Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Будем иметь: ~~~, (со1а)„Ьо= ~~ ~) а ° дг+ ~~~„ЕЬщ ьс Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, подсчитанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные элементы теОРИИ поля. кинематика сРеды (гл. ! В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематики сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего теорему об изменении во времени циркуляции скорости по движущемуся вместе с жидкостью контуру. Рассмотрим некоторую „жидкую" линию АВ (рнс. 23), направленный элемент которой обозначим через 8г. Циркуляуг ция скорости по втой кривой, М равная будет изменяться во времени как в силу перемещения и деформации контура (конвекРис.
23. тинное изменение), так и из-за нестационарности поля (локальное изменение). Определим индивидуальную производную по времени от этой циркуляпни. По определению интеграла, производная от него будет склздываться ич двух частей: в в — РАв(У) = ~ — ° йг+ ~ У вЂ” 8г. и рну лг 3 лг ',~ 'лг (83) А А в в — ° 8г= ~ У ° йг= Рлв(ч). лч (84) Второй интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок взятия операций производной по времени —, и дифференцирования Лг в пространстве 3 может быть изменен: — йг 8 — = 3Ч.
Лг Т! (85) А(ействительно, рассмотрим два последовательных положения жидкого отрезка (рис. 23); ог — в момент времени ! и 8г+ Ы 3г— в момент г+Ж Перемещения концов жидкого отрезка будут соответственно: УЖ (начало отрезка) и (Ч+ЬУ)г!г (конец отрезка). Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию ускорения по контуру АВ: 13! ИНТБНСИВНОСТЬ ВИХРКЗОЙ ТРУБКИ Н 1ГИРКУЛЯЦНЯ Г(з векторного четырехугольника ММ,М1М сразу следует у йГ+ 8Г+ д 81' = йг + (7 + ОЧ) дГ, нли, после простых сокращений, искомое равенство (85). Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) н (85) получим: йг1 "я(~)= рлв(Ч):; — ~у. 8тг и "' ®+ —, (('в — Г,). Предположим теперь, 1то ко1пур АВ замкнут, т. с. точки А и В совпадают.
Тогда предыдуп1ая формула лает — 7(Ч) = Р (Т1). (86) Отсюда следует те о р е и а Кель в и на: производная по времени от циркуляции скорос1пи по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, равна циркуляции ускорение по толу же контуру. Такая формулировка теоремы Кельвнна делает ее чисто кинемати1еской, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от характера приложенных к жидкости сил. В динамике Г>удут изложены важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия, нри выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во времени; с кинематнческой точки зрения важна сама связь (86) между циркуляциями скорости и ускоренны Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы настоящей главы основаны лишь на допугцении о непрерывности поля с1соростей в жидкости нли газе и существовании первых производных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложенные в этой главе, верны для любой сплошной среды.
б Знн. 1Я1. Л, Г. Лойнннннна. ГЛАВА И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ й 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметричность Ьт р-.—.. Яш —, причем предполагается, что при стремлении объема Ат к нулю точка Л все время остается внутри объема, называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке М. 1 Обратную величину о = — называют удельныл обьежож. Плотность движущейся илн покоящейся жидкости (газа) зависит от различных обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения среды.
В конечном счете плотность представляе|ся некоторой функцией координат и времени Р =Р1х. У, г; Г) и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и нестационарным. В технических вопросах часто вместо плотности предпочитают иметь дело с удельныж весел, определяемым как предел отношения веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен Ььл т =- йш К вЂ” =ай ь-..+а (2) В динамике сплошной среды, так же как н в кинематике, применяется общий прием замены значений физических величии, относящихся к отдельным частицал~ среды, непрерывным распределением этих величин в пространстве.
Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа Ь-., содержащий внутри себя данную точку Л пространства, и пусть масса этого объема будет Ьт; скалярная величина, определяемая предельным выражением 14) РАспРеделение массы. Тенге!' нАпРяженностн 82 где д — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным 9,81 М1СЕ1э'. Из формул (1) и (2) следует: 7,1 Х (3) Поверхности или, в "астном случае плоского распределения, линии уровня скалярного 1юдя плотностей называют изосгперическил1и поверхностями илн линиячн. короче, изосп1ерами (от греческого слова з1егоз, что означает лло!плый).
Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измеряется п технических единицах кг еекг/м', удельный вес — в кг!мз. Приводим несколько эыаболее употребительных средних величин плотностей н тдельпых вссов !Ендхостей н газов. Таблица 1 Удельный вес жидкостей Т кг/мз Жидкость прн 20'С Жидкость 7 кг)мз Таблица 2 11лотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст. Темп. 0,108 0,101 0,096 Р „! 0142 0,127 0,132 0,123 0,114 1,06 0,99 0,94 — ( э.ээ эи 1,12 При оценочных расчетах можно принимать для воздуха значение наотности прн 1бв С: Р = 0,125 !!з кг ° сект!ме, д;ш воды прп той же температуре: .
= 102 кг сект/мй Вода прн: 0'С 20'С . 7УС . 1ООО С Вода морская . 1000 998 978 958 1024 Спирт Бензня . Керосин Смазочное масло Глицерин . 800 720 816 912 1248 основньп'. хгьвнения лвижгния н !лвновесия )гл. и Таблица 3 Удельные веса некоторых газов при 0' С и 760 мм рт.
ст. Название газа ! кг!ггз т кг!мг Название газа 1,43 ' Метан 0,090 ~ Окись углерола 1,25 ! Углекислый газ Кислород . Водород Азот . Воздух . Перегретый пар 0,717 1,25 1,98 0,179 1,29, !елин 0,803 Согласно закону Авогадро, килограммозекулы всех газов прн одинаковых условиях (дазление, температура) занимают один и тот же объем, иными словами, каков бы пп был гзз с молекулярным весом М кг, его удельный вес 7 кг/мг равен отношению молекулярного асса х объему килограммолекулы,одинаковому длз всех газов и прн 0' С и 760 .клг рт, ст.
разному 22,4 м', т. е. М ! = — «г)мз; 22,4 так, нзпрнмер, для водорода Нг имеем М= 2 кг, следовательно, 7=2:22,4= = 0,09 кг!мз, для кислорода О, будет М = 32 кг, следовательно, ! = 32: 22 4 = = 1,43 кг)мз и г. д. Плотносгпь воды, так же как н других капельных жидкостей, слабо зависит от твлтературы и почти не зависит от дивления, так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости меняется сравнительно мало. Так, например, относительное изменение объема воды при увеличении давления на одну атмосферу и при сохранении температуры несколько менее 0,00005, глицерина — 0,000025, керосина— 0,000077, спирта — 0,00011. Наоборот, плотность газов сильно меняется с дивлвнием а температурой.
Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при данной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению, а по закону Гей-Люссака при данном давлении плотность газа растет пропорционально его абсолютной температуре. Силы, приложенные к частицам жидкости или газа, можно разбить на два класса: 1) массовые или обьемные силы и 2) поверхностные силы. К первому классу относятся силы, приложенные ко всем частицам среды, заполняющим некоторый объем, как, например, силы веса, тяготения, электростатического притяжения, а также, в известном условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу в силы, непосредственно действующие лишь на боковую поверхность выделенного жидкого объема, как, например, давление твердого тела на обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др.
й 1 41 РАспРРдвлРниг мАссы. тРнзОР КАпРЯженнОсти 85 Массовые силы булем задавать вектором Г интенсивности„или плотности их распределения, который можно определить как предел АГ' 1 . АГ' Г= йгп — = — 1пп— (4) спи.+о "т Р А1+О отношения главного вектора аГ' массовых сил, приложенных к частицам обьема Ь-., к массе этого объема ат. Тогда массовая сила, приложенная к элементу объема ае в ванной точке, будет равна РГат.
В случае, например, силы веса плотностью распрелеления массовых сил будет служить вектор ускорения силы тяжести и. Поверхностные силы, аналогично, будут задаваться плотностью своего распрелеления или напряжением йрР р= 1пп —, А,.+О йе ' где ар' — главный вектор сил, приложенных к некоторой площадке Ьа. Вектор поверхностной силы, приложенной к площадке йз в данной точке пространства, равен р йа, т. е.
произведению вектора напряжения на величину элементарной площадки. Отметим основное различие между векторами Г и р: в то время как вектор Г является одкозкачной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. образует векторное поле, вектор р принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество зна гений е зависимости от ориентировки ялатадки, к которой приложено напряжение. Можно сказать, что напряжение представляет функцию двух векторов: вектора-радиуса г точки и орта норл1али и к площадке в выбранной точке. Возьмем в точке Л4 сплошной среды площадку йз, ориентация которой в пространстве определяе~ся ортом и нормали к площадке (рис.
24). Откинелг мы- Рнс. 24. слснно часть жидкости с положительной стороны площадки, куда направлен орт п, и заменим лействие откинутой части жидкости на площадку ао некоторой поверхностной силой р„ ае, где значок и отмечает, что сила приложена к площадке с ортом нормали и. Если бы, наоборот, была откинута часть жидкости с отрицательной стороны, то эквивалентная действию откинутой жидкости сила, приложенная к площадке, была бы, согласно закону лействия и противодействия, равна — р„аа. Вектор напряжения р„, как уже упоминалось, зависит от ориентации площадки в данной точке Лй Попытаемся определить такую еелгяику, которая была бы однозначной функцией положении основные тяавнвния движения и ьлвновесия [гл. и точки М, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
