Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Указанное соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит в основе теории удара. Разложение ускорения на локальную и конвектнвную части может быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной) производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной величины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть, например, ка кдому положению частицы жидкости или газа в пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая величина й (например, температура частицы, плотность), тогда совокупность значений величины э образует некоторое поле, и при движении жидкой частицы величина м будет изменяться как в силу нестацнонарностн поля (локальное изменение э), так и вследствие перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля в другой (ионвеюиивное изменение в).
Полная индивидуальная производная по времени от величины р будет склалываться из локальной производной дэ'дГ и конвективной производной, равной [ср. с (Э7)): лч лз лч (ч — — = 1~„— = У( — ° пгаб р1 =Ч ° дгабэ=(Ч ° Ч) сь Окончательно для индивидуальной производной от скалярной функции э будем иметь: (41) 56 Эг!ЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ, КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [!'л, 1 Для любой век!орной или тензорной функции а нли Т, связанной с движущейся индивидуальной частицей, получим: да да — „= — +(У ° т)а, ВГ дà — - = — +(Ч ° т) Т. д! дг (42) й 1О.
Скоростное поле сплоп!ноя среды в окрестности данной точки. Угловая скорость и вихрь. Теизор скоростей деформаций и его компоненты Желая изучить скоростное поле движущейся !кидкости в деталях, применим обычный при~м математического анализа — рассмотрит! в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности какой-нибудь точки М„ пространства, причем координаты и все величины, определеннъ|е в этой точке, будем отмечать индексом нуль. Разлагая проекции скорости любой частицы М, движущейся в окрестности точки Ма, в ряд, будем иметь с точностью до малых высших порядков: .=..
-;(',— '„') !' — ч! —,(и) !! — .! —,(",—,"),(* —.!.) ! (д— ~У (х хе)+),' —;) 'У вЂ” У ) +(д— , ) ( — .) (4ч! дхУЕ У!ч е ~=~о-,-( — ) (х — хо)+~д ) (у — уо)+[,ддее)(» — »о). 3 о (д ду ь 1 де~в и = ио !' ч!Е1»»о) е!Т(У Уо)~ .=- ..—.- - (х —..) — -.(» —.,), и! = тес + м!„(у — у ) — „(х — х,), или в векторной форме Ч = Ув + ю к (г — ге), (45! 11одчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом нуль являются постоянными величинами или функциями только от времени, проекции же скорости и, о, тв рассматриваемой точки М являются линейными функциями координат х — х„, у — уе, т,тчки М относительно точки М .
Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением) скоростей в общем случае движения твердого тела: к 10) скогостное пола в очггсгности данной точки 57 деч 1 гди диу' 2 ада дх,' 1 где ди' Рис.
7, после чего поле скоростей 144) примет внд: ( ди дю 1 до ди 1 = ° +- 2 дх дх) ~ о 2 (дх до)о~У Уо)' о 2 де дх е 1 о=по+в 2 147) ! тио+ 2 индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства сравнения с системой 143); это допустимо, так как скобки имеют одинаковые значения во всех точках. Сравнивая 143) и 147), видим, что поле скоросгей в окрестности данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую равенствам 147), т.
е. нолю скоростей в движущемся твердом теле Гусловимся называть эту часть квазингвердым движением), и 2) деформационную часть, отличающую поле скоростей движущейся жидкости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь: и =ик,, + идее, о = т'к. * ч- 'адей, тв = тик, т + твдея. 148) Система равенств 148) заключает в себе проекции ик,„пк,„тик,е скоРости Чк, в квазитвеРдом движении, опРеделЯемые фоРмУлами 147), и проекции идей, одеэ, дядей скорости деформационного движения Чдеь, где ыгек„, оев, ое,) — векгоР Угловой скоРости тела в данный момент, одинаковый для всех точек тела грие. 7), т. е.
не зависящий от вектора-радиуса г(х, у, х) точек тела илиот вектора-радиуса го(хо,уо,го) полюса О, а Чо гио по тво) скорость полюса, так же как ,-' гееУ н угловая скорость, зависящая только от времени. 11ользуясь этим, составим у Разности накрест взягых производных от проекций скорости по координатам и легко най- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. 1 ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ КаК РаЗНОСтИ и — иг„н — О,,„ТС вЂ” Шгх И РаВНЫЕ: /дах 1 Гди дит 1 /ди дю' их в[~)(ххе)+2~~+дуге[ууа)+ 2[д+д[в(иге) [,дх)ч 1 /до диь /дол 1гдю дот ючеа =- 1 + [[х — хо)+[ ) (у — уе)+-у[ — + — 1 (г — го), (49) ~Х'Ф = 2 (д +д ) (х — Ха) 1- ~д„+д ) [У вЂ”.Уе)+1 — ) (г — ге).
) Отсюда следует первая теорема Гельмгольца: всякое движение жидкости или газа в окрестносгпи некоторой точки (полюса) можно разложить на квазитвердое движение, состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса, и деформаг[ионное движение. Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части, отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который в 1815 г. впервые ввел понятие о „среднем вращении жидкости в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы сохраним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.
Вектор Й с проекциями: дге до 1 дч дг' ди дю =д дх 1б0) Ыг = 2хг дх ду' дрг дрв дрх дрг дрв дух ду Вг ' дг дх' дх ду' т. е. к равенству н,лю вихри силы. равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем' нлн „ротацией" скоростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать символом го1Ч [иногда пользуются еще символом спг[Ч). В рассмотренном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент времени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет изменяться от точки к точке.
Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую дифференциальную операцию, произведенную над векторной функцией Ч; аналогичную операцию можно производить над любой другой векторной функцией, образующей поле. Так, например, в обшей механике условие потенциальности силового поля г (Рх, Р, Р,) сводилось к выполнению равенств". к 10) скогостноя поля в окгастности данной точсн 69 Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Я нли проекции вектора угловой скорости ю можно предложить следующие простые символические формулы; $2=го1Ч=Ч Х Ч, ю = — 4? = — го1Ч= — Ч;к', Ч, ! 1 1 2'" 2 2 (51) составление проекции которых по правилам векторного произведения сразу дает (50) и (46).
Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому движению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде: 1 = Чо + — (го1 Ч)с Х (г — гс) 2 (52) где под (го1Ч)о слелует понимать значение вектора го1 Ч в точке д4 . Что касается вектора скорости деформацнонного движения Ч„а, то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умноньения вектора на тензор [9 7, равенства (20) н (21)), можно представить в форме Ч„„э =(г — ге) 9, (53) где Я вЂ” тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль): ди дк ' до дг' называемый тензором скоростей деформации. Аналогичной таблицей определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" Я, если под и, и, тс понимать не проекции скорости, а малые перемещения упругой среды.
Между этими двумя тензорамн существует очевидное соотношение: (55) где йг — элемент времени, в течение которого произошли малые перемещения тела. Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций, симметричен. Так называется тензор, компоненты которого в таблице симметричны относительно главной диагонали, т. е. 5 = Яии, и~а иш 1 Ьг, = о , 8„ = Я.„; из девяти компонент симметричного тензора различий толькО щестьь элементы теогии поля.
кинематика сгвды [гл. > 60 представляют не что иное, как скорости о лносительных удлинений бесконечно малых отрезков„ расположенных соответственно по на- правлению осей Ох, Оу и Ог, а диагональные компоненты; "и ие 2 (дх+ ду~' 1 (57) равны половина.к скоростей сдвигов или половинам скоростей сношений углов между этими отрезками. Действительно, рассмотрим в данный момент времени г три бесконечно малых „жидких", т. е. образованных из частиц жидкости, вектора: МеМ„МоМя и МоМа, расположенных по осям координат (рнс. 8) с началом в точке Мо.
у За время с[с жидкие частицы (концы этих векторов) М„Мя и Ма, следуя деформационному полю скоростей, которое сейчас только и рассматривается, перейдут в ноРис. 8. вые положения М>, Мз, Мз', точка Мо, поскольку исключены части дни>кения жидкости как твердого тела, останется на прежнем месте (хв — — хе=О, ув=у„=-О, «в=.«,,=0). Начальные (к моменту г) координаты точек М„М, М. будут: М,(х„О, О), Мг(0, у, 0), Мз(0, О, «), конечные координаты (к моменту Г+ас), согласно равенствам (49)„ примененным отдельно к точкам: г «е= О) « — ге = 0), « — «з = «з), М,(х — хе= хм у — уе — — О, Мя (х — хо — — О, у — уе =уз, Ма(х — х„= О, у — уа —— О, Отдельные компоненты тензора скоростей деформации имеют простой физический сл>ысл. Дока>кем, что диагональные компоненты тензора: ди ди дт не д ' ив д ~» х' у' '.* дг (56) а 10) скоеостнов полк в ок«встносги денной точки 01 будут: а) для точки М,: б) для точки М,: 1 /до да 1 хл = 0 + илеф (О, уе, 0) (Й = 2 ~ — + — ) увел!, «,+ о„ф(О, у„О)д1 у,+ — уяд1=у, 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
