассматриваемой величины в пространстве. В существовании этих линий максимального изменении заданной скалярной величины парялу с нормальными к ним поверхностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее упоминалось. ' Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения веклгорного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости векторов поля как по величине, тзк и по направлению.
Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем через выбранную точку М 1рис. 2) соответствующий ей вектор поля н, отложим вдоль положительного направления этого вектора малый отрезок ММ', затем в тог же момент времени, если поле не стапионарно, проведем через точку М' соответствуюо а' щий ей вектор а, точно так же отметим нектор н" ы о" в точке М", расположены ной на направлении век- тора а', и т.
д. Если м взять точки М, М', М"... достаточно близкими друг Ряс. 2. к другу, то указанным путем можно прочертить в пространсгзе линию, обладающую тем снойством, что в каждой ев точке вектор полн направлен по касательной к ней. Такая линия называется векторной линией полн (вспомнить например, силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых направлен вектор напряжения поля). Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь одну векторную линию; исключением являются так называемые особые т Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных к данному семейству линий, верна лишь прп выполнении некоторых условий.
По этому поводу см., например, Л. Г. Л ой панский и А. И. Л у р ье, Курс теоретической механяки, ч. 11, 1940, нзд. 3, стр. 164. ыеРЯ ОдноРодности поля ,кочка поля, через которые могут проходить несколько и лаже бесчисленное множество векторных линий. Тзк, например, нз „точечного заряда', образующего электростатическое иоле, выходит бесчисл„нное множество силовых линий поля. Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий поля вектора а(х, у, х; г).
Обозначим через Ьг направленный по касательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме только что указанное свойство совпадения по направлению вектора ноля с касательной к векторной линии в данной точке: аХйг= О. Здесь и далее символ „К" обозначает векторное умножение, точка обозначает скалярное умножение. В декартовой системе координат векторное равенство (б) эквивалентно системе дифференциальных уравнений, определяющих семейство векторных линий: чх оу ьа а,(х,у,х; Г) ая(х,у, х; с) а,(х,у, х; !) ' при решении этой системы двух уравнений первого порядка время ( следует рассматрипать как заданный фиксированныа ларанел1р. Проинтегрировав систему (7), получим конечное уравнение семейства ( векторных линий с двумя произвольными постоянными, которые можно найти из условия прохождения зскторной линии через заданную точку пространства.
Проведем в данный момент в части пространства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- рис З. мкнутый контур С (рис. 3) и через все точки этого контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная поверхностью а, образованной векторными линиями, называется векторной вгрубкоа. Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, векторных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее узидим, представления о характере изменчивости векторов, образую- щих данное поле. 5 7. Мера однородности поля в данном направлении н в данной точке. Градиент скалярного поля и дифференциальный тензор векторного поля как меры неоднородности поля Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты изменения) функции одной переменной при данном значении ее аргумента является производная этой функпии по аргументу, точно так же и в случае скалярного или некторного поля за меру неоднородности поля или изменчивости величин поля в данном направлении элементы теоРии поля.
Кинеыьтика сРеды (гл. ! 44 где первая представляет ранее определенную формулой (4) производную от скалярной функции р(М) по направлению 1, вторая определяется аналогичным образом как предел и (М,) — в (М! ггв, !!ш м,.+ м ММ! подчеркпелг, что в обеих частях равенства (8) е !ислитсле стоит векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); прн этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос, йу йа образуют ли величины — и — соответственно скалярные и векй! йг' торные поля.
Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства будет соответствовать бесчисленное множество значений производных скалярной и векторной функций по направлению. Отсюда закшочаем, йе пв что скаляр — и вектор — не образуют полей так как между нх сУ й! Э значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное соответствие; можно сказать, что эти производные являются функпиями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются, и направления (вектора !).
Поставим вопрос о разыскании такой образующей поле однозначной функции точен пространства, чтобы рассматриваемые проиаводные выражались через нее и орт 1, определяющий направление дифференцирования. С физической стороны разыскивается мера неоднородности полн в данной точке, не зависящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через нее и орт выбранного направления. В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою лри одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный о величине производной скалярной функции по направлению внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и нзправленный по внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом ига!! э; тогда, по определению, дгад е: — п пэ йп (9) в пространстве можно принять производные этих величии по выбранному направлению, причем в общем случае пространственного распределения производные эти зависят от направления дифференцирования.
Таким образом, за меру неоднородности поля по направления! 1 можно принять величины: ПР йв — н йг и 40 меРА ОлнОРОдности полк а 4зоРМУла (5) эквивалентна слелУюЩей (Рис. 4): — =~втаб в~сов(1, п)=(игад р)!=! ° ягаг(ез. (10) йЗ дв (: 1..)в= —,, 1 дт дт (11) так как истные производные о по х, у, г являются нн чем иным, хак производными от е по направлениям осей координат. Далее, по обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента Рнс. 4 н косинусы углов, образованных вектором градиенгв или, что все ранчо, внешней ззормаззью к поверхности уровня с осями координат: дт дх соз(п, х)— дт ду сов(п.
у)— (13) соа(п, г)- Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля в Данном напРавлении — лРоизводнаЯ скалЯРной фУнкиии ло втозиУ иалравлению — является лроекзгисй градиента на рассматриваемое направление. Из формулы (10) сразу выте- П кают выражения проекций градиента на оси леквртовых координат: (гл.
! элгмю!ты теОРии поля. кинематика сРеди Пользуясь (11) и известным выражением скалярного проиаведения, можем переписать (10) еще так: — =Š— +Е д!а дч дт ду д! адх гду «дг' (14) Если точка гИ(х,у, г) переместилась в смежное положение (рис. 5) гИ'(х+а!х„у+«Еу, г+«Ег) по направлению ! на расстояние «ЕЕ, то а!х=-«ЕЕ ° сов(1, х), йу= «ЕЕ сов(1,у), сЕг=«ЕЕ сов(1, г) и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано так: — — +Š— +!в йа да да да с!! адх гду «дг" (17) или в проекциях йа Ж !г! Š— +Š— ' да« да.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
