Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 11
Текст из файла (страница 11)
дх г ду даг даг — +!в дх г ду Š— +!в да, да дх " ду + Е а иа, !Е! (! 8) сга« й! где, по определению единичного вектора 1, Е,=сов(1, х), Ег —— сов(1, у), Е,=сов(1, г). (15) Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бесчисленное множество производных по всевозможным направлениям в данной точке поля однозначно выражается через совокупность аначений трех величин —, — и — в этой точке.
Само собой разудт ду дэ дх' ду дг меется, что совершенно безразлично называть ли мерой неоднороден ности поля в данной точке вектор втаб «« или эквивалентную ему совокупность кг аа де де дч а 1 величин —,— дх' ду' дг' Несколько сложнее решается аналоа гичный вопрос о мере неоднородности векторного поля е данной точке. и' Пусть в данный момент времени задано поле вектора а в функции декартовых ы координат, т. е.
вектор-функция а (х,у, г). Рис. 5. Приращение вектора а при каком-то бесконечно малом изменении координат точки гИ (х, у, г) найдем по формуле полного дифференциала: йа = — а!х+ — «!у+ — а!г. да да йа дх ' ду дг (16) 7! ыкРА одногодностн !!Ояя Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля, где мерой неоднородности служит совокупность и!рех величин — , дч дх ' д, а2 ду ' дг ' — мерой неоднородности в данной точке векторного поля валяется совокупность девяти величин: да да ду ' дг да„ даи ду ' дг дал да, дг ' дг да„ дх ди,! дх (19) да дх Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей, а в своей совокупности эти девять величин определяют одну физическую величину в меру неоднородности векторного полн в данной точке.
Нано!!ним,' что, вообще, всякая совокупность девяти величин 7'.!„, Т „..., линейно связывающая по формулам: Ьх Тки ! Ьятии + Ьл таю ая —— ь т + ь„ти„+ ь,т а„= Ь Т, + Ь, Т, + Ь,Тяы (20) (2!) Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем простой прием для их запоминания: составляя проекцию на некотору!о ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторыы индексом, соответствующим оси проектирования произведения.
Операция умножения вектора нз тензор не обладает, вообще говоря, свойством переместительности, т. е. аТф Та. Обозначим '!ерез Т" тензор, сопрнженный с тензором Т, т. е. такой, у которого ! См., например, Н, Е. Кочин, Векторное исчисление и начала теязорного исчисления. ОНТИ, ГТТИ, 1934, стр. 304. г Вектор называется физическим, если его величина и направление з пространстве не зависят от выбора системы координат; нрн атом отдельные его вроекцнн, конечно, зависят от выбора направления осей нроектнрозання. проекции физического з вектора о с проекциями физического же вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором второго ранга; нри этом правые части системы уравнений (20) соответствуют операции умножении вектора на тснзор, символически нредстзвляемой так: [гл. элемниты теогии поля.
>гинвмлтн>ил сягды да„ даа В, = — г> дх ' ге дх да. Е) ге д даа Гд дг да дат дг (22) 71,е =- будем иметь вместо (!7) н (18), согласно (20) и (21): ла — =! О. лг (23) Последняя формула отчетливо показывает, что, независимо от выбора той или другой системы координат, физическая величина— производная физического вектора по определенному направлению в пространстве — выражается как произведение физического вектора— орта выбранного направления — на физический же тензор — меру неоднородности поля в данной точке пространства. Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих параграфов можно предложить простой символический прием.
Обо- По аналогии градиен>л можно было бы назвать >Шффгренилальным век>вором скалярного лола. индексы компонентов переставлены, например, Т „= Т„, Тем = Т г и т. д. 'Гензор симосопряженный, для которого Тг = Т и, следовательно, Тии — — Т„, Тле = Т, Т, =- 7' „называется симметричным, так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.
Операция умножения тенаора на вектор эквивалентна операции (20) нлн (21) умножения вектора на сопряженный тензор, т. е. Тв=аТь. Если тензор симметричен, то Та= — вТ, н формулы проекций произведения Тв совпала с (2О). В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же как это имеет место и в механике твердого и упругого тела„прндется неоднократно иметь де,чо с примерами различных тензоров. Подчеркнем важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19) н зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где задано поле, сам тензор от этого зависеть не должен, так как он характеризует определенное физическое свойство конкретного поля величин. Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по координатам, дифференциальным тензором векторного поля.
' Тогда, согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчивости) векторного поля слтжиог дифференциальный тенлор поля. Обозн;юая лифференциальный тензор поля буквой гу и, полагая 49 мела одионодности поля значим через 7 некоторый условный вектор с проекциями: 7= — 7= —,7= —, д д д дх' г дг' " дх' (24) представляющий символически оператор дифференцирования. Тогда градиент скалярной функции 7 можно рассматривать условно, как проиаведение вектора-оператора 7 на скаляр 7; гад7=77, (25) н формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по правилам проектирования произведения вектора на скаляр: (кгад 7) = 7а7 == д н др д, 11ри этом равенстяо (10) по (25) можно представить в виде ае — '=-1 7о аг (26) н рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как символическое произведение И (27) вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, векторну1о или тензорную, за знак символического дифференцировании так: (23) 4 зак.
пиь л г. Лоачянск а. Принимая указанную символику, можно дифференциальнь|й тензор .О изобразить как диадное произведение двух векторов: символического 7 и дифференцируемого а: О=-7а, (29) понимая под этой „диадой' тензор, составляющие которого легко определяются по простому правилу: да даа (7а)~~ = 7~а* д ' (7а)м" 7аа" д (7а)~~= 7~а»= д и т. д.
да, Равенство (23), сообразно второму равенству (28) н (29), может оыть еще написано так: — =(1 ° 7)а =1(7а). (30) ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКь СРЕДЫ (гл. г Формулы (17) и (18) лшжно легко запомнить при помощи (30) и правила раскрытия скалярного произведения: — = (1 7) а = (! 7 + 1„7„+ 1,7,) а = =- (! — + ( — + 1 — ~ а = 1 — + 1 — + ! — . д д д К да да да а дх " ду ' дг ! а дх г ду ~ дг ' й 8.
Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии тока и траектории хо=хо(а, 6, с), уо==уо(а, Ь, с), го=го(а, Ь, с). Положение любой частицы Л жидкости в момент времени ! задается выражениями ее декартовых координат через величины 1, а, Ь, с, называемые леременкыяги Лаграклса: хо Уо го)=рг(1 а Ь с) хо уо го)='рз(! а, Ь, с), хо уо го)=9а(! " Ь с) (31) параметрам а, Ь, с, получим обычуравнения движения данной индиуда уже нетрудно найти уравнения проекции вектора ее скорости У Задавая определенные значения ные, принятые в кинематике точки видуальной частицы жидкости, отк траектории частицы и выражения ЛЧ и ускорения У = —: дг ду дат (32) Лг дта Лг дг В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические приемы задания движения.
Ближе всего к обычным способам задания движения подходит способ„ связаппый с именем Лагранжа. Пусть некоторая частица жидкости или газа Л (х, у, г) в момент времени ! 1о занимала положение Ло(хо, уо, го), тогда ее координаты х, у, з в любой момент ! моокно рассматривать как функции от времени 1 и параметров хо, уо, го, определяющих выбор данной индивидуальной частицы Л. Более обще, вместо декартовых координат точки Л можно рассматривать любые ее криволинейные координаты а, Ь, с, связанные с хо, уо, го соотношениями: Й 8) 3АдАние движения сплОшнОЙ сРеды и= и(х, у, г; г), о=о(х,у, г; г), а = а~(х, у, г; (), (зз) В методе Лагранжа величины х, у, г являются переменными координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты точек пространства, мило которых проходят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера, которым, по преимуществу, и будем пользоваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
