Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Переместившись вдоль этого вектора на малый отрезок ММ', проведем в тот же момент времени 1 вектор о>' угловой скорости вращения элементарного объема в точке М', затем вектор угловой скорости ю" в точке М" и т. д. Полигон ММ'М"... в пределе образует вихревую линию. Элементарные жидкие объемы, расположенные вдоль линии, вращаются вокруг касательных к ней в соответствующих точи ках. Вихревая линия играет роль кри- Г волинейной оси вращения этих объемов. и Представим себе элементарные объемы 1. ) жидкости как „бусинки" с заранее и проделанными в них отверстиями для продевания нитки. Непрерывность поля скоростей в жидкости приводит к таРяс. 14.
кой ориентации „бусинок", что нитка, продетая в одну „бусинку", попадет точно в отверстие следую)цей „бусинки" и т. д. Нитка, проходящая через отверстия „бусинок' (рис. 14, справа), дает представление о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых „бусинок" отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидкости и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов. Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения. Расположение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах все время изменяется.
Вместе с тем изменяется и конфигурация самих объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение. 1 Вектор ю = — го1 Ч представляет мгновенную угловую скорость 2 некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого элементарного объема. Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля 2 12) 73 ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно перпендикулярные оси !главные оси тензора скоростей деформаций), скорости скошенна которых равны нулю.
Такой, для разных точек пространства различный „жесткий скелет" будет в данный момент времени иметь угловую скорость, как раз равную ' ! 1 ю = — го! Ч = — 12. 2 2 Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным приемом получим вихревые трубки конечного размера. Вихревые трубки обладают обшим свойством, выражаемым второй теоремой Гельмгольца; лоток вихря вектора через сечение вихревой трубки одинаков длн всех сечений трубка. Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную вихревую трубку,(рис.
15) в поле любого вектора а и отсечем от и' Рис. 15. нее двумя произвольными сечениями о, и ея некоторый конечный обьем т; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную контурами этих сечений, обозначим через ее„. Тогда, применяя к выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66)э получим для вектора го!а: ~ (го!а)„йв+ ) !го1 а)к агс+ ~ (го! в)ее йэ = ) 61ч го! аагт, 'еек ' См. Л. Г.
Лойиянский, Аэродинамика пограничного слоя. ОГИЗ ГТТИ, 1941, стр. 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. 1 где и' — внешняя нормаль к поиерхности интегрирования; заметим, что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу, третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать, что интеграл в правой части тождестиенно равен нулю, так как Обозначим через и нормаль к поверхностям сечений о, и е, направленную в сторону вектора вихря, т. е. внутрь объема для сечения о, и наружу — для гя; тогда найдем ~ (гога)„сЬ = (Г (го1в)„йо, (75) что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную для любого векторного поля.
Полагая: 1 а = Ч, го1 а = го1 Ч = О, — го1 Ч = ю, получим гидродинамнческую форму равенства (75): Гг„де = сопз1 нли ~ м„йа = сопз1. (76) Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамичгская формулировка второй теоремы Гельмгольца: попок вихря скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в донный момент времени для всех сечений трубки, или иначе: по!пои угловой скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в донный момент времени для всех сечений трубки. Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке.
В этом случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям трубки, н, в силу малости площадей этих сечений сЬ, и аея, напн- сатгк а !го = ыяг(о или мгЬ= сопз1. (76') Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки угловая скорость вращения больше, и наоборот. Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихревой трубки позволяет принять поток вихря зз меру интенсивности 13] ИНТЗНСИВНООТЬ ВИХРЯВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦНЯ 75 вихревой трубки и положить 1=- ~ (го1а) де. В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки понимают поток вихря скорости 1 = ~ (го1 т')„де = ~ Я„до.
(77) В некоторых курсах под интенсивностью вихревой трубки скоростного поля жидкости понимают поток вектора угловой скорости (77') Важным следствием доказанной теоремы Гельмгольца является невозможность окон- Рис. 16. чания вихревой трубки в жидкости, так как при уменьшении площади сечения трубки до нуля угловая скорость превратилась бы в бесконечность (рис. 16). Как показывают опыты, вихревые трубки либо образуют вам= = кнутые кольца, либо заканчиваются -.=- -~ро†~я'----~ — — на стенках сосудов или на свобод'--г'-~~ " ь:3: ==':у- =- ных поверхностях (рис, 17). Подчеркнем еще раз, что вторая теоремз Гельигольца говорит об одинаковости потока вихря вдоль ьзт ~4"=-~ трубки в данный момент времени; о том, будет ли интенсивность Рнс. 17. трубки постоянной во времени или нет, можно судить лишь на основании рассмотрения динамического процесса движения трубки, хзрактера приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др.
5 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через циркуляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема об изменении циркуляции скорости во времени Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению.
Сравнительно просто можно мерить скорости частиц жидкости, Естественно встает Вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости, 76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. г в в Глв(и) = ~ и ° йг= ~ асов(а, йг) йз= в в = ~ а, йз = ~ (а йх + ав йу + а, йв). А А (78) Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому в этом случае контуру будет обозначаться так: Г(а) = ф а ° йг = ~ а„йв и т. и.
Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользоваться в теоретической механике при вычислении работы, равной циркуляции силы. В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе положительного направления интегрирования вдоль контура. Для этого Рнс. 18. рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С (рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность о, опирающуюся на этот контур.
Будем различать у поверхности в две стороны, например, выпуклую и вогнутую. Одну из них, на рисунке выпуклую, выберем произвольно за положительную и условимся в ту же сторону откладывать и положительное направление нормали к поверхности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление Для Решения этого вопроса введем характерную для поля скоростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии; понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных понятий современной гидромеханики.
Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией вектора ло некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от нроекции вектора на касательную к контуру. Примем обозначение (рис. 18): $ 13) интенсивность вихаввой твхвчн н цияктляция 77 нормали к ней, примем за положительное направление обхода по контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль положительной нормали, прн обходе контура поверхность остается слева. При рзссмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно дать более простое правило: положительное направление обхода плоского контура совпадает с направлением вращения головки и' винта, когда сзм винт перемещается в направлении положительной нормали к плоскости контура.
Чтобы установить связь между интенсивностью вихревой трубки в поле вихря некоторого вектора и цнркулацней этого вектора по контуру, возьмем сначала плоский малый контур ЬС (рис. 19) с площздью Ьа и построим на нем цилиндр, высота которого л также мала. Применяя к этому цилиндру интегральное определение вихря (72), получим: и' го1а= Ию — ( и Капа, ,а 3 а и' Рвс. 19. причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверхность цилиндра. Проектируя обе части этого равенства на нормаль и к элементу Ье, получим: (го1а) = !пп — 1 и ° (и' )< а)г(е. Согласно известному свойству тройного произведения и ° (и'Ха)=а (и Хи'), (го1а)„= 1цп — Га ° (п Х п')А.
Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком предела, может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно. позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно полу~енное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде 78 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ 1гл. 1 Заметим для этого, что вектор и )( и' не равен нулю только на боковой поверхности цилиндра„ причем для заштрихованного на рисунке элемента этой поверхности будет: (п)с,п')до=(п Хи')Ьдв=йдг; тогда найдем (е — малая величина, стремящаяся к нулю при уменьшении Ьо) (го1 а)„— „, ~ а ° дг ° Ь + е, 1 с ьс откуда следует (го1 в)„Ьо = ~ а ° асг+ в Ьщ (80) т.
е. с точностью до малых высших порядков поток вихра вектора через площадку Ьо равен циркуляции вектора вдоль контура, ограничивающего зту площадку. Из формулы (80) предельным переходом можно получить следующее интегральное представление проекции вихря вектора на любое направление (со!а)„= 11в — ~ а ° дг, 1 Г ьа-ьь ч С ьС (81) где Ьо — некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к направленнсо и, а ЬС вЂ” окружающий ее контур. о твс и Пользуясь этим определением, легко вывести формулы проекций вихря на оси декартовых или криволинейных координат, непосредственно вычисляя контурный интеграл по сторонам координатных элементарьс ных прямоугольников и переходя затем к пределу.
аь Возьмем теперь какой-нибудь себя не с а ! пересекающий контур С конечной длины и ! опирасощусося на него разомкнутую поверх- и ность о (рис. 20). Разобьем поверхность о Рнс. 20. нз большое число малых площадок Ьа произвольной формы н, написав для каждой такой площадки равенство (80), просуммируем обе части этих равенств по всем площадкам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
